13数学本---2016数理金融学作业布置及参考答案

1、作业次数顺序：请按作业本上顺序标号，我这里的标号不一定对。做作业请我布置的顺序做，谢谢！第八次作业：4.1,4.2教材p68第6,7题请参考4.3,4.4解法作业/I:贝塔系数与证券定价(一)4.1.一个由无风险资产和市场组合构成的投资组合的期望收益是11%标准差是0.18,且市场组合的期望收益是15%假定资本资产定价模型有效。如果一个证券与市场组合的相关系数是0.30、标准差是0.4，计算该证券的期望收益是多少？解：设该投资组合为Xp=(1-)rXm,由题意知，E(XM)=14%,r=0.05,；=p二：七M所以，E(Xp)=r：mp(E(Xm-r),11%=5%：mp(15%-5%)mp=

2、0.6_9二-一三一叱_03mp_;：m，-m_mp-0.6-0.3:_:j_0.30.40_012.-mj-；：m-0.3-0.3-0.4由资本市场线cm3程得：E(Xj)=r-Mj(E(XM)-r=5%0.410%=9%设无风险利率为6%市场组合的期望收益是15%方差为0.04.证券j与市场组合的相关系数是0.45,方差是0.16。根据资本资产定价模型，证券j的期望收益是多少？解：设Xj为证券j的收益率，由题意知，E(Xm)=15%,r=6%；mj=：mj二j二m/=0.450.40.2/0.04=0.9由CAPM莫型：E(Xj)=rf+Pmj(E(XM)rf)得：E(Xj)=6%0.9(

3、15%-6%)=14.1%假设证券的市场价值为40美元，证券的期望收益率为13%无风险利率为7%市场风险溢价E(Xm)-r为8%假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。4.2 解：设此证券为Xp由证券市场线方程E(Xp)-r=bMp(E(XM)-r),可知bMp?8%13%-7%=6%,bMp=0.75cov(Xp,Xm)因为bMp=当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍var(XM)时，bMp2bMp=1.5，贝UE(XC=7%+1.5?8%19%收益D=P07E(X)40?13%5.2,原来的2倍时，bMp&

4、2bMp=1.5,D=Pj?E(X)P009%=5.2,P0?=5.2/19%?27.374.3 假设证券的市场价值为60美元，证券的期望收益率为15%无风险利率为7%市场风险溢价E(Xm)-r为8%假如证券未来的期望收益不变，而证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍，试求证券在当前的价值。4.4 解：设此证券为Xp由证券市场线方程E(Xp)-r=bMp(E(XM)-r),可知bMp?8%8%,bMp=1.0cov(Xn,XM)因为bMp=丝，当证券收益率关于市场资产组合收益率的协方差是原来的2倍var(XM)时，bMp=2bMp=1.0?22.0。此时证券的期望收益率为：E(X

5、pi)=r+bMp(E(Xm)-r)=7%+2?8%23%,而收益D=60x15%=9.由股票价格=股票收益/收益率=9/23%=39.13第九次作业作业九CAPMM及其应用一、名词解释1证券市场线；2.资本市场线1 .证券市场线是指对任意资产组合Xp?M,由点(bMp,E(Xp)所形成的轨迹.证券市场线方程为：E(Xp)-r=bMp(E(XM)-r).其中bMp=cov(Xp，Xm)/sM为资产组合Xp的市场beta系数，r为无风险利率.它是过无风险资产对应的点(0,r)和市场资产组合对应的点(1,E(Xm)的一条直线.2 .资本市场线是由所有有效资产组合Xp?M所对应的点(s(Xp),E(

6、Xp)所形成的轨迹.Sp资本市场线的万程为：E(XP)=r+(E(Xm-r)Sm二、选择题1.资本资产定价模型中，风险是通过(B)度量的A.个别风险B.贝塔系数C.收益标准差D.收益的方差10.已知无风险收益率和市场组合期望收益率分别为0.06和0.12,根据CAPM莫型，贝塔系数为1.2的证券X的期望收益率是()A.0.06B.0.144C.0.12D.0.132解：rf=6%,E(Xm)=12%,bp)=1.2,由CAPM莫型：E(Xp)=+Pp(E(Xm)得E(Xj)=6%1.2(12%-6%)=13.2%=0.1322.CAPM模型是1964年由(D)提出的A.MakowitzB.Li

7、nterC.RossD.Sharpe12.如果无风险利率rf=6%,E(Xm)=14%,E(Xp)=18%,则资产组合Xp的b值等于多少？A.-1.5B.1,C.1.5D2解：由CAPM莫型：E(Xp)=rf+Pp(E(Xm)rf)得：18%=6%-p(14%-6%),-p=1.5pp3 .(D)风险可以通过资产组合多样化来消除？A.预想到的风险B.系统性风险，C.市场风险D非系统性风险.证券的系统性风险可以用(A)来度量。A.P系数B.相关系数，C.收益率的标准差D收益率的方差。4 .设当前无风险利率rf=6%,市场组合收益率的均值和标准差分别为E(Xm)=0.10,Sm=0.20如果某股票

8、的收益率与市场组合收益率的协方差为0.05则该股票的期望收益率等于()。A.10%B.11%,C.12%D9%解：设该股票为由CAPM:解：设该股票为由CAPM:Xj,则)E(Xj)=%cov(Xj,XM)0.052二M0.04Bmj(E(XM)-rj得:=1.25E(Xj)=6%1.25(10%-6%)-11%三、计算题1 .建立资产组合时有以下两个机会：(1)无风险资产收益率为12%;(2)风险资产收益率为30%,标准差0.4。如果投资者资产组合的标准差为0.30,则这一资产组合的收益率为多少？解：运用CMLJ程式E(Rp)=RE(Rm)-RF牛M0.430%-12%E(RP)=12%0.

9、3=25.5%2 .假定无风险利率为6%,市场收益率为16%,股票A当日售价为25元，在年末将支付每股0.5元的红利，其贝塔值为1.2,请预期股票A在年末的售价是多少？解：E(R)=Rf+PiME(%)-R=6%(16%-6%)1.2=18%口印一2503=18%25口印一2503=18%25E(P1)=29作业十：期权价值的计算(单期)1.某个股票现价为40美元。已知在1个月后，股票价格为42美元或38美元。无风险年利率为12%(连续复利)。请用无套利原理说明，执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？(2)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？(3)

10、验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系参考答案：1.解：股票的价格二叉树模型为：q-S=42S0=40u,rf=12%,=1/121-q二Sd=38第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q.由无套利原理知：0.121/12八,八八v、e?4042q+38(1-q)从40?(10.01)=42q+38(1-q)所以我们得到2.4=42q-38q=4qq=0.6第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.(1)执行价格为39美元的1个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为:q_Cu=3C01-q二Cd=0看涨期权的价格为：11.8Co=q?3(1-q)?0大二1.782(美兀)1.011.01(2)执行

11、价格K=39美元的看跌期权的二叉树模型为：p。qgCu=0,所以看跌期权的价格为：1-q-Cd=11一一0.4P0=q?0(1-q)?10.396(美兀)1.011.01(3)P+S=C+KefPS=0.39640=40.396,CKe,=1.78239e”.01=40.3962.某个股票现价为50美元。已知在两个月后，股票价格为53美元或48美元。无风险年利率为10%(连续复利)。请用无套利原理说明，(1)执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？(2)执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？(3)验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系2.解：股票的价

12、格二叉树模型为：q-S=53S0=50u,rf=10%,=1/61-q-Sd=48第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q.由无套利原理知：e0.11/6?5053q+48(1-q)从50?(11/60)=53q+48(1-q)我们得到17/6=53q-48q=5q所第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.（3）执行价格为49美元的2个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为:q-Cu=4C0_1-q-Cd=0看涨期权的价格为：C0=1q?4(1-q)?013.6/6-136=2.23(美元)61/6061/6061（4）执行价格K=49美元的看跌期权的二叉树模型为:Pq-CuP0-1-q二Cd二0

13、0,所以看跌期权的价格为:=160602.6P0=q?0(1-q)?1?-0.426(美兀)61616(3)P+S=C+KeT,PS=0.42650=50.426,CKe=2.2349e1/60=2.234960/61=2.2348.196=50.426作业十一：期权价值的计算（2）单期3.某个股票现价为80美元。已知在4个月后，股票价格为75美元或85美元。无风险年利率为6%（连续复利）。请用无套利原理说明，（1）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的价值为多少？（2）执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看跌期权的价值为多少？（3）验证欧式看涨期权、看跌期权之间的平价关系3解：股

14、票的价格二叉树模型为：q-S=85&=80u,rf=6%,=1/31-q-Sd=75第1步：从股票二叉图得到风险中性概率q.由无套利原理知：0.061/3ccCLrL/）e?8085q+75（1-q）80?(10.02)=85q+75(1-q)我们得到6.6=85q-75q=10q以q=0.66第2步：对衍生产品价值Cu和Cd求平均.(2) 执行价格为80美元的4个月后到期的欧式看涨期权的二叉树模型为：q-Cu=5Co_1-q-Cd=0看涨期权的价格为：13.3、，一C0=q?5(1-q)?0二3.235(美兀)1.021.02(3)执行价格K=80美元的看跌期权的二叉树模型为：P。qgCu=

15、0,所以看跌期权的价格为：1-q-Cd=51一一1.7P0=q?0(1-q)?5=二1.667(美兀)1.021.02(3) P+S=C+KefPS=1.6780=81.67,CKe二7=3.23580e02=3.2478.43=81.674.股票现在的价值为50元。一年后，它的价值可能是55元或40元。一年期利率为4%假设我们希望计算两种看涨期权白价格，一种执行价格为48美元，另一种执行价为53美元。我们也希望为一种执行价为45元的看跌期权定价。问：如何求欧式看涨期权这三个无套利价格。4.解：股票的价格二叉树模型为：q-Su=55&=50,rf=4%,=11-q二Sd=40第1步：从股票二叉树得到风险中性概率q由无套利原理知：,八，一12从52=55q+40(1-q),得至U12=55q-40q=15q,所以，q=0.815第2步：对衍生产品价值ClDCd求平均(1)执行价格为48美元的1年后到期的欧式看涨期权的二叉树模型