可化为一元一次方程的分式方程

1、§ 17.3可化为一元一次方程的分式方程激活思维1 看下面的问题：某市今年 1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 25%.小 勇家去年12月份的水费为18元，今年5月份的水费为36元.小勇家去年12月份的 用水量比今年5月份的用水量少6立方米，问去年该市居民用水的价格. 1根据题目中 的等量关系设出未知数列出方程； 2指出此方程是整式方程还是分式方程.2 分式方程作为一种新方程，如何求出分式方程的解是一个必须解决的问题因为整式 方程的解法已经熟悉，你能想出方法把分式方程转化为整式方程，再借助于整式方程求出35分式方程的解吗？比方：5 ，这个方程如何求解？x 1 x 33.方程

2、1有增根，试写出它的增根.x 54 .自从上次赛跑乌龟大胜兔子后，乌龟便成了体育界的名人，又是广告，又是讲演，活 动不断可蚂蚁偏偏不服气，向乌龟下了挑战书，我们来看：A乌龟先生匸粗月12日下年两时蔓，我与你进行长跑比雾.兔子兜生做戦判.从小郴树开蜡跑到相麗B采的大柳树下，比赛枪声响后.先是冠军*蚂蚁3月M号2比赛结束后，蚂蚁并没有取胜乌龟每分钟比蚂蚁多跑0. 2米，提前1分钟跑到，请你算算它们各自的速度.信息鼠标x元，那么今年该市居民用水的价格为1+25% x1 . 1设去年该市居民用水的价格为元，那么:(125%)x(2)此方程是分式方程.2 因为分式方程与整式方程的不同是分母中含有未知数，

3、所以去掉分式方程的分母是解决问题的关缝.对于此题的方程.两边同乘(x+1)(x+3)，得3(x+3) = 5 ( x+ 1 )。解这个方程得：x=2.检验：当 x=2 时，(x+1)(x+3)丰 0.原方程的解是 x=2 .3 .在解分式方程时，有时得到的未知数的值，使原分式方程的分母为零，这样的根叫原 分式方程的增根，因此 坐 1的增根应使x+5=0。即x = 一 5.x 54 .解：设蚂蚁每分钟跑 x米，乌龟每分钟跑(x+0.2)米.依题意，得6 1 .x x 2解得x=1.检验：x=1是方程的根.x+0.2=1+0.2=1.2 .答：蚂蚁每分钟跑 1米，乌龟每分钟跑 1.2米.互动研学教

4、练教材研学一、可化为一元一次方程的分式方程的解法1 .数字系数分式方程的解法解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程求解.去分母即在方程两边同 乘以最简公分母，假设分母可以分解因式，应首先分解.由整式方程得到的解，需代人最简 公分母中检验，使最简公分母不为零的解，才是原方程的解；使最简公分母为零的解，是 原方程的增根，应舍掉.2.含有字母系数的分式方程的解法此类方程与数字系数分式方程的解法根本相同，只是在系数化为1时.要讨论系数是否为零.增根的产生是由于在去分母时，方程两边同乘的整式恰好为零所致是方程变形造成 的，不是解题错误方程的增根不是分式方程的根但是增根是变形后所得到的整式方程

5、的根.4 分式方程有增根与无解的关系不仔细推敲，会认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事事实上并非如此.分式方程有增根，指的是解分分式方程求出的根是原分式方程变形后所得整式方程的2 x 1根，但不是原分式方程的根，即这个根使最简公分母为0 比方：方程2 ,x 33 x可解得：x=3，而x=3是原方程的增根，此方程无解此题中，分式方程有增根，方程无 解，但并不是说只要有增根方程就无解，等大家进入高年级，学习了更多的知识，会发现 有增根的分式方程并不全是无解的.问题：假设关于x的方程m无解，求m的值。x 3探究：1将分式方程去分母，整理为：1 一 m x = 一 4 m 当1 一 m=0，而4

6、m工0时方程无解.此时，m=l 依据是形如 ax=b的方程在a=0, b丰0时无解2如果方程的解恰好是原分式方程的增根，原分式方程无解根据这种思路，可先确定增根后，再求 m的值原方程假设有增根，增根为x = 3，把x=3代入方程中，求出m =一 3 综上所述，m= 1或m = 3时，原分式方程无解而此分式方程有增根时，m =一 3结论：通过本例可以发现，1现阶段学习的分式方程有增根时，一定无解；2分式方程无解，可能是因为有增根，也可能是由分式方程转化所得的整式方程ax=b中的a=0、b丰0造成的.三分式方程的应用1 .列分式方程客观世界中存在大量的问题需要用分式方程去解决，当我们掌握好相关的知

7、识和方法 后，就可以运用它们分析和解决实际问题.此类题目接近生活，取材广泛，做题时，要注意题目的情境，弄清是行程问题、增 长率问题等中的哪一类，当然也有一些跨学科的综合题，比方：杠杆问题等，无论哪一类 都要根据相关的根本量寻找关系.2 列分式方程解应用题的一般步骤：弄清题意；设未知数，列出有关的代数式；依题意找等量关系，列出分式方 程；解方程；检验：一方面要检验所求出的解是否为原方程的根，另一方面还要检验 所求的解是否符合实际意义；答。3 编写符合一定条件的分式方程 开放型题目这类开放型的题目，能很好地反映学生水平的上下，不同层次的学生都能解答此类题,这是对学生综合能力的考查.点石成金例1 .

8、解方程632(x 1)(x 1) x 1 x 1分析：此类题目考查的是分式方程的解法，只需按照解分式方程的步骤求解.解：方程两边同乘以x+1x 1，去分母得，6 3x+1=2x 一 1，解这个方程得，x=1 .检验：当x=1时，x 一仁0,所以，x=1是原方程的增根，原方程无解。名师点金：分式方程的解法步骤：同乘最简公分母，化成整式写清楚，求得解后须验根, 原根留、增根舍别模糊.在公式 x一m n = l中，求 x m、n为常量，且2n.x n x分析：在此题中x是未知量，m、n为常量，方程本身有意义，题目中隐含着 x+n工0与x 工0的条件，此题实际上是一个以x为未知量的、含有字母系数的分式

9、方程.方程两边同乘以x+nx 得，x + mx 一 x+nn=x+ nx ,整理，得 n2+mx 一 nx n2= x2 + nx, m 一 2nx= n2./ m2n. m 一 2n0.2 n xm 2n名师点金：做这类题最容易犯的错误是在系数化为1时，不进行讨论.例3 .：分式方程 坐10有增根，求a的值.x 10的根，但x分析：此题考查了对增根的理解，根据增根的意义，x= 1虽不是1x 1=1是由原方程得到的 ax+ 1 = x- 1的根.解：去分母，原方程可化为ax+1=x 一 1.原分式方程有增根， x=1是方程ax+1 = x l的根，把 x=l代入ax+1 = x 一 1中，解得

10、，a= 1. 名师点金：做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的 值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值.例4 .任意写出一个以 x=3为根，且可以化为一元一次方程的分式方程.分析：此题不仅考查了分式方程、整式方程和解方程的知识，而且还考查了学生的逆向思 维能力.答案有无数个，只需写出一个符合条件的答案即可.3 解：一1x名师点金：解这类题除直接写出最简单的答案外，还可以先写出一个整式方程，然后再将方程两边同时倒过来，如：由2x- 3 = x,得12x 3例5.要想富，先修路.某市要修筑一条4 000米长的公路，为了使广阔市民尽快用

11、上这条路，实际施工时,设原方案每天修路x米，那么可得方程40004000 20 .根据此情境，题中用空白处缺少的条件是什么？xx 10解析：x+10表示每天比原方案多修 10米，24000表示实际施工的天数，方程左边表x 10示原方案所需天数与实际施工天数的差，故可得出结论答案：要填的条件是：每天比原方案多修10米，结果提前20天完成任务. 名师点金：此题除考查工程问题中的根本量外，更主要的是考查学生的创新、分析、综合 问题的能力要解决这类问题，首先认阅读题目，分析除缺失的条件以外的其他条件与结 论之间的关系，采取“两头凑的方法，到达目的.例6:某中学库存960套旧桌凳修理后捐助贫困山区学校现

12、有甲，乙两个木工小组都想承揽这项业务经协商后得知：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天；乙小组每天比甲小组多修 8套；学校每天需付给甲小组修理费80元，付给乙小组120元。(1) 求甲、乙两个木工小组每天各修桌凳多少套？(2) 在修理桌凳过程中，学校要委派一名维修工进行质量监督，并由学校负担他每天10元的生活补助现有以下三种修理方案供选择：由甲单独修理；由乙单独修理；由甲、乙共同合作修理，你认为哪种方案既省 时又省钱？试比拟说明.等量关系有：乙小组每天比甲小组多修8套：甲小组单独修理这批桌凳比乙小组多用20天.如果设甲小组每天修x套，那么乙小组每天修(x+8)套，利用等量关系甲小组单独修理

13、这批桌凳比乙小组多用20天就能列出方程.(1)设甲小组每天修理桌凳 x套。那么乙小组每天修理(x+8)套，依题意得，960 “96020xx 8解这个分式方程得，x=16 .经检验，x=16是原方程的根并且符合题意。x+8=16+8=24 所以，甲小组每天修理桌凳16套乙小组每天修理 24套(2)假设甲小组单独修理.那么需 960十16= 60 (天).总费用：60 X 80+60 X 10=5 400 (元)。假设乙小组单独修理，那么需960 - 24=40天.总费用：40 X 120+40 X 10= 5200 (元)：假设甲、乙两小组合作：那么需 960-( 24 + 16)= 24 (

14、天)，总费用：(80+120 )X 24 + 24 X 10 = 5040 (元)所以，第种方案既省时又省钱。名师点金：选择最正确方案的问题有两种常用的方法：1计算法，通过对所有方案的计算，找出每一种方案所需要的条件， 比拟得出最好的方案.2推理法，通过逻辑椎理, 分析判断选出最好方案。同步演练根底稳固题ax 331.关于x的方程-的解为x=1，贝V a为 a x 4A . 1 B. - C .一 1 D .一 - 2某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做 48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做 x件，那么x应满足的方程为7207205B.720720AA .u48x

15、484848 x7207205D.720720匸C.548x4848 x3.方程x1-的解与方程mx5的解相同，求mx1x 24.解方程：14x4x2165.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨。请你根据图17 - 1的信息，帮小明计算今年五月份汽油的价格只列出方程不求解令勺：«月伽蚩弋丫由厂瞥甲汽汕f昭比 月解升軒记脚左欲车6.据联合国?200-年全球投资报告?指出，中国2002年吸收外国投资额达 5-0亿美元,居全球第二位，比上一年增加了13% .设2001年我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满足的方程.(1)你能写出几个？(2 )其中哪一个是分式方程 ？7小

16、强家、王老师家、学校在同一条路上，小强家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为 0. 5千米，由于小强的父母战斗在抗“禽流感第一线，为使他能按时到校，王老师每天骑自自车接他上学.王老师骑自行车的速度为步行速度的3倍,每天比平时步行上班多用20分钟，问王老师骑自行车的速度是每小时多少千米小强家王老师家学校图 17-3-2探究提高题&在一次物理测验中，有 m个同学得a分，n个同字得b分，那么这局部同学的平均分数是()a b1 a bA.B.( )m n2 m n1ma nbC. -(ambm)D.2m nx m419.关于x的方程的解为x =，贝U m =m(x 1)551k10

17、 方程22有增根，求k的值.4 xx 2500元，所有房11 某单位将沿街的一局部房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多屋的租金第一年为 9. 6万元，第二年为10. 2万元.(1) 你能找出这一情境中的研究对象吗(2) 你能找出这一情境中的等量关系吗(3) 根据这一情境你能提出哪些问题(4) 解决提出的问题.拓展延伸题 阅读以下材料:111 1方程 一 的解是x=1 ；x 1 x x 2 x 31 1 1 1方程一 一 的解是x=2 ;x x 1 x 3 x 4 1111方程 一 一 的解是x= 3;x 1 x 2 x 4 x 5(1)请观察上述方程与解的特征给出能反映方程一般规律的方程，

18、并求出这个方程的解;(2)根据(1)中得到的结论，写出一个解为一10的分式方程.13. 看下面的问题：济宁到济南公路长 360千米，为适应两地经济开展的要求，客车的速度每小时比原来增加了 10千米，这样使客车由济宁到济南的时间减少了2小时，求客车原来以及现在的速度.假设设客车原来的速度为每小时360360可得万程为：x x 10假设设客车提速后的速度为每小时x千米，那么由题意2 ；x千米，那么由题意可得方程为：虫竺 型 2 .x 10 x请仿照上面的应用题，编一道类似的应用题，满足下面的两个条件：(1)不改变分式方程的形式；(2)改变实际背背景和数据.14. 2004年8月中旬，某市受台风“云娜的影响后，局部街道路面积水比拟严重，为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200m的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工假设甲、乙两队合做需 12天完成此项工程；假设甲队先做了 8天，剩下的由乙队单独做 还需18天才能完工问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，那么乙工程队至少要施工多少天？中考模拟题x15. ( 2006 浙江绍兴)当 x =时，分式 的值为0。x 116. (