平面向量数量积的物理背景及其含义

1、平面向量数量积的物理背景及其含义教学目标1. 平面向量的数量积.重点2. 平面向量的数量积的几何意义.难点3 .向量的数量积与实数的乘法的区别.易混点根底初探教材整理1向量数量积的定义及性质阅读教材P103P104 “例1以上内容，完成以下问题.1. 向量的数量积的定义两个非零向量a与b,它们的夹角为B,我们把数量|a|b|cos B叫做a与b的数量积或内积，记作a b, 即卩a b= |a|b|cos B .规定零向量与任一向量的数量积为0.2. 向量的数量积的性质设a与b都是非零向量，。为a与b的夹角.1a丄b? a b= 0.2当 a 与 b 同向时，a b= la|b|： 当a与b反向

2、时，a b=- |a|b|.3a a= |a|2 或|a|= a a= , a2.a bcos e = |a|b|.5|a b|< |a|b|.判断正确的打“，错误的打“x1向量的夹角和直线的倾斜角的范围相同.(2) 两个向量的数量积是向量.()(3) 设向量a与b的夹角为0,贝心cos 6 >0? ab>0.()解：(1)x .因向量的夹角包括180°,直线的倾斜角不包括180°(2) X .因两个向量的数量积没有方向，不是向量.(3) V 由数量积的定义可知.【答案】(1)x X V教材整理2向量的数量积的几何意义及运算律阅读教材P104例1以下至P1

3、05例2以上内容，完成以下问题.1. 向量的数量积的几何意义(1) 投影的概念如图2-4- 1所示：OA= a, OB = b,过B作BB1垂直于直线 OA,垂足为 B1，那么 OB1= Iblcos 0 .|b|cos 0叫做向量b在a方向上的投影，|a|cos 0叫做向量a在 b方向上的投影.R X1r7 rfll A0A (FA图 2-4-1(2) 数量积的几何意义：a b的几何意义是数量积a b等于a的长度|a|与b在a的方向上 的投影|b|cos 0的乘积.2. 向量数量积的运算律(1) a b= b_a(交换律).(2) (匕)= Ka b)= a ( 2b)(结合律).(3) (

4、a + b) c= a c+ b c(分配律).n|a| = 3,向量a与b的夹角为，那么a在b方向上的投影为 由AdBBC= 0知B= 90°故ABC为直角三角形，故 正确; 由 a2= |a|2 = 1, b2= |b|2= 1,故正确.设a与b的夹角为B,那么有a b= |a| |b|cos 6= 12,a b 12125 ；所以向量a在向量b方向上的投影为|a| cos e=両= 5 a b 12向量b在向量a方向上的投影为|b| cos e=面= = 4.如图，过A作AD丄BC,垂足为D.因为AB=AC,1所以 BD = 2BC= 2,于是 |BA|cosSBC=|BD|=

5、2|BC|=2 x 4=2.所以BA BC=|BA|BC|cosZABC= 4x 2= 8.12【答案】(1)(2) 12 4 (3)81. 在书写数量积时，a与b之间用实心圆点“ 连接，而不能X连接，更不能省略不写.2. 求平面向量数量积的方法：(1)假设向量的模及其夹角，那么直接利用公式a b= |a|b|cos e.(2)假设一向量的模及另一向量在该向量上的投影，可利用 数量积的几何意义求ab. 再练一题 1. 给出以下判断：假设a2+ b2 = 0,那么a= b = 0;a, b, c是三个非零向量，假设a+ b= 0,那么|ac|=|bc|;a, b共线？ a b =|a|b|:|a

6、|b|<a b;a a a= |a|3; a2+ b2>2a b;向量 a, b 满 足: a b>0,那么a与b的夹角为锐角；假设a, b的夹角为0,那么|b|cos 6表示向量b在向量a方向上的投影长.其中正确的选项是：解：由于a2>0, b2>0,所以，假设a2 + b2 = 0,那么a= b= 0,故 正确;假设a+ b = 0,那么a=- b,又a, b, c是三个非零向量，所以a c =-b c,所以|a c|= |b c|,正确；a, b共线？ a b= ±a|b|，所以 不正确;对于应有|a|b|> a b;对于，应该是a a a=

7、 |a|2a; a2+ b2 > 2|a|b|> 2a b,故正确；当a与b的夹角为0时，也有a b>0,因此错；|b|cos 0表示向量b在向量a方向上的投影的数量，而非投影长， 故错.综上可知正确.【答案】 数量积的根本运算 |a| = 4, |b|= 5,当(1)a/b; (2)a丄b; (3)a 与 b 的夹角为135°时，分别求a与b的数量积.(1)当a/b时，a与b夹角可能为0°或80° .(2)当a丄b时，a与b 夹角为90°.(3)假设a与b夹角及模时可利用a = |a| |b|-cos 6( 0 为a, b夹角)求值.

8、解：设向量a与b的夹角为0(1) a/b时，有两种情况： 假设a和b同向，贝卩0= 0°,ab=|a|b|= 20; 假设 a 与 b 反向，那么 0= 180°,ab= |a|b= 20.(2) 当 a±b 时，0= 90°，a b= 0.(3) 当a与b夹角为135°时，a b=|a|bCos 135°=0/2.1. 求平面向量数量积的步骤是：求a与b的夹角0 0 0，兀;分别求|a|和|b|;求数量积，即a b= |a|b|cos 0.2 .非零向量a与b共线的条件是a b=±a|b|.再练一题2 .正三角形 ABC的

9、边长为1,求：图 2 4 2(1)AB - AC;aB - BC;BC AC.解：(1)AB与AC的夹角为60°,/.AIB AC= |AB|AC|cos 60°1 1=ixix2=2AB与BC的夹角为120°,:.AB BC=|AB|BC|cos 1201 1=1 x 1 x 2 = 2.BC与AC的夹角为60°,1 1BC AC=|BC|AC|cos 60=x 1x 2 = 2.与向量模有关的问题向量a与b的夹角为120°，且|a|= 4, |b|=2,求:(1)|a+ b|;(2)|(a + b) (a 2b)|.利用a a = a2或|

10、a|= a2求解.解：由 a b= |a|b|cos 6= 4x 2xcos 120°=4,a2= |a|2 = 16, b2 = |b|2=4.(1) v |a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2a b+ b2 = 16 + 2x ( 4)+ 4= 12, .a + b|= 2 3.(2) v (a+ b) (a 2b) = a2 a b 2b2 = 16 ( 4) 2x 4= 12,.(a+ b) (a 2b)|= 12.1. 此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系.2. 利用a a= a2 = |a|2或|a|= a2，可以实现实数运算与向量运算 的相互转

11、化.再练一题3. 题干条件不变，求|a b|.解：因为|a|= 4, |b|= 2,且a与b的夹角0= 120°所以 |a b|= ： a b2= : a2 2a b + b2=；42 2X 4X 2X cos 120°422= 2 7,所以 |a b|= 2 7.探究共研型平面向量数量积的性质探究1设a与b都是非零向量，假设a丄b,那么a b等于多少？ 反之成立吗？【提示】a丄b? a b = 0.探究2当a与b同向时，a b等于什么？当a与b反向时，a b 等于什么？特别地，a a等于什么？【提示】当a与b同向时，a b= |a|b|;当a与b反向时，a b=|a|b|

12、; a a= a2= |a|2 或|a|= . a a.探究3 |a b|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量a，b，如何求它们的夹角0？【提示】|a b|< |a|b|，设a与b的夹角为0, J那么a b= |a|b|cos 0.两边取绝对值得:|a b|=|a|b|cos 6|< |a|b|.当且仅当|cos e|= 1,即 cos e= ±i, e= 0 或 n 时，取“=，所以 |a b|< |a|b|.八a bcos eI hi.|a|b|巧L|a| = 3, |b| = 2，向量a, b的夹角为60° c= 3a+ 5b,d= ma 3

13、b,求当m为何值时，c与d垂直？由条件计算a b,当c±d时，c d = 0列方程求解m.解：由得 a b= 3 x 2x cos 60°=3.由c丄d,知cd= 0,即 cd= (3a + 5b) (ma 3b)=3ma2 + (5m 9)a b 15b2=27m + 3(5m 9) 60=42m 87=0,2929m= 14, 即卩 m= 14时，c 与 d 垂直.1. 非零向量a, b,假设a丄b,那么a b= 0,反之也成立.a b2. 设a与b夹角为e,利用公式cos e= |0|血可求夹角e,求解时注意向量夹角e的取值范围e 0,n.再练一题4. 假设非零向量a

14、, b满足|a|= 3|b|= |a + 2b|,那么a与b夹角的余弦值为.解：设a与b夹角为0,因为|a|= 3b,所以 |a|2= 9|bf,又 |a|= |a + 2b|，所以 |a|2 = |a|2 + 4|bf + 4a b=|a2 + 4|b|2 + 4|a|b|cos 0= 13|b|2 + 12|b|2cos 0,1 即 9|b|2 = 13|b|2 + 12|b|2cos 0,故有 cos 0=-3.1【答案】-1构建体系1.在厶 ABC 中，BC= 5, AC= 8, / C = 60°,那么 BC -CA=(A . 20B. - 20C. 20 3D. - 20

15、 31解：BCCA= |BC|CA|cos 120°=x 8X 2=-20.【答案】 B2 .设e1, e2是两个平行的单位向量.那么下面的结果正确的选项是()A . e1 e? = 1C. |e1 e2|= 1B. ©i 62 =- 1D. |e1 e2|<1解：8 = |ei|e2|cos<ei, e?> = ±.【答案】C3. 在 ABC 中，AB = a, BC= b,且 b a= 0,那么4 ABC 是A .锐角三角形B .钝角三角形D .无法确定C.直角三角形解：在厶ABC中，因为b a= 0,所以b丄3,故厶ABC为直角三角形.【答

16、案】 C4. |a|= 4, e为单位向量，a在e方向上的投影为一2,贝S a与e的夹角为解：因为a在e方向上的投影为一2,即|a|cos<a, e> = 2,2 1所以 cos<a, e> =面=2, <a, e>= 120°.【答案】120°5. a b= 20, |a|= 5,求b在a方向上的投影的大小.解：设a, b的夹角为0,那么b在a方向上的投影就是|b|cos 0,因为 |a|b|cos 0= a b= 20,所以 |b|cos 0= 20=20 = 4,即b在a方向上的投影是4.学业分层测评学业达标一、选择题21.|b|=

17、 3, a在b方向上的投影是3,那么ab为A 1c4A . 3B.3C. 3D.2解：由数量积的几何意义知2a b = 3X 3 = 2,应选 D.【答案】D2 .设ei和e是互相垂直的单位向量，且 a = 3ei + 2e2, b= 3ei + 4较，贝y ab等于()A . 2B. 1C. 1D. 2解：因为|e1 = |e2|= 1,= 0,所以 a b = (3e + 2q) (3e + 4a)=9|e1|2 + 8|e2|2 + 6e1 e2= 9x 12+ 8x 12 + 6x B.【答案】B3. 假设向量a与b的夹角为60°, |b| = 4,且(a+ 2b) (a 3

18、b)= 72,那么a的模为()A . 2B. 4C. 6D. 12解：v (a+ 2b) (a 3b)= a2-a b 6b2=|a|2 |a| |b|cos60°-6|b|2=|a|2 2|a| 96= 72,|a|2 2|a| 24 = 0,|a| = 6.【答案】C4. 2022宁波期末向量a, b满足|a|= 2, |b|= 1, a - b= 1,那么向量a与a b的夹角为2n35 n6设向量a与a b的夹角为0,那么a a bcos 0=|a|a b|22-1 =逅2. ''3= 2,又 0 0,兀,n所以0=百应选A .【答案】A5. 点 A, B, C

19、 满足|AB|= 3, |BC| = 4, |CA|= 5,那么 AB - BC + BC - CA+ CA - AB的值是A . 25B. 25C. 24D. 24解：因为 |AB|2 + |BC|2= 9+ 16= 25=|CA|2,所以/ ABC= 90°,所以原式=ABBC+CA(BC+Ab)=o+ cAc=-Ac【答案】1 67. |a|=|b|=|c|= 1,且满足 3a+mb + 7c= 0,其中 a 与 b 的夹角为60°,那么实数m=.解：v 3a + mb+ 7c= 0,3a + mb= 7c,(3a + mb)2 = ( 7c)2，化简得 9+m2+

20、6ma b = 49.1 2又 a b=|a|b|cos 60 =,m2 + 3m 40= 0,解得m= 5或m= 8.【答案】5或8三、解答题8. 向量a、b的长度|a| = 4, |b| = 2.=-25.【答案】A二、填空题6. a丄b, |a|= 2, |b|= 1,且3a+ 2b与 沦一b垂直，那么 入等于.解：v (3a + 2b)丄(a-b),( a-b) (3a + 2b) = 0,3?a2 + (2 a- 3) a b-2b2 = 0.又 v |a|= 2, |b|= 1, a丄b,112 入2 = 0,. 入=6*(1) 假设a、b的夹角为120°求|3a 4b|

21、;(2) 假设|a+ b| = 2 '3，求a与b的夹角91 解：(1)a b=|a|b|cos120°NX 2x =4.又 |3a 4b|2 = (3a 4b)2= 9a2 24a b+ 16b2=9X42 24X ( 4)+ 16X 22= 304, 4b| = W19.(2) v |a + b|2 = (a + b)2 = a2 + 2a b+ b2=42+ 2a b+ 22= (2 2,a b41a b= 4,.cos e=丽=4X2= 2.2n又 e 0，兀，二 e= -3.9. 在 ABC 中，bC= a, CA= b, AB= c,且 a b= b c= c a

22、,试 判断 ABC的形状.解：如图，a+b+ c= 0.贝卩 a+ b= c,即(a+ b)2= ( c)2,故 a2 + 2a b+ b2 = c2.同理，a2+ 2a c+ c2= b2,b2 + 2b c+ c2 = a2.由一，得b2-c2= c2 b2，即 2b2= 2c2,故 |b|= |c|.同理，由一，得|a|=|c|.故|a| = |b|=|c|,故厶ABC为等边三角形. 能力提升1.2022玉溪高一检测|a|= 2|b|z0,且关于x的方程x2 + |a|x + a b = 0有实根，那么a与b的夹角的取值范围是0,解：因为A= a2-4|a| |b|cos 6 0为向量a与b夹角.假设方程有实根，那么有 A>0即a2-4|a| |b|cos e> 0,又|a|= 2|b|,4|b|2 8|b|2cos 6>0,cose<2,又 0< e< n,n二3