平面向量的坐标表示

1、第7章平面向量的坐标表示1理解向量的有关概念1向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；2零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向;3单位向量：给定一个非零向量 a，与a同向且长度为1的向量叫a的单位向量，a的单位向量是 a4相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；5平行向量也叫共线向量：如果向量的基线互相平行或重合那么称这些向量共线或平行，记作：*fa / b，规定零向量和任何向量平行；提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重 合，但两条直线平行不包含两条

2、直线重合； 平行向量无传递性！因为有0); 三点A、B、C共线 ABAC共线；6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量,a的相反向量是长度相等方向相反的向量a .1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a , b , c等；3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i , j为基底，那么平面内的任一向量 a可表示为a x i y j，称x, y为向量a的坐标，a (x, y)叫做向量a的坐标 表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同3实数与向量的积：实数 与向量

3、a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：学习文档仅供参考12当0时，a的方向与a的方向相同；当 0时，a的方向与a的方向相反；当0时，零向量，注意：a 0.4. 平面向量的数量积：1两个向量的夹角：两个非零向量a和b，过O点作OA a，OB b，那么/ aob = e0 180叫做向量a与b的夹角.当e= 0时，a与b同向；当e= 180时，a与b反向；如果a与b的夹角是90 我们说a与b垂直，记作a b .2两个向量的数量积的定义：两个非零向量a与b，它们的夹角为e,贝U数量a b cos叫做a与b的数量积或内积，记作a b，即a b = a b cos 规定零向量与任一向量的数量

4、积为0假设a %,%山区2，那么 ab =y2.3向量的数量积的几何意义：b cos叫做向量b在a方向上的投影e是向量a与b的夹角.a b的几何意义是，数量 a b等于模a与b在a上的投影的积.4向量数量积的性质：设 a与b都是非零向量，e是单位向量，是a与b的夹角.当a与b同向时，a b = a b ;当a与b反向时，a b = - a b5向量数量积的运算律: 【提醒】:1假设a b 0那么 a b为锐角或者0角假设a b 0那么 a b 为钝角或者 角2| a b|= a b可以用来证明all b.3非零向量a , b夹角 的计算公式:a bcos .a b ab = a b c ； a

5、 b = a b = a b a b c = acbc5. 平面向量的根本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ,有且只有一对实数i、 2，使a = ie2e2 ， 、e2称为一组基底.6. 向量的运算：1几何运算：向量加法：利用 平行四边形法那么进行，但 平行四边形法那么只适用于不共线的向量，除此之外， 向量加法还可利用 三角形法那么：设AB a,BC b ,那么向量AC叫做a与b的和，即 a b AB BC AC ；g m .- ! - - - - 1 -1 - -f !f - T - - -F ! F - T S - - ! F - - T - -

6、t 耳.AA A2A3 .代1代 AA据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任i意插点向量的减法：用三角形法那么：设ABa, ACb，那么a b AB AC CB由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：a ib i a b a ib .2坐标运算：设a (Xi,yJ,b区小)，那么： 向量的加减法运算：a b x1 x2, y1 y2 ； 实数与向量的积：ax-i, y-iX|, y1 ； 假设A(x1, y1), B(x2, y2)，那么ABx2 x,y2 %，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标；22 r22 220 ；当a与b异向时，0 ；2 2 (a

7、b) ( a b). 平面向量数量积：a b = x1x2 y1y2: 向量的模：|a| 、；x y , a |a | x y ；7.向量的运算律：1交换律：a b b a ,( a) ( )a, ab = b a ；(2 )结合律：(a b) c (a b) c , a b ca (b c)；3分配律：()aaa, (a b)a b , (a b) c a c b c8.向量平行(共线)的充要条件：(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是ba ；实数入是唯一存在的，当a与b同向时，(2)假设 aX1,y1 ,bX2,y2 ，贝U a/bx$29.向量垂直的充要条件：a b a b 0X1X2

8、y20 向量中一些常用的结论1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;a、b同向或有0a、b反向或有0a bababa ba bababa b，特别地,a、b不共线这些和实数比拟类似.,BX-|x2X3 y1y2y33J31PGPAPBPCG为ABC的重心，3特别地PAPBPC0P为ABC的重心； PA PBPBPCPCPA P为ABC的垂心；向量ABAC0所在直线过 ABC的内心是 BAC的角平在 ABC中,假设,C x3,y3，那么其重心的坐标Xi，yiX2,y2为GAC分线所在直线；ABOBOCO是ABC的外心;4向量PAPBPC中三终点A、B、C共线 存在实数使得PA P

9、B PC 且向量的坐标表示及其运算例题精讲【例1】G,G2分别是 ABC和厶ACD的重心，G是G1G2的中点，假设A,B,C,D的坐标分别是2,5 ,5,7 ,10,2 ，求点G的坐标.0,0【例 2 】点 0 0, 0，A 1, 2，B 4, 5及 OP=OA + t AB ,求：1t为何值时，P在x轴上？ P在y轴上？ P在第二象限？2四边形OABP能否构成平行四边形？假设能，求出相应的t值；假设不能，请说明理由.*过关演练1 A(x,2), B(5, y 2)，假设AB (4,6)，那么x, y的值分别为 .2向量 a (2x,7) , b (6,x4)，假设 a b，那么 x .3平行

10、四边形 ABCD的顶点A( 1, 2)、B(3, 1)、C(5,6)，那么顶点D的坐标为 4假设向量a (3,2) , b (0, 1)，那么向量2b a的坐标是5假设 a (2,3) , b (4, 1 y)，且 a/b，那么 y等于6假设M为 ABC的重心，那么以下各向量中与AB共线的是A AB BC ACB AM MB BCC AM BM CMD AM AM AM AC7在矩形ABCD中，AB J3, BC 1，那么向量 AB AD AC的长度等于A 2B 2.3C 3D 4&在ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点，D点坐标为(1,2) , E点坐标为(3,5),F点坐标为

11、(2,7)，那么点A坐标为9a (1,2), b (x,1)，当a 2b与2a b共线时，x的值为10.当m 时，向量a (2, m 1)与b (m 2,6)共线且方向相同；当 m 时，a与b共线且方向相反.11假设三点 A(1,1) , B(2, 4) , C(x,9)共线，那么 x 12.设 a ( 1,2), b ( 1,1), c (3, 2)，用 a、b 作基底有 c pa qb，那么 p , q 13点M(x, y)在向量OP (1,2)所在的直线上，那么 x, y所满足的条件是R(4, 3),B( 2,6),(1)假设点P在线段PP2上，且PP那么点P的坐标是;假设点P在线段PP

12、2的延长线上，且PP 4PPI那么点P的坐标是;假设点p在线段P2P的延长线上,PP那么点p的坐标是；假设点P在线段P2P的延长线上，Ppi 4|pp2i,那么点P的坐标是.15 以下四个命题：假设a b 0，那么a 0或b 0 ；假设e为单位向量，那么a a e ；3a a a a ；假设a与b共线，b与c共线，那么a与c共线其中错误命题的序号是 16 0(0,0)、A(1,2)、B(4,5)，且 OP OA tOB，那么当 t 时，点 P 落在 x 轴上.17.a , b是两个非零向量，那么“a , b不共线是“a b a b 的.18 以下四个命题中是真命题的有 个.假设ab与ab是共线

13、向量，那么 a与b也是共线向量假设|a|b | |a b |,贝y a与b是共线向量假设|ab| |a| b |,那么a与b是共线向量假设|a| |b| a| b |，那么b与任何向量都共线I-T-19在 ABC中,设向量CA a,CB b，贝U ABC的面积S ABC=,ABC 的周长 C abc =n个向量a1,a2,.,an ,如果存在不 全为 零的实数匕出匕使得k-! a1 k2 a2 . kn an 0，那么称 印42,.印1,1 , a?3, 2 , %3, 7是线性相关的，那么 匕飞飞=.BA bc. bd21.在四边形ABCD中，AB DC 1,1 ,3,那么四边形ABCD的面

14、积是|ba| |bc|bd|例题精讲【例- * 1】设0是直角坐标原点， OA 2i 3j,0B 4ij，在x轴上求一点P,使AP BP最小，并求此时 APB的大小.* I- I-IH-， +【例2】|a|21 b| 1，且a,b的夹角为一，又OC a 3b,0D 2a b，求|CD|.4注意：有关向量的运算也可以利用数形结合的方法来求解，本例就可以由作图得解【例3】锐角 ABC中内角 代B,C的对边分别为 a,b,c,向量m (2sin B,、3), n (2cos2 B 1,cos2B)2k *且m n1求B的大小，2如果b 2，求 ABC的面积S ABC的最大值.|a|2 , |b| 1

15、 , a 与 b|a|4 , |b| 1 , a b|a|4 , a与b的夹角为|a|3, |b | 5, a b|a|3,|b| 4，且(a kb)|a|5,a与b的夹角正弦值为|a|2 ,|b | 5 , a b 31. 12. 13.4.5.的夹角为120，那么a b4，那么向量a与b的夹角为30，那么a在b方向上的投影为13，那么a在b上方向上的投影为(a kb),那么 |a b |那么k的值为12，那么 |b |6|a| 2 , |b | J2, a与b的夹角为45，要使b a与a垂直，那么 7在平行四边形 ABCD中， AB 4, AD 3 , DAB 60，那么AB DA = &

16、 P是 ABC所在平面上一点，假设 PA PB PB PC PC PA，那么P是 ABC的9.向量aJ3,1 ， b是不平行于x轴的单位向量，且a bJ3，那么b =-7-1710与向量a (,), b (,-)的夹解相等，且模为1的向量是2 2 2 211 .在 ABC 中，aB a, BC b, cA c,且 a 3 , b 2, c 4，那么 a b b c c a 的值为12 在 ABC中，AB lAC 2，且AB AC 2，那么这个三角形的形状是_ _ .13以下四个命题：假设 a b 0 ,那么a b ；假设a b 0，那么a 0或b 0 ；假设 R ,且a 0，那么 0或a 0

17、:对任意两个单位向量a , b都有a b 1 其中正确命题的序号是a b a b ,那么b与a b的夹角为.15在 ABC中，O为中线AM上一个动点，假设 AM 2，那么OA (OB OC)的最小值是 .216 ABC满足AB AB AC BA BC CA CB，贝U ABC的形状一定是 .17在 ABC 中， ABC 1200 , AB = 2, AC= 1, D 是边 BC 上一点，DC = 2BD，那么 AD BC=a b a c，且 a 0，那么().A. b cB. b cC.bcD. b, c在a方向上的投影相等19 .假设a、b是非零向量且ab，那么定有A. | ab| |a|

18、|b|B.|ab| |a| |b|C. | ab| |a b|D.|ab| |a| |b|20.a ( ,2 ) , b (3 ,2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是21 .向量 a总,|e|= 1，对任意t r，恒有|a-te|丙e|,那么 A .a丄eB. e 丄(a e)C.a 丄(a e)D.(a + e)丄(a e)22.两个单位向量e,和e2互相垂直，1,2 , 1 , 2R,那么1e11e2)( 2e12e)的充要条件是A .1 21 20B.12 1 20C.1 12 20D.12 2 1023.在ABC 中，有命题 AB ACBC ; ABBC CA0 ；假设ABA

19、CAB AC 0 ,贝U ABC为等腰三角形；假设 AB AC 0，贝U ABC为锐角三角形 上述命题正确的选项是D.A .B .C .24点O在ABC所在平面内，给出以下关系式：1OA OB OC 0;2OA OB OB OC OC OA;3OA4OA那么点O依次为AC ABOB BC BABCOB AB OB OCABC的BC 0 .A .内心、外心、重心、垂心B.C .重心、垂心、内心、外心D . 重心、外心、内心、垂心外心、内心、垂心、重心例题精讲【例1】D是 ABC的边BC上的点，且BD : DC1:2 ,忑 a,AC b，如图1所示假设用a、b表示AD，贝U AD =过关演练an白

20、勺前n项和为Sn，假设 OB a,oAa20oOC，且 A、B、C三点共线该直线不过原点0，那么S20(02.以下条件中,A、BP三点不共线的是A.MP-mA3-MBB .MP2MAMB44C.MP3MA 3MBD .MP-MA1 MB443.以下向量组中能作为它们所在平面内所有向量的基底的是A.G0,0 ,e21,2B.e1,2,625,713C.e3,5 , q6,10D .e12, 3 ,622,44.向量a (3, 2)，b (2,1)，c(7,4，用a和b来表示c，那么c为A.2abB . 2abC .a 2bD .a 2b的重心，那么AM =设M是厶ABC5.AC ABA .2AC

21、 ABB .2AC ABC .-3AC ABD .36.AD、BE分别为ABC的边BC、AC上的中线，且ADBE b，那么BC为7.8.过 ABC-的值为y的重心作一直线分别交AB、AC于点D、E 假设ADxAB, AEyAC , xyP是 ABC内的一点，AP -3AB AC ，贝U ABC的面积与 ABP的面积之比为A . 29.1,OA与OB的夹角为120,OC与OA的夹角为30, OC5，请用 OA,OB表OC.=10 |OA 1,OB ,3,OAOB 0, AOC 30o .设 OC mOA nOB(m,n R)，贝U -等于11 四边形 ABCD是菱形，点P在对角线AC上，不包括端点 A、C，贝U AP等于A (AB AD), (0,1)B (ABBC)， (0,-C (AB AD), (0,1)D (ABBC)， (0,22)12.如图，在厶ABC中，设A