小学数学解题技巧大全

1、【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算 一1. 特殊数题 (1)21 12 当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外 )交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9 。因为这样的两位数减法，最低起点是21 12，差为9，即(2 1) X 9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31 13 = (3 1) X 9 = 18。减数从12 89，都可类推。被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如210 120 = (2 1) X 90 = 90,0.65 0.56 = (6 5) X 0.09 = 0.09。(2) 31 X51个

2、位数字都是 1 ，十位数字的和小于 10 的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的 和同 1 连在一起的数。假设十位数字的和满 10，进 1。如证明：(10a + 1)(10b + 1)=100ab + 10a + 10b + 1=100ab + 10(a + b) + 1(3) 26 X 86 42 X 62个位数字相同，十位数字和是 10 的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个 位数的积。假设个位数的积是一位数，前面补 0。证明： (10a c)(10b c)=100ab + 10c(a + b) + cc=100(ab + c) + cc

3、(a + b = 10)。(4) 17 X19十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。原式=(17 + 9) X 10 + 7X 9 = 323证明： (10a)(10b)=100 + 10a + 10b + ab=(10 + a) + b X 10 + ab。(5) 63 X69十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。原式= (63+9)X6X10+3X9 =72X60+27=4347。证明： (10a + c)(10a + d)= 100aa + 10ac + 10ad + cd = 10

4、a(10a + c) + d + cd 。(6) 83 X87十位数字相同，个位数字的和为 10，用十位数字加 1 的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的 积。如证明： (10a + c)(10a + d) =100aa + 10a(c + d)+ cd = 100a(a + 1)+ cd(c +d= 10)。(7) 38 >22十位数字的差是 1 ，个位数字的和是 10 且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位 数与个位数的平方差。原式=(30 + 8) > (30 8)=302 82 = 836。(8) 88 > 37被乘数首尾相同，乘数首尾

5、的和是 10 的两位数相乘，乘数十位数字与 1 的和乘以被乘数的相同数字，是积的 前两位数，后两位是个位数的积。(9) 36 >15乘数是 15 的两位数相乘。被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以 10 ；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去 1 后的一半，和 的后面添个 5。=54 > 10 = 540。55> 15(10) 125 >101三位数乘以 101 ，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125 1 = 126 。原式= 12625 。再如 348 > 101 ，因为 348 3= 351 ，原式= 35148 。(11) 84 >

6、;49一个数乘以 49，把这个数乘以 100，除以 2，再减去这个数。原式=8400 - 2 84=420084=4116 。(12) 85 >99两位数乘以9、99、999、。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。原式= 8500 85= 8415不难看出这类题的积：最高位上的两位数 (或一位数 )，是被乘数与 1 的差；最低位上的两位数，是 100 与被乘数的差；中间数字是 9，其个数是乘数中 9 的个数与 2 的差。证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a丰0)，那么如果被乘数的个位数是 1，例如31 > 999在 999 前面添 30 为 3

7、0999 ，再减去 30，结果为 30969 。71 > 9999 = 709999 70= 709929 。这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为 (10a + 1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n 1)的形式，其积为(10a1)(10n 1)=10n 1a(10n 1)10a。(13) 1 W9这是一道颇为繁复的计算题。根据“如果被除数不变，除数扩大 (或缩小 )假设干倍，商反而缩小 (或扩大 )相同倍和“商不变性质，可很 方便算出结果。十1.9，把1.9看作2，计算程序：2 = 0.05。2把商向右移动一位，写到被除数里，继续除如此除到循环为止。仔细分析这个算式：a

8、 0.1 = 0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。除数末位是 9，都可用此法计算。例如1 - 3计算。1- 40计算。数学素养与能力 含估算能力 的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有 关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。美国数学督导委员会，提出的 12 种面向全体学生的根本数学能力中，第 6 种能力即估算：“学生应会通过心 算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作 出决定1最高位估算只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的

9、值大概在什么范围。例1 113750443169最高位之和 1 53= 3，结果在 3000 左右。如果因为无视小数点而算成 560 ，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数估算，错误立即暴 露。X整体思考。 50,而 50 X 50 X 1.5 = 75,又 51.9 > 50 , 1.51 > 1.5 ,X 1.51 > 75。另外 9X1=9，所以原式结果大致是 75 多一点，三位小数的末位数字是 9。例 4 3279 - 79把 3279 和 79，看作 3200 和 80。准确商接近 40 ，假设相差较大，那么是错的。2最低位估算例如， 6403 2321

10、578328=13，原式和的末位必是 3。3规律估算和大于每一个加数；两个真分数 或纯小数 的和小于 2；一个真分数与一个带分数 或一个纯小数与一个带小数 的和大于这个带分数 或带小数 ，且小于这个带分数 或 带小数 的整数局部与 2 的和；2；两个带分数 或带小数 的和总是大于两个带分数 或带小数 整数局部的和，且小于这两个整数局部的和加上奇数土奇数=偶数，偶数土偶数=偶数，奇数土偶数=奇数；差总是小于被减数；整数与带分数 或带小数 的差小于整数与带分数 或带小数 的整数局部的差； 带分数 或带小数 ，与整数的差大 于带分数 或带小数 的整数局部与整数的差。带分数 或带小数 与真分数 或纯小

11、数 的差小于这个带分数 或带小数 ，且大于带分数 或带小数 减去 1 的差；带分数与带分数 或带小数与带小数 的差小于被减数与减数的整数局部的差，且大于这个差减去1 ；如果两个因数都小于 1，那么积小于任意一个因数；假设两个因数都大于 1，那么积大于任意一个因数；带分数与带分数 或带小数与带小数 的积大于两个因数的整数局部的积，且小于这两个整数局部分别加1 后相乘的积； 例如，A v AB v B。奇数X偶数=偶数，偶数X偶数=偶数；假设除数v 1，那么商被除数；假设除数1，那么商v被除数； 假设被除数除数，那么商 1；假设被除数v除数，那么商v1。4位数估算整数减去小数，差的小数位数等于减数

12、的小数位数；例如，320 0.68 ，差为两位小数。最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和； 例如， 451 X 7103最高位的积4 X 7 = 28，满10，结果是3 + 4= 7位数。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数 等于被除数的位数减去除数的位数；例如，147342 - 2714不够 27除，商是 42=2位数。 被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。例如，30226 - 238302 够 238 除，商是 531=3位数。5取整估算把接近整数或整十、整百、的数，看作整数，或整十、整百的数估算。疋2 + 1，和定小于3。

13、12 X 10 X 10,积接近 100。应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。= 12.96 3.34 6.66= 33= 0例 3 15.74 (8.52 3.74)例 4 1600 - (400 - 7)=1600 - 400 X 7=4 X 7=28根据乘法分配律，可逆联想。= (3.256.75) X 0.4=10X=4X10X1=875= 8 7= 16. 扩 缩 式XX 36X (6436)X 100 = 40例 2 16X457. 分 解 式例如， 14X 7242X 76= 14X 3X 2442X 76= 42X (2476)=42X 100= 42008. 约

14、 分 式= 3X 7X 2= 42例 2 169 - 4 - 7 X 28 - 13=19889. 拆 分 式10. 拆 积 式例如，32 XX 25=8 XX (4 X 25)=10 X 100 = 100011. 换 和 式X8=(0.125 + 0.0007) X 8=(8.37 + 0.32) (5.68 + 0.32)12. 换 差 式13. 换 乘 式例1 123234345456567678=(123 + 678) X 3=801 X 3 = 2403例2(6.72 6.726.726.72)X25X (4 X 25) = 672例 3 45000 - 8 - 125=45000

15、 - (8 X 125)=45000 - 1000 = 45-25-X 4X 25)-80例 5 33333 X 33333=11111 X 99999=11111 X (100000 1)=1111100000 11111=1111088889综合应用，例如=1000 + 7 = 1007=(11.75 + 1.25 4.15 0.85) X 125.25(转)=(11.75 + 1.25) (4.15 + 0.85) X 125.25(合)=8 X=8 X (125 + 0.25)(拆)=8X1258X0.25=100214. 换 除 式例如， 5600 - (25 X 7)=5600 -

16、 7 - 25=800 - 25 = 3215. 直 接 除例 1 7 45 236=9 X 3 = 27如果两个分数的分子相同，且等于分母之和或差 ，那么这两个分数的和 或差 等于它们的积。知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、第 n-1个减数的分母的连乘积加上1。n为不小于2的自然数其差等于其积一个整数与一个整数局部和分子都是 1，分母比整数 另个乘数 小 1 例如， 25 X 123678448=123

17、678448 X 100 - 4十4=3091961200=1986 662 = 13243510 - 15=(3510 1170) - 10 = 234-4 - 6 X 24 - 27观察其特点，例如， 372 499=372 + 500 1 = 871例如， 476 302=476 + 300 + 2 = 778应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减 去整数。=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)例如，1992 X 27.5 + 1982 X=1992 X 27.5 + (1992-10) X=1992 X 27.5 + 1

18、992 XX=1992 X (27.5 + 72.5)-725=199200-725=198475或原式 =(1982 10)X 27.51982X观察整数和分数局部，显然原式 =3 。例如，(1 + 2 + 3 + + 99) + (4 + 8 + 12 + + 396)=(1 + 2 + 3 + + 99) + 4(1+2+3 + 99)=5(1 + 2+3 + 99)有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57 和 76 为互质数。判断两个数是否互质，不必用2、3、5、逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。57=3X 19，如果 57 和

19、76 有公有的质因数，只可能是 3 或 19。用 3、 19 试除，57， 76= 19X 3X 4= 228。26 = 2 X 13, 65和91是13的倍数。 最小公分母为13 X 2 X 5 X 7 = 910。教材中讲分解质因数，主要是为了求几个数的最大公约数和最小公倍数，给通分和约分打根底。其实，分解质 因数在解题中很有用处。提供新解法，启迪创造思维。例 1 184X75原式=2 X 2 X 46 X 3 X 5 X 5=46 X 3X 2X 52 =138X 100=13800 。38. “1 、 1 法一个整数减去一个带分数，可用这个整数减去比减数的整数局部多1 的数，再从 1

20、中减去分数局部。为便于记忆，称“ 1 、 1 法。39. “1 , 9 , 9 10法一个整数减去一个小数 末位不为 0，可先减去比小数高位多 1 的数， 再从 9 中减去其它位数， 最后从 10 中减 去末位数。例 1 650 X 74 - 65=(650 - 65) X 74=10 X 74 = 740例 2 176 X 98 - 49=176 X (98 - 49)=176 X 2 = 352例 3 7 - 13 X 52 - 4例 4 102 XX 99X 8=102 X 99 1X 99=99 X (100 + 1 )=9900 + 99 = 999941.用 数 据熟记一些特殊数据

21、，可使计算简捷、迅速。例 1 由 37 X 3 = 111知 37 X 6 = 111 X 2= 22237 X 15 = 37 X 3 X 5 = 555例 3 1000 以内不包括整十、整百 只含因数 2 或 5 的 2、4、8、16、32、64、128、256、512； 5、25、125、625。这些数作分母的分数才能化成有限小数，不需试除。例 4 特殊分数化小数分母是 5、20、25、50 的最简分数，在化为小数时，把分子相应地扩大2、5、4、2 倍，再缩小 10、100 倍。分母是 8 的最简分数，分子是 1、3，小数的第一位也是 1、3。分母是 9 的最简分数，循环节的数字和分子的

22、数字相同。例5 19 n1X 3.14 = 3.14 6 X2X 3.14 = 6.28 7 X3X 3.14 = 9.42 8 X4X 3.14 = 12.56 9 X5X 熟记这些数值，可口算。X13=10 n +3 nX 89=90 n - nnX变为整数，三位数前面补 0 改为四位数，这样不会把数位搞错，将结果左端的 0去掉，点上小数点得 4.9612。也可从高位算起。仔细审题，知第二个括号里的结果为 0，此题得 0。所以可直接得 0。X 0.9 - 3.8 2.8除数为 1 ，那么商就是被除数。43. 想 变 式44. 用 规 律例1 682 702 两个连续奇 偶数的平方和，等于这

23、两个数之积的2 倍加 4 的和。原式=68 X 70 X 2 + 4=9520 + 4 = 9524。例 2 522 512 = 52 + 51 = 103 两个连续自然数的平方差，等于这两个数的和。例3 18X1920 任意三个连续自然数，最小数与中间数的乘积加上最大数的和，等于最大数与中间数的乘积减去最小数。原式=20 X 19 18 = 362。例4 16X1715X18四个连续自然数，中间两个的积比首尾两个的积多 2 。原式=2。 证明：设任意四个连续自然数分别为a 1 、a、a1 、a2，那么 aa1a1a 2 = a2+a-a2-a 2= 2。例 5 一个从第一位开始有规律循环的多

24、位数包括整数局部是 0 的纯循环小数 ，乘以一个与其循环节位数相同的数，其规律适用于一些题的简算。ABAB XCD=ABX 100ABX CD=AB X 100 X CD + AB X CD=(CD X 100 + CD) X AB=CDCD X AB如：125 X 5 X 1616 X 78= 125X 5X 7878X 16= (125 X 8)X (5X 2)X 7878= 78780000在根底题上深化。例如，观察 ( 1 )的解题过程， 逆用各步的结构特点，46. 巧 归 纳例如，1 + 2 + + 100 + 99 + + 11100的和为5050，再加一倍为 10100 ,减去多

25、加的 100为10000。但速度太慢。 有相同的行数和列数，用点或圈列成正方形的数，叫作正方形数。由图知1232+1 = 32，1234+5 4+3 21 = 52。不难发现，和为最大加数的平方。显然，5+ 6 + + 29 + 30 + 29 + + 6 + 5= 302 42-4 =900164=880。【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题一1.想 数 码例如， 1989 年“从小爱数学邀请赛试题 6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？ (如果正确，请你写出这个四位数；如果

26、不正确，请说明理由 )。思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数奇数=偶数，偶数偶数=偶数，这两个四位数相加的 和必为偶数。相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是1 7 、 1 3 、 1 1 、 1 5 。所以该同学的加法做错了。正确答案是思路二：每个数码都不小于 5，百位上两数码之和的 11 只有一种拆法 56，另一个 5只可能与 8组成 13， 6 只可能与 9 组成 15。这样个位上的两个数码，89= 16 是不可能的。不要把“数码调换了位置误解为“数码顺序颠倒了位置。例 1 比拟 1222 X 1222 和 1221 X 1223 的大小。由两式的尾数 2X 2 = 4,

27、1 X 3 = 3，且4 >3。知 1222 X 1222 > 1221 X 1223例2 二数和是 382，甲数的末位数是 8，假设将 8去掉，两数相同。求这两个数。由题意知两数的尾数和是 12 ，乙数的末位和甲数的十位数字都是 4。由两数十位数字之和是 8-1= 7,知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。甲数是 348，乙数是 34。例 3 请将下式中的字母换成适当的数字,使算式成立。由 3 和 a5 乘积的尾数是 1 ,知 a5 只能是 7；由3和a4乘积的尾数是7 2 = 5，知a4是5 ;不难推出原式为142857 X 3= 428571 。例如，从110的十个数中，每次取

28、两个数，要使其和大于10,有多少种取法?思路一：较大数不可能取 5 或比 5 小的数。取6有65；取7有74, 75, 76；取10有九种 10 + 1 , 10 + 2,10 + 9。共为 1 + 3 + 5 + 7 + 9= 25种。9的有 9思路二：两数不能相同。较小数为 1 的只有一种取法 110；为 2的有 29, 210； 较小数为 10。共有取法 123454321=25种这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、开始。思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、19。和是 11 的有五种 110, 29, 38, 47, 56；和是 1119的取法 54433221

29、1=25种。用最大与最小数之积作内项 或外项 的积,剩的相乘为外项 或内项 的积,由比例根本性质知交换所得比例式各项的位置,可很快列出全部的八个比例式。例如,思考题：在五个 0.5 中间加上怎样的运算符号和括号,等式就成立?其结果是 0, 0.5, 1 , 1.5, 2。从得数出发,想：两个相同数的差,等于 0； 一个数加上或减去 0,仍等于这个数； 一个因数是 0,积就等于 0； 0 除以一个数 不是 0,商等于 0； 两个相同数的商为 1；1除以0.5，商等于2 ;解法很多,只举几种：0.50.5XXX 0.5=00.50.50.50.5X0.5=00.50.50.5X0.50.5=00.

30、50.50.50.5X0.5=00.50.5XX0.50.5X(0.5 + 0.5) X(0.5 0.5) X 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1-0.5 + (0.5 0.5) X 0.5 = 1(0.5 0.5) - 0.5 + 0.5 + 0.5 = 1(0.5 + 0.5) - 0.5 (0.5 + 0.5) = 1(0.50.5)X-0.5 + 0.5 0.5 = 2(0.5 + 0.5) - 0.5 + 0.5 0.5 = 2(0.5 + 0.5 + 0.5 0.5) - 0.5 = 2(0.5 + 0.5) X 0.5 + 0.5 - 0.5 = 26.想平均数思路一：由“任

31、意三个连续自然数的平均数是中间的数。设第一个数为“ 1 ，那么中间数占知这三个数是 14、15、16。二、一个数分别为16 1 = 15 ,15 1 = 14 或 16 2 = 14。假设先求第一个数，那么思路三：设第三个数为“1，那么第二、三个数，知是 15、16。思路四：第一、三个数的比是7 : 8，第一个数是2十(8 7) X 7= 14。假设先求第三个数，那么2 - (8 7) X 8 = 16。例 1 思考题：在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号 使所得的结果都等于 100。例如123456789=1001

32、23456789=100你还能想出不同的添法吗？ 123456789=45。假设去掉 7 和 8 间的“，式左为123456789，比原式和增大了 78 (78)= 63，即123456789= 4563 = 108 。为使其和等于 100 ，式左必须减去 8。加 4 改为减 4，即可 123456789=100。“减去4可变为“减 1、减3，即 123456789=100二年级小学生没学过负“ 1，不能 介绍。如果式左变为12345 6789。 12(12)89(89)=81。即 123456789=4581=10026。学习文档 仅供参考要将“变为“的数和为13，在 3、4、5、6、7 中

33、有 67，346，因而有12 + 3 + 4 + 5 6 7+ 89 = 100 ,12 3 4 + 5 6 + 7+ 89 = 100 ,同理得12 + 3 4 + 5 + 67 + 8 + 9= 100 ,1+ 23 4 + 56 + 7+ 8 + 9= 100 ,123456789= 100，12345 67+ 89= 100，123+ 4 5+ 6789=100， 1234567+89=100。为了减少计算。应注意：(1) 能否在 1、23、4、5、6、7、89 中间添上加、减 (不再去掉某两数间的加号 )，结果为 100 呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数

34、，奇数±偶数=奇数，结果不会是100。(2) 有一个是四位数，结果也不可能为100。因为 1234 减去余下数字组成 (按顺序 )的最大数 789 ，再减去余下的 56，差大于 100。例2求59199的奇数和。由从 1 开始的连续 n 个奇数和、等于奇数个数 n 的平方1+ 3 + 5+ 7 + + (2n 1) = n2奇数比它对应的序数 2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n 1。例如，32对应奇数2 X 32 1 = 63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在 100(2n 1 = 199 , n = 100)的位置 上。知1199的奇数和是 1002 = 10

35、000。此和包括 59 , 2n 1 = 57、n = 29、157的奇数和为 292 = 841。 所求为 10000 841 = 9159 。或者 59=30X21， 302=900，10000 900 + 59 = 9159 。例 1 思考题：在 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9 九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号， 使所得的结果都等于 100。例如1+234+5+6+789=100123+4567+89=100你还能想出不同的添法吗？1+2+3+4+5+6+7+8+9=45。假设去掉 7和 8间的“+，式左为 1+2+3+4+5+6+78+9，

36、比原式和 增大了 78 (7+ 8)= 63，即1+2+3+4+5+6+78+9= 45 + 63 = 108 。为使其和等于 100 ，式左必须减去 8。加4改为减 4，即可 1+2+34+5+6+78+9=100。“减去 4 可变为“减 1、减 3，即 1 + 2 3 + 4 + 5+ 6 + 78 + 9 = 1 00二年级小学生没学过负数“1，不能介绍。如果式左变为12 + 3 + 4+ 5+ 6 + 7+ 89 。 12(1+2)+89(8+9)=81。即 12+3+4+5+6+7+89=45+81=100+26。要将“+变为“的数和为 13，在 3、 4、 5、 6、 7中有 6+

37、7， 3+4+6，因而有12+ 3+ 4+ 5 6 7+ 89=100，1234+56+7+89=100，同理得12+ 3 4+ 5+ 67+ 8+ 9=100， 1+234+56+7+8+9=100，1 + 2+ 34 5+ 67 8+ 9 = 100 ,123 4 5 6 7+ 8 9= 100 ,123 + 4 5 + 67 89 = 100 ,123456789=100。为了减少计算。应注意：(1) 能否在 1 、23、4、5、6、7、89 中间添上加、减 (不再去掉某两数间的加号 )，结果为 100 呢？1、23、5、7、89的和或差是奇数， 4、6的和或差是偶数，奇数±偶

38、数=奇数，结果不会是100。(2) 有一个是四位数，结果也不可能为100。因为 1234 减去余下数字组成 (按顺序 )的最大数 789 ，再减去余下的 56，差大于 100。例2求59199的奇数和。由从 1 开始的连续 n 个奇数和、等于奇数个数 n 的平方1 + 3+ 5 + 7 + (2n 1) = n2奇数比它对应的序数 2倍少 1。用 n 表示任意一个自然数，它对应的奇数为 2n1。例如，32对应奇数2 X 32 1 = 63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n 1 = 199 , n = 100)的位置上。知1199的奇数和是 1002 = 10000。此和包括 5

39、9 , 2n 1= 57、n = 29、157的奇数和为 292 = 841。 所求为 10000 841 = 9159 。或者 59=30X21， 302=900，1000090059=9159。任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为 P,最小公倍数为 Q、且M、N不公有的因数各为a、b。那么 MX N= PX aX PX b。而 Q= PX aX b，所以 MX N= PX Q。例 1 甲乙两数的最大公约数是 7，最小公倍数是 105。甲数是 21，乙数是多少？例2 两个互质数的最小公倍数是 155，求这两个数。这两个互

40、质数的积为 1 X 155 = 155，还可分解为5 X 31。所求是 1 和 155 ， 5 和 31 。例3 两数的最大公约数是 4，最小公倍数是 40，大数是数的 2.5倍，求各数。 由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的 2.5 倍。小数的平方为 4 X 40 - 2.5 = 64。小数是 8。大数是 8X2.5=20。算理： 4X 40=8X 20=8X (8X 2.5)= 82X 2.5。9.想 份 数例 1 四个比 1 大的整数的积是 144 ，写出由这四个数组成的比例式。144 = 24 X 32=(22 X 3) X (2 X 3) X 2=(4 X 3) X (6 X 2

41、)可组成4 : 6 = 2 : 3等八个比例式。例 2 三个连续自然数的积是 4896 ，求这三个数。4896 = 25 X 32 X 17=24 X 17 X (2 X 32)=16 X 17 X 181728 = 26 X 33 = (22 X 3)3 = 123385 = 5 X 7 X 11例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3:找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？1992 = 2X 2 X 2X 3 X 832+ 3 + 83 = 88例 5 甲数比乙数大 9，两数的积是 1620，求这两个数。1620 = 22 X 34 X 5=(32 X 22) X (

42、32 X 5)甲数是 45，乙数是 36。例 6 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。八个数的积等于 2X 7X 2X 3X 5X 3X 11X 3X5X 5X 11X 13X 13X 13X 5X7X127X3X 13X 127。每组数的积为 2X 32X 52X 7X11 X 132X 127。两组为例 7 600 有多少个约数？600 = 6 X 100 = 2X 3 X 2 X 2 X 5 X 5=23 X 3X 52只含因数 2、3、5、2X 3、2X 5、3X 5、2X 3X 5 的约数分别为:2、22、23；3

43、；5、52；2X 3、22X 3、23X 3；2X 5、22X 5、23X 5、2X 52、22X 52、23X 52；3X 5、 3X 52 ；2X 3X 5、22 X 3X 5、23X 3X 5、2X 3X 52、22X 3X 52、23X 3X 52。不含 2X 3X5 的因数的数只有 1。这八种情况约数的个数为；3+ 1 + 2+ 3 + 6 + 2+ 6 + 1 = 24。不难发现解题规律:把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1 后相乘，其积就是所求约数的个数。(3 + 1) X (1 + 1) X (2 + 1) = 24。17. 想 法 那么用来说明运算规律 (或方法

44、 )的文字，叫做法那么。子比分母少 16。求这个分数？由“一个分数乘以 5，是分子乘以 5 分母不变，结果是分子的 5 倍比 3 倍比分母少 16 。知分子的 5 3 = 2倍是 2 + 16 = 18，分子为 18 - 2 = 9,分母为 9 X 5 2 = 43 或 9X 3 + 16 = 43。18. 想 公 式证明方法：以分母a，要加或减的数为2设分子加上或减去的数为x，分母应加上或减去的数为y。19. 想 性 质例 1 1992 年小学数学奥林匹克试题初赛 C 卷题 6：有甲、乙两个多少倍？200 - 16 = 12.5倍。例 2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母

45、大于10，且它们最小公分母是 60 ；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。由“分母都大于 10，且最小公分母是 60，知其分母只能是 12、15、20；12、15、30；12、15、60。 由“分子是连续自然数，知分子只能是小于 12 的自然数。满足题意的三个分数是二第 400 个分数是几分之几？此题特点：2每组分子的排列：假设某一组分数的分母是自然数n,那么分子从1递增到n,再递减到1。分数的个数为 n + n 1 = 2n 1，即任何一组分数的个数总是奇数。3分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系分母：1、2、3、4、5、分数个数：1、3、5、7、9、4每

46、组分数之前 包括这组本身 所有分数个数的和，等于这组的组号 这一组的分母 的平方。例如，第 3 组分数前 包括第 3 组所有分数个数的和是32=9。10 X 2 1 6=13 个 位置上。分别排在81 + 7 = 88个，81 + 13=94个的位置上。或者 102=100 ，100 12=88 。100 6 = 94，88 + 6 = 94。问题 二：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400 分成某数的平方，这个数就是第 400 个分数所在的 组数 400 = 202 ，分母也是它。第 400 个分数在第 20 组分数中， 400 是这 20 组分数的和且正好是 20 的平方无剩余，故可

47、断定是最后一个， 即假设分解为某数的平方有剩余，例如，第 415 个和 385 个分数各是多少。逆向思考，上述的一串分数中，分母是 35 的排在第几到第几个？352 (35 X 2- 1) + 1=1225 69 + 1 = 1157。排在 1157 1225 个的位置上。例如，1989 年从小爱数学邀请赛试题： 接着 1989 后面写一串数字， 写下的每一个数字都是它前面两个数字的 乘积的个位数字。例如，8 X 9 = 72，在9后面写2, 9 X 2 = 18，在2后面写8,得到一串数：1989286 这串数字从 1 开始往右数，第 1989 个数字是什么？显然，1989 后面的数总是不断

48、重复出现 286884 ，每 6 个一组。(1989 4) - 6 = 330 5最后一组数接着的五个数字是 28688 ，即第 1989 个数字是 8。21. 用 规 律例1第六册P62第14题：选择“ +、x、+ 中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、 1 、 2 、 3、 4、 5、 6、 7 、 8、 9。(1) 2 2 2 2 2 = 0(2) 2 2 2 2 2 = 1(10)2 2 2 2 2 = 9解这类题的规律是： 先想用两、三个 2 列出，结果为 0、 1 、 2 的根本算式：2 2 = 0, 2 - 2 = 1;再联想 2 2- 2 = 1 , 2X 2-

49、 2 = 2 , 2- 2+ 2 = 3 ,每题都有几种选填方法，这里各介绍一种：2 十 2 + 2 十 2 2 = 02 十 2 X 2 2 十 2 = 12 2 + 2 十 2 X 2 = 22X 2 + 2十 2 2 = 32X 2 X 2 2 2 = 42 2 十 2+ 2 X 2 = 52+ 2 2+ 2 X 2 = 62X 2 X 2 2 - 2 = 72十 2 X 2X 2 X 2 = 82- 2 + 2X 2 X 2 = 9例 2 第六册 P63 题 4：写出奇妙的得数2+ 1 X 9 =3+ 12 X 9 =4123X 9= 51234X 9=612345 X 9=得数依次为

50、 11 、 111 、 1111 、 11111 、 111111 。此组算式的特点：第一个加数由 2 开始，每式依次增加 1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为 1、 12、 123、 续写下去7123456 X 9=11111118+ 1234567 X9=111111119+ 12345678 X 9= 11111111110+123456789 X 9=1111111111111234567900 XX很自然地想到，可推广为(1)当 n=1 、 2 时，等式显然成立。(2)设 n=k 时，上式正确。当 n=k 1 时k + 1 + 123 k X 9=k + 1 + 123 (k

51、 1) X 10 + k X 9=k + 1 + 123 (k 1) X 9X 10 + 9k=k + 123 (k 1) X 9 X 10 + 1根据数学归纳法原理，由 ( 1 ) 、 (2 )可断定对于任意的自然数n ，此等式都成立。例 3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。(1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是份母-1)十2。=(21 1) - 2=10。比5小，分母是 13的最简分数有多少个。4、 5、764为64 (7 1) = 58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得 54个最简分数。 例 2 一个整数与 1 、 2

52、、 3，通过加减乘除 (可添加括号 )组成算式，假设结果为24 这个整数就是可用的。6、 7、 8、 9、 10 中，有几个是可用的。看结果，想条件，知都是可用的。4X (1 + 2+ 3) = 24(5 + 1 + 2) X 3 = 246X (3 + 2 1) = 247X 3 + 1 + 2 = 248X 3- (2 1) = 249X 3 1 2 = 2410 X 2 + 1 + 3 = 24无论某数是多少，原分数的分子与分母的和 7+ 11=18 是不变的。而新分数的分子与分母的和为1 + 2=3，要保持原和不变，必同时扩大18十3 = 6(倍)。某数为 7 6 = 1 或 12 1

53、1 = 1。算理，原式相当于求这个分数。分子与分母的差41 35 = 6是不变的。新分数的此差是8 7 = 1 ,要保持原差不变，新分数的分子和分母需同 时扩大6十1 = 6(倍)。某数为 42 35 = 7,或 48 41 = 7。与上例同理。23 11 = 12 , 3 1 = 2, 12 - 2= 6,某数为 11 6 = 5 或 23 18 = 5。分子加上 3 变成 1 ，说明原分数的分子比分母小 3。当分母加上 2 后，分子比分母应小 32=5。对于任意分母大于 2 的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所 有非最简真分数 (包括分子和分母相同的这个假分数 )的个数，差就是这个偶数。例 1 求分母是 12 的所有最简真分数的和。由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2 X 3)的倍数2个，知所求数是例 2 分母是 105 的，最简真分数的和是多少？倍数 15 个, (3X 5)、(5X 7)、