历高考理科数学真题目演练分类解析立体几何的向量方法

1、平面 ABCD , AD/BC/FE ,【考点14】立体几何的向量方法1. ( 2022 上海卷理19)(此题总分值14分)如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，AA BC AB 2 , AB 丄 BC ,求二面角B1 AQ C1的大小.2. (2022 天津卷理 19)如图，在五面体 ABCDEF中，FA1AB AD,M 为 EC 的中点，AF AB BC FE - AD .2(I )求异面直线BF与DE所成的角的大小；(n )证明平面AMD 平面CDE ；zE1G1y(川)求二面角A CD E的余弦值.3. (2022 广东卷理 18)如图6，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2

2、,点E是正方形BCC1B1的中心，点F、G分别是棱C1D1, AA,的中点设点E1,G1分别是点E , G在平面DCC1D1内的正投影.(1)求以E为顶点，以四边形FGAE在平面DCC1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积；(2)证明：直线 FG1 平面FEE!；(3)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.4. (2022 福建卷理 17)如图，四边形 ABCD是边长为1的正方形，MD 平面 ABCD , NB 平面 ABCD ,且MD=NB=1 , E为BC的中点(1) 求异面直线NE与AM所成角的余弦值(2) 在线段AN上是否存在点S,使得ES 平面AMN ?假设存在，求线段AS 的长；

3、假设不存在，请说明理由5. 2022 安徽卷理 18本小题总分值13分如图，四棱锥 F-ABCD的底面ABCD是菱形，其对角线 AC=2BD= . 2，AE、CF都与平面 ABCD垂直，AE=1, CF=2.I 求二面角 B-AF-D的大小；II 求四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD公共局部的体积.6. 2022江苏，22如图1,设动点P在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1的地角线BDi上，记D,PD1B，当/ APC为钝角时，求 的取值范围.7 . 2022辽宁，19女口图2 ,在棱长为1的正方体ABCD A'B'C'D' , APBQ b (0&

4、lt;b<1),截面 PAEF / A'D，截面 PQGH / AD'.1证明：平面 PQEF和平面PQGH互相垂直；2证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；假设D'E与平面PQEF所成的角45°,求勤D'E与平面PQGH所成角的正弦值.& 2022上海，16,12分如图3，在棱长为2的正方体 ABCD A1B1C1D1中，E是BC1的中点求直线 DE与平面ABCD所成角的大小结果用反三角函数值表示(4)9. 2022湖南，17, 12分如图4所示，四棱锥P ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，/ BCD 60

5、0, E是CD的中点，PA丄底面ABCD ,PA 2.1证明：平面 PBE丄平面PAB ；2求平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小.10. 2022 山东高考题如图5,四棱锥石P ABCD ,底面ABCD为菱形，PA丄平面ABCD , / ABC 60°, E、F分别是BC、PC的中占I 八、1证明：AE丄PD ；2求二面角E AF C的余弦值.11. 2007 山东高考题如图6,在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中， DC DD1 2AD =2AB , AD 丄 DC , AB / DC .(1)设E是DC的中点，求证：D“E /平面ABD ；2求二面角 ABD C1的余

6、弦值.高考真题答案与解析数学(理)【考点14】立体几何的向量方法1.【解析】如图，建立空间直角坐标系.那么 A (2, 0, 0), C (0, 2, 0), Ai (2, 0, 2),Bi (0, 0, 2), Ci' (0, 2, 2), 设AC的中点为M ,BM AC,BMCC1, BM平面AGC,即BM (1,1,0)是平面 AiCiC 的一个法向量.设平面AiBiC的一个法向量是 n (x, y, z),AC ( 2,2, 2),AiBi( 2,0,0)n A1Bi2x0, n A1C2x 2y 2z0,令 z=i，解得 x=0,y=i . n (0,1,1),设法向量n与B

7、M的夹角为，二面角Bi AiC Ci的大小为 ，显然 为锐角.cos| cos |I-| n BM |-1 ,解得| n| |BMI 23二面角Bi AiC G的大小为一.14分32.【解法1】(I )由题设知，BF/CE ,所以 CED (或其补角)为异面直线BF与DE 所成的角.设P为AD的中点，连结EP, PC .EAQM PD因为 FE/AP 且 FE=AP，所以 FA/EP 且 FA=EP . 同理 AB/PC 且 AB=PC .又FA 平面ABCD，所以EP 平面ABCD .而PC 平面ABCD , AD 平面ABCD ,故EP PC, EP AD由 AB AD，得 PC AD .

8、设 FA a，那么 EP PC PD a,CD DE EC 2aei , ECD为等边三角形，所以 CED 60 .所以,异面直线BF与DE所成的角的大小为60 .(n )因为DC DE，且M为EC的中点，所以 DM CE . 连结MP，因为EP PC，且M为EC的中点，所以 MP CE， 又MPI MD M，所以CE 平面AMD，而CE 平面CDE， 所以平面AMD 平面CDE .D(川)设Q为CD的中点旌结PQ, EQ .因为CE DE ,且 Q为CD的中点，所以EQ CD .因为PC PD ,且 Q为CD的中点那么PQ CD .故 EQP为二面角A CD E的平面角.由(I )可得，EP

9、 PQ ,EQ丄 a,PQ2于是在Rt EPQ中,cos EQP 至乜.EQ 3所以，二面角A CDE的余弦值为上33【解法2】 如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点.设AB 1，依题意得B 1,0,0 ,C 1,1,0 ,D 0,2,0 ,1 1E0,1,1,F 0,。,1 ,M -,1,-uuu(I ) BFULLT1,0,1 ,DE0, 1,1于是UUU UULTBF DE-0 0 11WOTBFDE2UUU LULT cosBF,DE所以，异面直线BF与DE所成的角的大小为60(n )由uuuu121 uuuunrAM,1 - ,CE21,0,1,AD 0,2,0 可得uuu CE

10、uuuu AMuuu uur0,CE AD0 因此CEAM ,CEAD ,又 AM I AD A，故 CE 平面 AMD .而CE 平面CDE，所以平面 AMD 平面CDE r umrru CE 0,(川)设平面CDE的法向量为u x, y, z，那么r lur u DE 0.于是X z °，令 x 1,那么 u y z 0.1,1,1 y又由题设，平面 ACD的一个法向量为uuAF 0,0,1所以，COS；u,V；：0 0 1、3 1因为二面角A CD E为锐角，所以，它的余弦值为【点评】此题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方

11、法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.3.【解析】1依题作点E、G在平面DCC1D1内的正投影Ej、G1，那么、G1分别为CC1、DD1 的中点，连结 EE1、EG1、ED、DE1，那么所求为四棱锥DE1FG1 的其底面DE1FG1面积为S DE1FG1SRt E1FG1SRt DG1E12 2 2 . 2 2，又 EE1 面 DE1FG1 , EE11，二 Ve de1fg1SdE1FG131 1EE12以D为坐标原点,DA、DC、DD1所在直线分别作x轴，y轴，z轴，得E“0,2,1、G1 (0,0,1)，又 G(2,0,1) , F (0,1,2) , E(1,2,1)，那么 F

12、G“(0, 1, 1) , FE (1,1, 1),FE1(0,1, 1),FG1 FE 0 ( 1) 10,FG1 FE10(1)10，即 FG1 FE , FG1 FE1,又 FE_j FE F ,. FG1平面FEEi.(3) EG(0，2,0) , EA(1, 2, 1),那么 cos E1G1, EAE1G1 EAE1G1|EA 6 ，设异面直线EiGi与EA所成角为，贝U sin4.【解析】(1)在如图，以D为坐标原点,空间直角坐标 D xyz 依题意D(0,0,0) A(1,0,0)M(0,0,1),C(0,1,0),B(1,1,0),N(1,1,1,1,0) uuvNE1uuu

13、v(；,0, 1),AM( 1,0,1)得Q cosuuv uuuv NE, AMuuv ujuvNEgAMuuuv uuuv| NE| | AM |10 ,所以异面直线NE与10AM所成角的余弦值为-J0 . A10ES平面AMN Q AN(0,1,1),uuv 可设ASuuu/AN (0,),uuv 又EA1LUI(2 1,0), ESuui uuvEA AS由ES平面AMN，得uuv uuv ESgAM uuv uuv ESgAN0,即0,(2)假设在线段AN上存在点S，使得1, ) 12(1)0,0.uuv1，此时 AS (0,21 1 uuv2,列 AS|经检验，当AS亠时，ES平面

14、2AMN 故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS5.【解】(I )(综合法)连接AC BD交于菱形的中心 O,过O作OGL AF,G为垂足连接BG DG由 BDL AC,BD丄CF,得：BDL平面 ACF,故 BDL AF.于是AF丄平面 BGD所以BGL AF,DGL AF, / BGD为二面角 B-AF-D的平面角.由 FC丄 AC,FC=AC=2得/ FAC=,OG=242由 0血 0G,0B=0D=2 ,得/ BGD=Z BGOd .(向量法)以A为坐标原点,BD、 AC、的正方向建立空间直角坐标系AE方向分别为x轴、y轴、z轴ir设平面ABF的法向量n1同理, ir 由n

15、1,得X y可求得平面urn2.2Lr，n11(如图).于是 B( ¥,1,0),DF|ir(x,y,z)，那么由(2,1,1)urADF的法向量n>0知，平面 ABF与平面 ADF垂直,G2,uuum ABirniLUUTAF1,1).,1,0),F(0,2,2).血 0x y 022y 2z 0:面角B-AF-D的大小等于.2(II )连EB EC ED,设直线AF与直线CE相交于点H, 过H作HP丄平面ABCD P为垂足.那么四棱锥E-ABCD与四棱锥F-ABCD的公共局部为四棱锥因为EA丄平面H-ABCDABCD FC丄平面ABCD ,所以平面ACFE丄平面 ABCD从

16、而P AC, HP AC.AC 11 得HP由 HP HP AP CF AE AC又因为S菱形abcd AC BD .2,HP1故四棱锥H-ABCD的体积VS菱形abcd3【点评】本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、相交平面所成二面角以及空间几何体的体积计算等知识,考查空间想象能力和推理论证能力、利用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.6.【解析】由题设可知，以 DA、DC、DD1为单位正交基底，建立如下图的空间直角坐标系D xyz，那么有 A(1,0,0) , B (1, 1, 0) C(0,1 ，0)，D (0，0, 1 )。由 D1B (1,1, 1)得 D1P

17、=D1B (,.)，所以 PA PD1 + D1 A=(,)+(1， 0， -1) = (1 , , 1 )，PC DC( , ,)(0,1, 1)=(,1,1)。显然 APC不是平角，所以APC为钝角等价于cos APC cos PA，-PA pc-PC = _A P_ V 0,这等价于 PA PC|PA| |PC|V 0,即(1)()()(12)(1)(1)(311)0 ,得 1311。因此，的取值范围为3,1。37.【解析】以D为原点，射线 DA DG DD分别为x、y、z轴的正半轴建立如图的空间直角坐标系D xyz。由得 DF 1 b ,故 A (1, 0 , 0), A'(

18、1, 0, 1), D (0 , 0 , 0) , D'( 0 ,0 , 1) , P ( 1 , 0 , b),Q( 1, 1, b), E (1-b , 1 , 0), F (1-b , 0 , 0), G(b , 1, 1), H (b , 0 , 1)(1)证明：在所建立的坐标系中，可得 PQ =(0 , 1, 0), PF ( b,0, b) , PH (b 1,0,1 b), AD( 1,0,1) , AD ( 1,0, 1)。因为 AD PQ 0 , AD 0 , AD AD ,所以平面PQEF和平面PQG臣相垂直。(2)证明：因为EF(0, -1 , 0),所以EF /

19、 PQ , |EF | |PQ|O 又 PF 丄 PQ，所以PQEF为矩形。同理 PQGH为矩形。在所建立的坐标系中可求得|PH | 、2(1 b),|PF| .2b，所以 I PH I I PF I 2，又 | PQ | 1，所以截面 PQEF 和界面 PQGH 面积和为.2，是定值。(3)由得D E与AD成45角,UUUUILUU又 D E (1 b,1, 1),AD( 1,0,1),e可得UUUU UUUUDE ADI III 血|DE|AD Ib 22 ,(1 b)22即=2=b1,解得b I,(1 b)2 22luiiin1iuiuu所以 DE (2,1, 1),又 AD ( 1,0

20、,1),所以D E与平面PQGH所成角的正弦值为&【解析】过 E作EF丄BC,交BC于F,连结DFO / EF丄平面ABCD/ EDF是直线DE与平面ABCD所成的角。1由题意，得EF -CC11.21TCF=CB 1.2DF5. EFtanEDF DFDF,EF 5故直线J5DE与平面ABCD所成角的大小是arctan .59.【解析】如图的示，以 A为原点，建立空间直角坐标系，那么相关各点的坐标分别是A0, 0, 0，B 1 0，0，C右于,0 , D右于,0 ,P (0, 0,2),1因为BE.30/ ,0，平面PAB的一个法向量是 n。0,1,0,所以BE和n。共线，从而BE!

21、平面PAB 又因为 BE 平面PBE故平面 PBE!平面 PAB(2)易知PB1,0, 2，BE 诗0，-1 J3PA (0,0, 2),AD (,0).2 2设m (&,%,乙)是平面PBE的一个法向量， 那么由0,0 Z!0.(2,0,1).n1 PBn1 BE所以0,X1X1X1讨12乙3y122z1,故可取n1设n2 (X2,y2,Z2)是平面PAD的一个法向量， 那么由n2 PAn2 AD00 X2 0 y2 2Z2 0,'得 1.30X2' y2 0 Z2 0,22所以 Z2 0,X23y,故可取 n2(.3, 1,0).ni n22.3于疋,cos n 1

22、, n2| n 1 | | n2 |V5 2.155 .arccos .故平面PAD和平面PBE所成二面角锐角的大小是10.【解析】由题知 AE AD AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如下图的空间直角坐 标系，又E、F分别为BC PC的中点，所以 A 0，0, 0，B“，1,0%1,0，D0, 2，0，P0，0, 2，E/3,0,0，AE PD 0,故AE PD.(2)由(1)知 AE (、3,0,0),设平面AEF的一法向量为m Xi，yi，zi,取Zi 因为BDAE 0,_3X1因此 3AF 0,三21,那么 m (0,2, 1),AC,BD PA, PA AC0,Xi1 yiZi0.A,所以BD 平面AFC,故BD为平面AFC的一法向量.又 BD ( .3,3,0),所以cosm,BDm BD|m| |BD|2 35 .12因为二面角 E AF C为锐角，所以所155求二面角的余弦值为15511.【解析】1以D为原点，DA DC DD所在直线分别为 x轴、y轴、z轴建立如图6-1 所示的空间直角坐标系，设DA=a由题意知：D 0，0，0，A a，0，0，B a，a，0，C 0，2a，0，C 0，2a，2a，A a，0，2a， D 0