x届高考数学全程复习知识点同步学案x章 基本初等函数、导数及其应用函数与方程

1、第9讲函数与方程1函数零点的定义对于函数yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2二次函数yax2bxc(a0)的图象与零点的关系000二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个3.二分法对于在区间a，b上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法做一做1假设函数f(x)axb有一个零点是2，那么函数g(x)bx2ax的零点是()A0，2B0，C0，

2、D2，解析：选C.2ab0，g(x)2ax2axax(2x1)零点为0和.2函数yf(x)在区间(2，4)上连续，验证f(2)·f(4)<0，取区间(2，4)的中点x13，计算得f(2)·f(x1)<0，那么此时零点x0所在的区间为_答案：(2，3) 1辨明三个易误点(1)函数f(x)的零点是一个实数，是方程f(x)0的根，也是函数yf(x)的图象与x轴交点的横坐标(2)连续函数在一个区间端点处的函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，但不是必要条件(3)精确度不是近似值2会用判断函数零点个数的三种方法(1)直接求零点：令f(x)0，如果能求出解，那

3、么有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点3明确三个等价关系(三者相互转化)做一做3函数f(x)2x3x的零点所在的一个区间是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析：选B.f(1)·f(0)0，函数f(x)的零点所在区间为(1，0),学生用书P36P37)_函数零点所在区间确实定_(x

4、·高考北京卷)函数f(x)log2x，在以下区间中，包含f(x)零点的区间是()A(0，1)B(1，2)C(2，4) D(4，)解析由题意知，函数f(x)在(0，)上为减函数，又f(1)606>0，f(2)312>0，f(4)log242<0，由零点存在性定理，可知函数f(x)在区间(2，4)上必存在零点答案C规律方法判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断1.(1)(x·x揭阳联考)以下说法，正确的选项是()A对

5、于函数f(x)，因为f(1)·f(1)<0，所以函数f(x)在区间(1，1)内必有零点B对于函数f(x)x2x，因为f(1)·f(2)>0，所以函数f(x)在区间(1，2)内没有零点C对于函数f(x)x33x23x1，因为f(0)·f(2)<0，所以函数f(x)在区间(0，2)内必有零点D对于函数f(x)x33x22x，因为f(1)·f(3)<0，所以函数f(x)在区间(1，3)内有唯一零点(2)(x·高考重庆卷)假设a<b<c，那么函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位

6、于区间()A(a，b)和(b，c)内B(，a)和(a，b)内C(b，c)和(c，)内 D(，a)和(c，)内解析：(1)选C.由函数f(x)的图象可知在区间(1，1)内无零点，故A错；令f(x)x2x0，可得x0或x1，故f(x)在区间(1，2)内有两个零点，B错；函数f(x)x33x23x1的图象在区间(0，2)内连续，且f(0)·f(2)<0，所以在区间(0，2)内必有零点，C正确；由x33x22x0，解得x0，x1或x2，即函数f(x)在区间(1，3)内有三个零点，D错应选C.(2)选A.f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)，f(a)(ab)(ac)，

7、f(b)(bc)(ba)，f(c)(ca)(cb)，a<b<c，f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内_函数零点个数的问题(高频考点)_函数零点个数问题是高考命题的一个高频考点，常与函数的图象与性质交汇，以选择题、填空题的形式出现，高考对函数零点的考查主要有以下两个命题角度：(1)判断函数零点个数；(2)由函数零点个数确定参数的值或取值范围(1)(x·高考x卷)f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x23x，那么函数g(x)f(x)x3的零点的集合为()A1，3 B3，1，1，3C2，1

8、，3 D2，1，3(2)0a1，k0，函数f(x)假设函数g(x)f(x)k有两个零点，那么实数k的取值范围是_解析(1)令x0，那么x0，所以f(x)(x)23xx23x.因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)f(x)所以当x0时，f(x)x23x.所以当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x1或x3.当x0时，g(x)x24x3.令g(x)0，即x24x30，解得x20(舍去)或x2.所以函数g(x)有三个零点，故其集合为2，1，3(2) 函数g(x)f(x)k有两个零点，即f(x)k0有两个解，即yf(x)与yk的图象有两个交点分k0和k0作出函数f(x

9、)的图象当0k1时，函数yf(x)与yk的图象有两个交点；当k1时，有一个交点；当k1或k0时，没有交点，故当0k1时满足题意 答案(1)D(2)0<k<1规律方法判断函数yf(x)零点个数的三种常用方法：(1)直接法令f(x)0，那么方程实根的个数就是函数零点的个数(2)零点存在性定理法判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数(3)数形结合法转化为两个函数的图象的交点个数问题(画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数)注意假设f(x)有几个零点，那么用

10、数形结合法，转化为两个熟悉的函数图象有几个交点问题，数形结合求解2.(1)函数f(x)那么函数f(x)的零点为()A.，0 B2，0C. D0(2)假设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且当x0，1时，f(x)x，那么方程f(x)log3|x|的解的个数是()A0 B2C4 D6解析：(1)选D.当x1时，由f(x)2x10，解得x0；当x1时，由f(x)1log2x0，解得x，又因为x1，所以此时方程无解综上函数f(x)的零点只有0.(2)选C.画出周期函数f(x)和ylog3|x|的图象，如下图，方程f(x)log3|x|的解的个数为4._与二次函数有关的零点分布_关于x的

11、二次方程x22mx2m10.(1)假设方程有两根，其中一根在区间(1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的取值范围；(2)假设方程两根均在区间(0，1)内，求m的取值范围(1)解(1)由条件，抛物线f(x)x22mx2m1与x轴的交点分别在区间(1，0)和(1，2)内，如图(1)所示，得故m的取值范围是. (2)抛物线与x轴交点均落在区间(0，1)内，如图(2)所示，列不等式组(2)即<m1.故m的取值范围是.本例方程不变，问m为何实数时？(1)有一根大于2，另一根小于2?(2)在区间(1，3)内有且只有一解？解：(1)令f(x)x22mx2m1为开口向上的二次函数，只需f(2)44

12、m2m1<0，解得m<，m的取值范围为(，)(2)f(x)为(1，3)内的连续函数，只需f(1)·f(3)<0或.即：(4m2)·(8m10)<0或，<m<，m的取值范围为.规律方法解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组3.是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1，3上恒有一个零点，且只有一个零点？假设存在，求出a的取值范围；假设不存在，说明理由解：令f(x)0，那么(3a2)24(a1)9a216a89&g

13、t;0，即f(x)0有两个不相等的实数根，假设实数a满足条件，那么只需f(1)·f(3)0即可f(1)·f(3)(13a2a1)·(99a6a1)4(1a)(5a1)0，a或a1.检验：(1)当f(1)0时，a1，所以f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故a1.(2)当f(3)0时，a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3.方程在1，3上有两个实数根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围是(1，),学生用书P37)交汇创新方程的根与函数极值点的交汇(x·高考安徽卷)假设函数

14、f(x)x3ax2bxc有极值点x1，x2，且f(x1)x1，那么关于x的方程3(f(x)22af(x)b0的不同实根个数是()A3B4C5 D6解析 因为f(x)3x22axb，函数f(x)的两个极值点为x1，x2，所以f(x1)0，f(x2)0，所以x1，x2是方程3x22axb0的两根所以解关于x的方程3(f(x)22af(x)b0得f(x)x1或f(x)x2.不妨设x1<x2，由题意知函数f(x)在(，x1)，(x2，)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减又f(x1)x1<x2，如图，数形结合可知f(x)x1有两个不同实根，f(x)x2有一个实根，所以不同实根的个数为3.

15、 答案A名师点评(1)解答此题的关键是把f(x)看作为3z22azb0的根，从而转化为求解f(x)x1与f(x)x2的根的个数问题(2)此题把方程的根与函数的极值点交汇在一起考查，表达了新课标命题的指导思想(x·广州测试)e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)ln xx2的零点为b，那么以下不等式中成立的是()Af(a)<f(1)<f(b) Bf(a)<f(b)<f(1)Cf(1)<f(a)<f(b) Df(b)<f(1)<f(a)解析：选A.由题意，知f(x)ex1>0恒成立，所以函数f(x)在R上是单

16、调递增的，而f(0)e0021<0，f(1)e112e1>0，所以函数f(x)的零点a(0，1)；由题意，知g(x)1>0，所以函数g(x)在(0，)上是单调递增的，又g(1)ln 1121<0，g(2)ln 222ln 2>0，所以函数g(x)的零点b(1，2)综上，可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(1)<f(b)应选A.1设f(x)x3bxc是1，1上的增函数，且f·f<0，那么方程f(x)0在1，1内()A可能有3个实数根B可能有2个实数根C有唯一的实数根 D没有实数

17、根解析：选C.由f(x)在1，1上是增函数，且f·f<0，知f(x)在上有唯一零点，所以方程f(x)0在1，1上有唯一实数根2函数f(x)|x5|2x1的零点所在的区间是()A(0，1) B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析：选C.依题意得f(0)·f(1)>0，f(1)·f(2)>0，f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)>0，故f(x)的零点所在区间是(2，3)，应选C.3函数f(x)(x22 014x2 015)ln(x2 015)的零点有()A0个 B1个C2个 D3个解析：选B.由x2 015&

18、gt;0，解得x>2 015，故函数f(x)的定义域为(2 015，)由f(x)0，即(x22 014x2 015)ln(x2 015)0，得x22 014x2 0150或ln(x2 015)0，由x22 014x2 0150，即(x1)(x2 015)0，解得x1或x2 015，显然都不在函数f(x)的定义域内，故不合题意；解ln(x2 015)0，即x2 0151，解得x2 016.所以函数f(x)只有一个零点应选B.4(x·x六校联考(一)在用二分法求方程x32x10的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1，2)内，那么下一步可以断定该根所在区间为()A. B.C.D.解

19、析：选D.设f(x)x32x1，因为一根在区间(1，2)内，根据二分法的规那么，取区间中点，因为f(1)2<0，f4<0，f(2)3>0，所以下一步可以断定该根所在区间是，应选择D.5假设函数f(x)x22a|x|4a23的零点有且只有一个，那么实数a()A.或 BC. D以上都不对解析：选C.函数f(x)x22a|x|4a23是偶函数，所以要使其零点只有一个，这个零点只能是0.由f(0)0得a±.当a时，f(x)x2|x|，它只有一个零点0，符合题意；当a时，f(x)x2|x|，它有3个零点0，不符合题意，综上，a.6函数f(x)的零点个数是_解析：函数的定义域是

20、(3，)，且由f(x)0得x2或x1，但1(3，)，2(3，)，故f(x)没有零点答案：07假设函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内存在一个零点，那么a的取值范围是_解析：当a0时，f(x)1，与x轴无交点，不合题意，所以a0，函数f(x)3ax12a在区间(1，1)内是单调函数，f(1)f(1)<0，即(5a1)(a1)>0，解得a<1或a>.即a的取值范围是(，1).答案：(，1)8函数ym有两个零点，那么m的取值范围是_解析：在同一直角坐标系内，画出y1和y2m的图象，如下图，由于函数有两个零点，故0<m<1.答案：(0，1)9函数f(x)x3x

21、2.证明：存在x0，使f(x0)x0.证明：令g(x)f(x)x.g(0)，gf，g(0)·g0.又函数g(x)在上连续，存在x0，使g(x0)0，即f(x0)x0.10a是正实数，函数f(x)2ax22x3a.如果函数yf(x)在区间1，1上有零点，求a的取值范围解：f(x)2ax22x3a的对称轴为x.当1，即0<a时，须使即a的解集为.当1<<0，即a>时，须使即解得a1，a的取值范围是1，)1(x·x武汉模拟)假设函数f(x)在(1，2)内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为，那么对区间(1，2)至少二等分()A5次 B6次C7次 D8次

22、解析：选C.设对区间(1，2)二等分n次，开始时区间长为1，第1次二等分后区间长为，第2次二等分后区间长为，第3次二等分后区间长为，第n次二等分后区间长为.依题意得，nlog2100.由于6log21007，n7，即n7为所求2(x·皖西七校联考)函数f(x)e|x|x|，假设关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是()A(0，1) B(1，)C(1，0) D(，1)解析：选B.方程f(x)k化为方程e|x|k|x|，令ye|x|，yk|x|，如图，yk|x|表示斜率为1或1的平行折线系，折线与曲线ye|x|恰好有一个公共点时，有k1，假设关于x的方程f(x)k

23、有两个不同的实根，那么实数k的取值范围是(1，)应选B.3(x·南宁模拟)函数f(x)ln x3x8的零点x0a，b，且ba1，a，bN*，那么ab_ 解析：f(2)ln 268ln 22<0，f(3)ln 398ln 31>0，且函数f(x)ln x3x8在(0，)上为增函数，x02，3，即a2，b3.ab5.答案：54(x·北京西城期末)设函数f(x)那么ff(1)_；假设函数g(x)f(x)k存在两个零点，那么实数k的取值范围是_解析：ff(1)flog22；令g(x)0，得f(x)k，等价于yf(x)的图象和直线yk有两个不同的交点，在平面直角坐标系中画

24、出yf(x)的图象，如下图，要使得两个函数图象有2个不同交点，需0<k1.那么实数k的取值范围是(0，1答案：2(0，15设函数f(x)(x0)(1)作出函数f(x)的图象；(2)当0ab，且f(a)f(b)时，求的值；(3)假设方程f(x)m有两个不相等的正根，求m的取值范围解：(1)如下图(2)f(x)故f(x)在(0，1上是减函数，而在(1，)上是增函数，由0ab且f(a)f(b)，得0a1b，且11，2.(3)由函数f(x)的图象可知，当0m1时，方程f(x)m有两个不相等的正根6(选做题)(1)f(x)x22mx3m4.m为何值时，有两个零点且均比1大；(2)假设函数f(x)|

25、4xx2|a有4个零点，求实数a的取值范围解：(1)法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，那么x1x22m，x1·x23m4.由题意，知5<m<1.故m的取值范围为(5，1)法二：由题意，知即5<m<1.m的取值范围为(5，1)(2)令f(x)0，得|4xx2|a0，即|4xx2|a.令g(x)|4xx2|，h(x)a.作出g(x)、h(x)的图象由图象可知，当0<a<4，即4<a<0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点故实数a的取值范围为(4，0) x高考导航知识点考纲下载数列1.了解数列的概念和几种简单

26、的表示方法(列表、图象、通项公式)2了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数等差数列1.理解等差数列的概念2掌握等差数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等差数列与一次函数的关系等比数列1.理解等比数列的概念2掌握等比数列的通项公式与前n项和公式3能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题4了解等比数列与指数函数的关系数列求和掌握等差、等比数列的前n项和公式.第1讲数列的概念与简单表示法1数列的定义、分类与通项公式(1)数列的定义：数列：按照一定顺序排列的一列数数列的项：数列中的每一个数(2)数列的分类：

27、分类标准类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an1>an其中nN*递减数列an1<an常数列an1an(3)数列的通项公式：如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式2数列的递推公式如果数列an的首项(或前几项)，且任一项an与它的前一项an1(n2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式做一做1数列an的通项公式为ann28n15，那么3()A不是数列an中的项B只是数列an中的第2项C只是数列an中的第6项D是数列an中的第2项或第6项解析：选D.令an3，

28、即n28n153，解得n2或6，故3是数列an中的第2项或第6项2在数列an中，a11，an1(n2)，那么a5_答案：1辨明两个易误点(1)数列是按一定“次序排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数有关，而且还与这些“数的排列顺序有关(2)易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号2数列与函数的关系数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列3an与Sn的关系an.做一做3数列an的前n项和Sn2n3，那么数列an的通项公式为_解析：当n1时，a1S11；当n2时

29、，anSnSn1(2n3)(2n13)2n2n12n1，a1不适合此等式an.答案：an4假设数列an的通项公式为an，那么这个数列是_数列(填“递增或“递减或“摆动)解析：法一：令f(x)，那么f(x)1在(0，)上是增函数，那么数列an是递增数列法二：an1an0，an1an，数列an是递增数列答案：递增,学生用书P88P89)_由数列的前几项求数列的通项_写出下面各数列的一个通项公式：(1)3，5，7，9，；(2)，；(3)1，.解(1)各项减去1后为正偶数，所以an2n1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，所以an.(3)奇数项为负，偶数项为正，故通项

30、公式的符号为(1)n；各项绝对值的分母组成数列1，2，3，4，；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为21，偶数项为21，所以an(1)n·.也可写为an规律方法用观察法求数列的通项公式的技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等方法，转化为一些常见数列的通项公式来求对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般的思想1.根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4，6，8，10，；(

31、2)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b为实数)；(4)9，99，999，9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小数为4，所以通项公式an2(n1)(nN*)(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an(1)n×.(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an(4)这个数列的前4项可以写成101，1001，1 0001，10 0001，所以它的一个通项公式an10n1._由an与Sn的关系求通项an(高频考点)_an与Sn关系的应用是高考的常考内容，且多出现在选择题或填空题

32、中，有时也出现在解答题的条件中，难度较小，属容易题高考对an与Sn关系的考查常有以下两个命题角度：(1)利用an与Sn的关系求通项公式an；(2)利用an与Sn的关系求Sn.(1)数列an的前n项和为Sn，a11，Sn2an1，那么Sn()A2n1B.C. D.(2)数列an的前n项和为Sn.假设Sn2n23n，求an；假设Sn3nb，求an.解析(1)由Sn2an1，得Sn2(Sn1Sn)，即2Sn13Sn，而S1a11，所以Sn.答案B(2)解：a1S1231，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也适合此等式，an4n5.a1S13b，当n2时，an

33、SnSn1(3nb)(3n1b)2·3n1.当b1时，a1适合此等式当b1时，a1不适合此等式当b1时，an2·3n1；当b1时，an假设本例(1)中，结论改为求an，如何求解？解：当n2时，anSnSn12an12an，又由S12a2，得a2，an是从第2项开始的等比数列，an规律方法Sn求an的三个步骤：(1)先利用a1S1求出a1.(2)用n1(n2)替换Sn中的n得到一个新的关系，利用anSnSn1(n2)便可求出当n2时an的表达式(3)对n1时的结果进行检验，看是否符合n2时an的表达式，如果符合，那么可以把数列的通项公式合写；如果不符合，那么应该分n1与n2两

34、段来写2.(1)数列an的前n项和为Sn，假设a11，an13Sn(n1)，那么a6()A3×44 B3×441C45 D451(2)假设数列an的前n项和Snn2n1，那么它的通项公式an_(3)(x·高考课标全国卷)假设数列an的前n项和Snan，那么an的通项公式是an_.解析：(1) 法一：a11，a23S13，a33S2x3×41，a43S3483×42，a53S43×43，a63S53×44.法二：当n1时，an13Sn，那么an23Sn1，an2an13Sn13Sn3an1，即an24an1，该数列从第2项开始

35、是以4为公比的等比数列，又a23S13a13，an当n6时，a63×4623×44.(2)a1S1x111，当n2时，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n2，an.(3)当n1时，S1a1，a11.当n2时，anSnSn1an(an1)(anan1)，an2an1，即2，an是以1为首项的等比数列，其公比为2，an1×(2)n1，即an(2)n1.答案：(1)A(2)(3)(2)n1_由递推公式求数列的通项公式_分别求出满足以下条件的数列的通项公式(1)a10，an1an(2n1)(nN*)；(2)a11，anan1(n2，nN*)解(1)ana1(

36、a2a1)(anan1)013(2n5)(2n3)(n1)2，所以数列的通项公式为an(n1)2.(2)当n2，nN*时，ana1××××1××××××n，当n1时，也符合上式，所以该数列的通项公式为ann.规律方法由数列递推式求通项公式常用方法有：累加法、累积法、构造法形如anpan1m(p、m为常数，p1，m0)时，构造等比数列；形如anan1f(n)(f(n)可求和)时，用累加法求解；形如f(n)(f(n)可求积)时，用累积法求解3.(1)在数列an中，a12，an1an，求an；(2)在

37、数列an中，a11，an12nan，求an.解：(1)an(anan1)(an1an2)(a2a1)a123.(2)由于2n，故21，22，2n1，将这n1个等式叠乘，得212(n1)2，故an2.交汇创新数列与周期函数的交汇(x·高考课标全国卷)数列an满足an1，a82，那么a1_解析an1，an1111(1an2)an2，周期T(n1)(n2)3.a8a3×22a22.而a2，a1.答案名师点评(1)此题是数列与周期函数的交汇，解答此类问题的思路是由递推关系推出数列的周期性，在此题中由an1推出周期为3，由a8a22，即可求出a1.(2)数列是一个特殊的函数，具有函数

38、的一般性质，如单调性、周期性、最值等1以下数列中，既是递增数列又是无穷数列的是()A1，B1，2，3，4，C1，D1，解析：选C.根据定义，属于无穷数列的是选项A、B、C(用省略号)，属于递增数列的是选项C、D，故同时满足要求的是选项C.2(x·海南三亚模拟)在数列1，2，中，2是这个数列的第()A16项B24项C26项 D28项解析：选C.因为a11，a22，a3，a4，a5，所以an.令an2，得n26.应选C.3数列an满足anan1(nN*)，a22，Sn是数列an的前n项和，那么S21()A5 B.C. D.解析：选B.anan1，a22，anS21x×10

39、15;2.应选B.4(x·x普通中学摸底)数列an，an2n2n，假设该数列是递减数列，那么实数的取值范围是()A(，6) B(，4C(，5) D(，3解析：选B.数列an的通项公式是关于n(nN*)的二次函数，假设数列是递减数列，那么1，即4.5(x·云南昆明一中开学考试)数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，记Sna1a2an，那么以下结论正确的选项是()Aa1001，S1005 Ba1003，S1005Ca1003，S1002 Da1001，S1002解析：选A.因为数列an满足an1anan1(n2)，a11，a23，所以a32，a41，a53，a6

40、2，a71，a83，由此可知数列中各项满足an6an，且anan1an60.故a100a41，S100a1a2a3a45.6在数列1，0，中，是它的第_项解析：令，得2n225n500，即(2n5)(n10)0.解得n10或n(舍去)a100.08.答案：107数列an满足as·tasat(s，tN*)，且a22，那么a8_解析：令st2，那么a4a2×a24，令s2，t4，那么a8a2×a48.答案：88在一个数列中，如果nN*，都有anan1an2k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积，数列an是等积数列，且a11，a22，公积为8，那

41、么a1a2a3ax_解析：依题意得数列an是周期为3的数列，且a11，a22，a34，因此a1a2a3ax4(a1a2a3)4×(124)28.答案：289anan1(n2)，a11.(1)写出这个数列的前5项；(2)由(1)中前5项推测数列的通项公式并证明解：(1)a11，a2a1，a3a2，a4a3，a5a4.(2)猜测an.证明如下：由得a2a1，a3a2，anan1，所以ana1.从而an112.10数列an的前n项和Sn2n12.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnanan1，求数列bn的通项公式解：(1)当n1时，a1S12222；当n2时，anSnSn12n12(2

42、n2)2n12n2n.因为a1也适合此等式，所以an2n(nN*)(2)因为bnanan1，且an2n，an12n1，所以bn2n2n13·2n.1跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为()A8 B13C21 D34解析：选C.设跳到第n个格子的方法种数为an，那么到达第n个格子的方法有两类：向前跳1格到达第n个格子，方法种数为an1；向前跳2格到达第n个格子，方法种数为an2，那么anan1an2，由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1，1，2，3，5，8，13，21.跳到第8个格子的方法种数是21.

43、应选C.2(x·x金丽衢十二校联考)函数yf(x)，数列an的通项公式是anf(n)(nN*)，那么“函数yf(x)在1，)上单调递增是“数列an是递增数列的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：选A.假设函数yf(x)在1，)上递增，那么数列an是递增数列一定成立；反之不成立，现举反例说明：假设数列an是递增数列，那么函数在1，2上可以先减后增，只要在x1处的函数值比在x2处的函数值小即可故“函数yf(x)在1，)上递增是“数列an是递增数列的充分不必要条件3(x·大连双基测试)数列an满足：a13a25a3(2n1)·a

44、n(n1)·3n13(nN*)，那么数列an的通项公式an_解析：a13a25a3(2n3)·an1(2n1)·an(n1)·3n13，把n换成n1，得a13a25a3(2n3)·an1(n2)·3n3，两式相减得an3n.答案：3n4以下关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是_解析：从题图中可观察星星的构成规律，n1时，有1个，n2时，有3个；n3时，有6个；n4时，有10个；，an1234n.答案：an5数列an的前n项和Snn2kn，kN*，且Sn的最大值为8.试确定常数k，并求数列an的通项公式解：因为Snn2kn

45、(nk)2k2，其中k是常数，且kN*，所以当nk时，Sn取最大值k2，故k28，k216，因此k4，从而Snn24n.当n1时，a1S14；当n2时，anSnSn1n.当n1时，1a1，所以ann.6(选做题)数列an满足前n项和Snn21，数列bn满足bn，且前n项和为Tn，设cnT2n1Tn.(1)求数列bn的通项公式；(2)判断数列cn的增减性解：(1)a12，anSnSn12n1(n2)bn.(2)cnbn1bn2b2n1，cn1cn<0，cn是递减数列 第2讲等差数列及其前n项和1等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那

46、么这个数列就叫做等差数列符号表示为an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充分条件是A，其中A叫做a，b的等差中项2等差数列的有关公式(1)通项公式：ana1(n1)d.(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)假设klmn(k，l，m，nN*)，那么akalaman(3)假设an的公差为d，那么a2n也是等差数列，公差为2d(4)假设bn是等差数列，那么panqbn也是等差数列(5)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列做一做1(x·高考

47、x卷)等差数列an的前n项和为Sn，假设a12，S3x，那么a6等于()A8B10Cx D14答案：C2等差数列a1，a2，a3，an的公差为d，那么ca1，ca2，ca3，can(c为常数且c0)是()A公差为d的等差数列B公差为cd的等差数列C非等差数列D以上都不对答案：B1辨明两个易误点(1)要注意概念中的“从第2项起如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列(2)注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别2妙设等差数列中的项假设奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad；假设偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad

48、，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元3等差数列的四种判断方法(1)定义法：an1and(d是常数)an是等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an是等差数列(3)通项公式：anpnq(p，q为常数)an是等差数列(4)前n项和公式：SnAn2Bn(A、B为常数)an是等差数列做一做3(x·高考重庆卷)假设2，a，b，c，9成等差数列，那么ca_解析：由题意得该等差数列的公差d，所以ca2d.答案：4假设数列an满足a115，且3an13an4，那么an_解析：由3an13an4，得an1an，所以an是等差数列，首项a115，公差d，所以an15(n1).答案：_等差数列的根本运算(高频考点)_等差数列根本量的计算是高考的常考内容，多出现在选择题、填空题或解答题的第(1)问中，属容易题高考对等差数列根本量计算的考查常有以下三个命题角度：(1)求公差d、项数n或首项a1；(2)求通项或特定项；(3)求前n项和(1)(