平面向量与三角函数教案

1、. ABC中，过重心 G的直线交边AB于P，交边AC于Q ,设厶人卩©的面积为, ABC的面积为S2, APpPB , AQqQC，那么ipqp q第十讲平面向量及其应用例 1: ABC中，点 D在边 AB上，CD平分/ ACB假设 CB= a, CA= b, | a| = 1, | b| = 2,那么CD 例题2.如图，在直角梯形 ABCD中，AB AD, AD DC 1,AB 3，动点P在 BCD内运动，含边界，设AP AB AD ,R，贝U的取值范围是例3设P是ABC内一点，满足AP x 2y aB y 1 AC x, y R .那么x的取值范围是ii蛍的取值范围是S2例1.在

2、心ABC中，B 60 , AC 丽,那么AB 2BC的最大值为 .例2.在锐角 ABC中，tanA = t 1, tanB = t 1,贝U t的取值范围是 .例3.在厶ABC中，设AD为BC边上的高，且AD BC, b ,c分别表示角B, C所对的边长，那么b -的 c b 取值范围是.例4.在等边八ABC中，点P在线段AB上，满足AP AB,假设CP AB PA PB,那么实数 的值是.例5.在八ABC中有如下结论：“假设点 M为 ABC的重心，贝U MA MB MC 0 ，设a, b,c分别为.ABC的内角A, B, C的对边，点 M为AABC aMA bMB -3 cMC 0，那么内角

3、A的 3大小为;假设a= 3,那么 ABC的面积为 .例6点 0ABC的外心， AB 3,AC 2,假设 AO xAB yAC ,x + 2y 1,那么 cosB .OC OA OB(R)，那么假的值例 8.在口 ABCD 中，AB5, AD 4,点P在厶BCD内包括周界，设 AP xAByAD，那么一切点x, y形成区域的面积为例9.如图，在 ABC中，AD丄 AB, BC v3 BD , | AD | = 1,贝U AC AD =例10. 在厶ABC中， AB 3, O ABC的外心，且 OA BC 1,贝U AC例11. 平面上三点 A,B,C，满足|AB | 2,| BC | 3|CA

4、| 4,那么 AB BC 2BC CA 3CA AB .例12. 直线I与函数y si nx(x 0,)的图像相切于点 A，切I/OP , O为坐标原点，P为图像的极值点,l于x轴交于B点，过切点A做x轴的垂线，垂足为C ,贝U BA BC1假设| AB | AC |，求向量AB2AC与向量2AB AC的夹角的余弦值;2假设O是线段AM上任意一点, 1 ' 1 11 1 1且| AB | | AC | <2，求OAOB OCOA的最小值;3假设点P是BC边上的一点，且 AP AC 2AP AB 2，|AP | 2，求|AB AC AP |的最小值.13.如图，在直角ABC中，BC

5、 a，假设长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角取何值时BP CQ的值最大？并求出这个最大值参考答案：2 2 '2 2 2 1 21.解析：|5a b|=(5a b) = 25a10a b + b，25 12 10 1 3 ( -) 3249，2故|5a b| 7.2解析：a= 2, 1，b=一 1, m，c=一 1, 2， a + b= 1, m 1， 又a+ b/2 + m 1 = 0, m= 1.3解析：以O为原点，OC, OB所在的直线为x轴和y轴建立如下列图的坐标系.由 OA=2 , AOx，即 A-1, ,3 ,易求 B 0,-1 , C 3,0，设OA-133

6、?2-入'入2OC,即-1 ,运入1- 31 33b4解析：设向量a与b的夹角0,有 cos a在b方向上的投影:令c ab，那么6,5入 1 0,-1入2 3,0 ,a?b?b1 2 2 ( 2).12 22 22 ( 2)210:由题意，|a='a 1 cOS0= 5 I書=-2(2, 4)( 1,3) (6,5)232 ,17- Pa 2b(21，且a与b的夹角为1200，所以,c c (2 a b)(2a b)4a24a bd < 7，同理可得而 c d (2a b) (3b设为c与d的夹角，那么23-a2b2 717b21 -a2a bicos120°

7、15b .17217_17妙2耳币1822a) 7a b 3b 2aGOS 9 =_2:设点D的坐标为x , y，/ AD是边BC上的高， AD丄BC , AD丄BC又 C、B、D 三点共线， BC / BD又 AD = x 2, y 1， BC = 一 6, 3，BD =x 3 , y 26(x 2)3( y 1)06(y 2)3(x 3)0解方程组，得喂,y=5 点D的坐标为9 , 7，AD的坐标为一-,-.5555:不妨设 C (m,n)，那么 a c1 m,2 n ,a b (3, 1)，对于 c a b,7 那么有 3(1 m) 2(2 n);又 ca b，那么有 3m n 0,那么

8、有 m ,n9:所求五个力的合力为PA PB PC PD PE，如下列图,AB以PA、PE为边作平行四边形 PAOE，那么PO PA PE，由正六边形的性质可知| PO | | PA | b，且O点在PC 上,以PB、PD为边作平行四边形 PBFD，那么PF PB PD，由正六边形的性质可知| PF | 3b，且F点在PC的延长线上.由正六边形的性质还可求得 | PC | 2b故由向量的加法可知所求五个力的合力的大小为b 2b 3b 6b，方向与PC的方向相同:BD = CD CB = 2 e 1 耳一e 1 + 3e2= e1 4e2, A、B、D 三点共线，.存在实数 人使 AB = XB

9、D , 2 e 1+ ke2=入e 1 4e2 于是可得 2，解得k = 8.k 411.证明：设 OA = a, OB = b, OC = c,贝V BC = c b, CA = a c, AB = b a./ |OA |2 + |BC |2= |OB |2+ |CA |2= |OC |2+ |AB|2 a2+ c b2= b2+ a c2= c2+ b a2即 c b = a c= b a,故 AB - OC = b ac = b c a c = 0.BC - OA = c b a= c a b a= 0,AB 丄 OC ,BC 丄 OA ,点o是Aabc的垂心.:设AB a , AC b

10、 , AP “a , AQ 2b，因为G是厶ABC的重心,故AG13(a b)，又 pg ag AP(3 w 3b，西屁AP2b1a，因为PG与PQ共线，所以PQPG，即1(31) 11a (32)b11 111-(1)(1)3 2pq 121 /1、112(1一)，3 1 13又a与b不共线，所以1(31)那么 S1_ |AP|AQ|sin BACS2| AB | | AC | sin BAC1，故 pq1 ；p q2111 23 1 1/13、29，( )14，消去2，得12 31 1当P与B重合时，1 1,当P位于AB中点时，1 ，故1 ,1，2 2故S2但因为P与B不能重合，故S/ AB AC, AB AC 0.v AP AQ,BP