培优专题3-用分组分解法进行因式分解(含答案)

1、3、用分组分解法进行因式分解【知识精读】分组分解法的原那么是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法 的关键在于分组适当， 而在分组时， 必须有预见性。 能预见到下一步能继续分解。 而“预见 源于细致的“观察，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。应用分组分解法因式分解， 不仅可以考察提公因式法， 公式法， 同时它在代数式的化简， 求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。【分类解析】1. 在数学计算、化简、证明题中的应用例 1. 把多项式 2a(a2 a 1) a4a2 1 分解因式，所得的结果为22A. (a2 a

2、1) 222B. (a2 a 1) 22 2 2 2C. (a2 a 1)2D.(a2 a 1) 2分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。解：原式 2a(a2 a 1) a4 a2 1a42a33a22a 1(a42a3a2)2(2a2 2a) 1(a2a)22(a2a) 1(a2a1)2应选择 Cx5 x4 x 3和 x2 x 1分例 2. 分解因式 x5 x4 x 3 x2 x 1分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把 x5 x4 ，x3 x2和X 1分别看作一组，此时的六项式变成

3、三项式，提取公因式后再进行分解。解法 1：原式5(x43xx )(x2x 1)3(x31)(x2 x1)(x1)(x2 x1)(x2x 1)解法 2：原式 (x4x)3(xx2)(x1)x4(x 1)2x (x1)(x1)(x1)(x42 x1)(x41)( x 42x21)2 x(x1)(x2x 1)(x2x1)2. 在几何学中的应用证明：以 a、b、c 为三边能构成三角形分析：构成三角形的条件,即三边关系定理,是“两边之和大于第三边,两边之差小于第三边证明2：ac2 b2 2ac2222ac 0acb22 a2ac2 cb 2 0,即 (a c) 2b20(ac b)(ac b) 0又ac

4、bacbacb0,acb0ab c,abc即abcab以a、b、c为三边能构成三角形例：三条线段长分别为a、b、c,且满足a b, a2 c2 b2 2ac3. 在方程中的应用 例：求方程 x y xy 的整数解分析： 这是一道求不定方程的整数解问题, 故可考虑借助因式分解求解解：xyxy直接求解有困难, 因等式两边都含有 x 与 y,xyxy0xyxy11即 x(y 1) (y 1) 1(y1)(x1)1x,y是整数x11x11或y11y11x0x2或y0y24、中考点拨例 1. 分解因式：221 m n2mn 。解： 12 m2n 2mn1(m22mn n2)1(m2n)2(1mn)(1

5、m n)说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。例 2分解因式：22xyxy解： x 2 y 22x y (x2y2)(xy)(xy)(xy)(x y)(xy)(xy1)说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。32例 3. 分解因式： x3 3x2 4x 12 3 2 3 2解： x 3 3x 2 4x 12 x3 4x 3x2 12 22x(x 4) 3(x 4)(x 3)(x 2)(x 2)说明：分组的目的是能够继续分解。5、题型展示：分解因式：m2(n21)24

6、mn n 122 m (n1) 4mnn2122 mn2m 4mnn2122 (m n2mn 1)(m22mn n 2 )(mn 1)222 (m n)2(mn mn 1)(mnmn 1)例 1.解：说明：观察此题， 直接分解比拟困难， 配成完全平方和平方差公式。口号，不妨先去括号， 再分组， 把 4mn 分成 2mn 和 2mn，2 2 2例 2. ： a2 b2 1， c22d2 1，且 ac bd 0 ，求 ab+cd 的值。解： ab+cd= ab 1 cd 1ab(c2 d2)cd(a2b2) abc2 abd2 cda2 cdb2(abc2cdb2)(abd2cda2)bc(ac

7、bd) ad(bd ac)(ac bd)( bc ad)ac bd 0原式 0说明：首先要充分利用条件 a2 b2 1, c2 d2 1中的1任何数乘以 1,其值 不变，其次利用分解因式将式子变形成含有 ac+bd因式乘积的形式，由ac+bd=0可算出结 果。3例3.分解因式：x 2x 3分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当x=1时，它的值为0,这就意味着x 1是x3 2x 3的一个因式，因此变形的目的是凑x 1这个因式。解一拆项：3 x2x 33x33 2x32x3(x(x1)( x2 x1)( x2 x1)3)2x(x21)解二添项：3 x2x 33 x2 2 xx2x

8、32 x(x 1) (x1)(x3)(x1)(x2x3)说明：拆添项法也是分解因式的一种常见方法，请同学们试拆一次项和常数项，看看是否可解？【实战模拟】1.填空题：1分解因式：2 a3a2b2 3b2分解因式：2 x2x4xy 4y2 4y3分解因式：1mn(1mn) m3 n32.：abc0,求a3a2c abc b2c b3 的值。53. 分解因式： a a 14. ：x y z 0, A是一个关于x, y,z的一次多项式，且xy z (x y)(x z)A ,试求 A 的表达式。5.证明：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)2 (a 1)2(b 1)2试题答案】1解：原式(a2

9、b2)3(ab)(ab)(ab)3(a b)(ab)(ab 3)2解：原式(x24xy4y2)2(x 2y)(x2y)22(x2y)(x2y)(x2y2)3解：原式1mn m2n2m3n3(1mn)2 mn2(1 mn)(1mn)(12 mn2)解：原式(ab)(a2abb2)c(a2 ab(a2abb2 )(a bc)a1.2.bc0b2)原式 0说明：因式分解是一种重要的恒等变形，在代数式求值中有很大作用。53. 解： a5 a 1a5 a2a2 (a3a2 (a 1 (a2 aa21) (a)(a21)(a3a12a a 1)a21)(a21)a1)解：2 x2 yz20222222yxz ， zxy333xyz(x3 y3)z z2(xy)(x2xyy2)z(x22y2)(xy)x2xyy2z(xy)(xy)x(x z)y(xz)(x2z2)(xy)(xz)(xyxz)(xy)(xz)(2xyz)A2x yz5. 证明： (a b 2ab)(a b 2) (1 ab)22 2 2 2 2 2a2ab 2a ab b22 b2a 2b2ab24ab 1 2ab a 2b 2a22