平面向量的数量积及其应用

1、06平面向量的数量积及其应用突破点(一)平面向量的数量积1.向量的夹角;2.平面向量的数量积；3.平面向量数量积的运算律考点平面向量数量积的运算第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用；第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可.2.根据定义计算数量积的两种思路(1) 假设两个向量共起点，那么两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；假设两向量的起点不 同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算.根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都的向量分别表示出要求数量积的两个向量， 然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解.典例设向量a = (-

2、 1,2), b= (m,1)，如果向量a+ 2b与2a b平行，那么a与b的数量积等于()7D 135A. 2B. 2 C.2D.q(2) 在等腰梯形 ABCD中， AB / DC , AB = 2, BC = 1,Z ABC = 60。.点E和F分别在线段 BC和2 1 DC 上，且 BE =rBC , DF =-DC，贝U AE -AF 的值为3 6解析(1)a+ 2b = ( 1,2) + 2(m,1) = ( 1 + 2m,4), 2a b = 2( 1,2) (m,1) = ( 2 m,3)，由题意得11153( 1 + 2m) 4( 2 m) = 0,贝U m = ?，所以 b

3、= 2, 1，所以 a b = 1X ? + 2X 1 = ?.,u ,.Q .亠B ,亠亠,取 BA , BC 为一组基底，那么 AE = BE BA = 3 BC BA , AF = AB + BC + CF = BA7 7 25-12 BA + BC =石 I BA |2 - 29五5 7 2 -+ BC + 右 BA = BA + BC，二 AE AF = 3 BC BA.2 72512 29BA BC + 31 BC |2=41 x + 3=石答案(1)D易错提醒(1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与平面角的关系是相等还是互补.(2)两向量a, b的数量

4、积a b与代数中a, b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“ .-u u 宀d 亠 nm a 亠 m & fa a d .-亠 & mj 亠-ad «m a * m m a-a m um m u-a m am m u- a baa-j m ui 亠 t aa a -m uA-aa a 亠 t亠 & mak 亠 a mm =亠.s, h a aa a.突破点(二)平面向量数量积的应用平面向量数量积的性质及其坐标表示：模、夹角、a丄b|、ab|与|a|b|的关系考点一平面向量的垂直冋题第一，计算出这两个向量的坐标；第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量

5、积为0即可.2.两个向量的垂直关系，求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数.例1(1) ABC是边长为2的等边三角形，向量a, b满足AB = 2a, AC = 2a + b，那么以下结论正确的选项是()A . |b|= 1B . a丄 bC. a b = 1 D. (4a + b)丄 BC(2)向量 a = (k,3), b= (1,4), c= (2,1)，且(2a 3b)丄 c,那么实数 k =()915A . B . 0C. 3D.y解析(1)在ABC 中，由 BC = AC AB = 2a + b 2a = b,得|b|= 2, A 错误.又 AB

6、 = 2a且| AB | =2,所以 |a|= 1，所以 a b = |a|b|cos 120 = 1,B,C 错误.所以(4a + b) BC = (4a + b) b = 4a b+ |b|2= 4 x ( 1) + 4= 0，所以(4a + b)丄BC , D正确，应选D.(2) (2a 3b)丄 c,.(2a 3b) c= 0.：a= (k,3), b= (1,4), c= (2,1) ,.2a 3b= (2k 3, 6).(2k 3, 6) (2,1) = 0,即(2k 3)x 2 6 = 0.* = 3.答案(1)D (2)C易错提醒B-ra-r » hb an t &#

7、187;? aa-r kb t s« re -r »- th -r »- m w-r m -r «-r -» -r n m t n » * -r n » BanTB jxiy2 X2yi= 0与X1X2+ yiy2= 0不同，前者是两向量a= (xi,yi), b =(X2,y2)共线的充要条件，后者是 :它们垂直的充要条件.L bha ad ad b ami n 亠 ms. w n亠 aaa44 a a si = a 亠=baa-. ab a n =亠 gm n a 亠a 亠 4 n n n亠 *a m a 丄a u-h

8、n badb a d -a亠 a 1i baae z m a a hi ab au a 亠 b z a = a aa u> = au a a亠 t 亠 a a a a0 v a =:u a 亠亠 m n a a 厶 a a 11 m a v 亠 411jfl考点二平面向量模的相关冋题利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法:(1)a2= a a= |a|2; (2)|a±)|= .'' a±b2 .'a2±a b + b2.n例2(1)(2022衡水模拟)|a|= 1, |b|= 2, a与b的夹角为3，那么

9、|4a b|=()A. 2B. 6 C. 2 '3D. 121e1, e2是平面单位向量，且e1 e2= 2假设平面向量 b满足b e1= b e2= 1，那么|b| =解析(1)|4a b|2= 16a2 + b2 8a b = 16X 1 + 4 8X 1X 2x cosf= 12.|4a b|= 3. 1(2) Te1 e2= ,：|e1|e2|cos e1, e212.e1,e2= 30 ° 由 b e1= 1，得 |b|e1|cos 30 = 1 ,.|b| =亚=巧2e2= 60又Tb e1= b e2= 1 >0,. b, e1答案(1)C爭b,方法技巧I

10、 (1)假设向量a是以坐标形式出现的，求向量 a的模可直接利用公式|a|=#x2 + y2.|!假设向量a, b是以非坐标形式出现的，求向量 a的模可应用公式|a|2 = a2= a a,或|a±D|2=(a±D)2=a2翌a b+ b2,先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解.1lbi jj.ha aaj. b a j. itl ajj. b kibih.g h.口 alhh - lgii jaja a g a a a ,l e4考点三平面向量的夹角问题求解两个非零向量之间的夹角的步骤第一步由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积第二步分别求出这两个向量的模第三步根

11、据公式cos < a, b> = 霁 =-y求解出这两个向量夹角的余弦值|a|b| 心2+ y2 7x2+ y2第四步根据两个向量夹角的范围是0 , n及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角例3(1)假设非零向量a, b满足|a| = 晋心，且(a b)丄(3a + 2b)，那么a与b的夹角为()nn3 nA.4B2C4D. n1亠曰单位向量 e1与e2的夹角为a,且cos a= 3,向量a= 3e1 2e2与b = 3e1 e2的夹角为3,贝U cos3=.解析(1)由(a b)丄(3a+ 2b),得(a b) (3a + 2b) = 0，即 3a2 a b 2b2= 0. 2J

12、222又|a| = |b|,设a, b> = 0,即 3|a|2 |a|b|cos 0-2|b|2 = 0,8221222，2nqibl2 丁|b|2 cos 0 2|b|2= 0.cos 0=.又tow 0w n / 0= 4. va2= (3e1 2e2)2= 9+ 4 2 x 3x 2x 才=9, b2= (3e1 e2)2= 9+ 1 2 x 3x 1x 3= 8,a b= (3e1 2e2) (3e1 e2)= 9 + 2 9x 1 x 1x3= 8,cos 3=a b =8= 2/2|a|b|= 3x 2.2 = 3易错提醒*0 T n W 0 W TV TH9-B (1)向

13、量a, b的夹角为锐角？ a b>0且向量a, b不共线. 向量a, b的夹角为钝角？ a b<0且向量a, b不共线.ux-a亠dmri -jAmS- -a- -ja- 厶4na-a- -i= -a- a-a-.-i_-ad»布御=>ba-aua 突破点(三)平面向量与其他知识的 综合问题在高考中，常将它平面向量集数与形于一体，是沟通代数、几何与三角函数的一种非常重要的工具与三角函数问题、解三角形问题、几何问题等结合起来考查L -亠 w1 -亠 4 mw 亠fa-a-ad«-u m 亠- 4“ - - a d- 4“ - -m mm m a *- -aa

14、 - a亠-a a«-a考点一平面向量与三角函数的综合问题例 1函数 f(x) = a b,其中 a= (2cos x, .3sin 2x), b = (cosx,1), x R.求函数y = f(x)的单调递减区间；在 ABC中，角A, B , C所对的边分别为 a, b, c, f(A) = 1,a='7，且向量 m= (3, sin B)与n = (2, sin C)共线，求边长 b和c的值.解(1)f(x)= a b = 2cos2x , 3sin 2x= 1 + cos 2x . 3sin 2x = 1 + 2cos 2x+ 3 ,jnnn令 2k n< 2x

15、+ 3< 2k n+ n k Z)，解得 k n舌< x< k n+ §(k Z),nn所以f(x)的单调递减区间为 k n 6, k n+ 3 (k Z).(2) vf(A)= 1 + 2cos 2A + 才=1 ,.cos 2A + 才=1.n n 7 nnn又 0<A< n,故3<2A + 3V , A2A + 3 = n ,即 A = 3.Ta= .7,由余弦定理得 a2= b2+ c2 2bccos A = (b + c)2 3bc= 7.向量 m = (3 , sin B)与 n = (2 , sin C)共线,所以2sin B = 3

16、sin C.由正弦定理得 2b= 3c ,由，可得 b= 3 , c= 2.方法技巧I ! HI ! !； ' BTB! ' V" HB "'! ! !平面向量与三角函数综合问题的类型及求解思路!(1)向量平行(共线)、垂直与三角函数的综合：此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解.i(2)向量的模与三角函数综合：此类题型主要是利用向量模的性质2= a2 ,如果涉及向量的坐标，解答时可利用两种方法：一是先进行向量的运算，再代入向量的坐标进行求解；二是先将

17、向量的坐标代入，再利用向量的坐标运算求解此类题 型主要表现为两种形式：利用三角函数与向量的数量积直接联系；利用三角函数与向量的夹角交汇，到达与数量积的综合.t. k a ua 亠 kbta au j hm a a j k.> ja s h a jlb an jk b a jlh aa jb a jlk a j士i. g a j><k aa ja a a g i al k a ja a a ii iw a k a ja a a. k iu 考点二平面向量与几何的综合问题例2(1)在平行四边形 ABCD中，AD = 1 , / BAD = 60 ° E为CD的中点.假设

18、 AC -BE = 1,那么AB的长为.(2)菱形 ABCD的边长为2, / BAD = 120。，点E , F分别在边 BC , DC上,BC = 3BE, DC =入DF 假设AE -AF = 1,贝U入的值为.解析(1)设| AB | = x , x> 0，那么 AB -AD = *x.又 AC BE = (AD + AB ) (AD 1 AB )= 1 x21 1 1 + 4x = 1 ,解得x = 2,即AB的长为2.一.一-一-一-1(2)由题意可得 AB -AD = | AB | AD |cos 120 = 2x 2 x - = 2 ,在菱形ABCD中，易知AB = DC

19、, AD = BC , 1 1所以 AE = AB + BE = AB +； AD , AF = AD + DF =" AB + AD ,3人AE AF = AB + 3 AD AB + AD =4+1 2 1 + 右=1,解得 X= 2.答案(1)2 (2)2 方法技巧平面向量与几何综合问题的求解方法(1) 坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，那么有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向 量运算，从而使问题得到解决.(2) 基向量法：适中选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解.检验咼考能力一、选择题1.向量 a= (

20、.3，1)，b = (0,1)，c= (k，3)，假设 a+ 2b 与 c垂直，那么 k =()A . 3B. 2C . 1D . 1解析：选A 因为a+ 2b与c垂直，所以(a+ 2b) c= 0，即a c+ 2b c= 0，所以.3k + ,3+ 2 3= 0，解 得 k = 3.2 .在平面直角坐标系 xOy中，四边形 ABCD是平行四边形， AB = (1， 2)，AD = (2,1)，那么AD -AC =()A . 5B . 4C . 3D . 2解析：选A 由四边形ABCD是平行四边形，知 AC = AB + AD = (1， 2) + (2,1) = (3， 1)，故 AD -A

21、C = (2,1) (， 1)= 2X 3+ 1 X ( 1) = 5.3 .假设平面向量 a= ( 1,2)与 b的夹角是180 °且|b| = 3翻，那么b的坐标为()A . (3， 6)B. ( 3,6) C. (6， 3) D. ( 6,3)解析：选A 由题意设b=入a (人2 ?)( X 0)，而|b| = 5，那么寸一入2+ 2入2 = 35，所以入=一 3， b= (3， 6)，应选 A.一1E5 、亠4. (2022 东高考)非零向量 m，n满足4|m|= 3|n|， cosm，n= 3，假设n丄(t m + n)，那么实数t的值为()99A . 4B. 4C.D.-

22、4 4解析：选 B '-'n 丄(t m+ n )，. n (t m+ n)= 0，即 t mn + |n |2 = 0，.t|m| n|cos m，n+ |n|2 = 0.又 4|m|31=3|n|，AtX 41 n|2x 3+ |n|2= 0,解得 t= 4.应选 B.5. (2022天津高考) ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE = 2EF，那么AF -BC的值为()5 1111A.- 8 B.8 C.4 咗解析：选B如下列图,AF = AD + DF .又D，E分别为AB，BC的中点，且DE =1 11 3 1

23、 32EF，所以 AD = 2AB，DF = ? AC + AC=3 AC，所以 AF = - AB + 3 AC.又BC=AC AB，那么 AF -BC = 2 AB + 3 AC (AC AB ) = 1 AB -AC 1 AB 2+ 寸3 3 1 1 AC2 4 AC -AB = 4 AC 2 2 AB 2 4 AC -AB .又 |AB |= | AC |= 1，/BAC = 60。，故31111AF -BC = 4 2 ；x 1 x 1X = 8.应选 B.6 . ABC为等边三角形，AB = 2，设点P，Q满足AP = XAB，AQ = (1 RAC，氏R，假设 BQ CP =3，

24、那么 X=()11 土. 2加 土. 103戈.2A. 2B. 2C. 2D. 2ililil解析：选 A / BQ = AQ AB = (1 - AC AB , CP = AP AC = -AB AC，又 BQ CP*3-=2AB |= | AC |= 2,A = 60 ° AB -AC = |AB | |AC |cos 60 = 2, /.(1 - AC AB (-AB AC )=2，即卩-AB |2+ ( -1) AB -AC + (1 -|AC|2 = 2,所以 4-+ 2( -1)+ 4(1 - = 2，解得 -1=2二、填空题7. 平面向量 a= (2,4), b= (1

25、, 2)，假设 c= a (a b) b,那么 |c| =.解析：由题意可得 a b = 2x 1+ 4x ( 2)= 6,/.c= a (a b) b= a + 6b= (2,4) + 6(1, 2)= (8, 8), cl = 82+ -8 2= 8.2答案:8 28. 向量 a, b满足(2a b) (a+ b) = 6,且|a| = 2, |b|= 1,那么a与b的夹角为 .a b 解析：T(2a b) (a+ b)= 6,/2a2+ a b b2= 6，又|a|= 2, |b|= 1 ,：a b= 1 ,：cos a, b=|b|12 n2 n2，又a, b 0 , n, /.a与b

26、的夹角为 §答案：9. a= ( - 2 -, b= (3 -, 2)，如果a与b的夹角为锐角，贝U -的取值范围是3 - + 4Q0,a与b不共线，那么2 - 6 -工 0,143, +.答案：a, - U解析：a与b的夹角为锐角，那么a b>0 且解得41肚一§或0<疋3或4所以入的取值范围是 a,3 u,菱形ABCD的边长为洽边界)，那么aM -an的最大值为.设AN =入AB +卩AD ,因为 N 在菱形 ABCD 内，1 1 1 -产 1. AM = AD + DC = AB + AD .所以 AM -AN = - AB + AD (入AB + AD )入1AB -AD + yAD 2= -x 4 + 入+扌 x 2 x 2x 尹 4 尸4 入+ 5 小所以 0< AM1时，AM -AN有最大值9，此时，N位于C点.、解