西安交大西工大 考研备考期末复习 概率论与数理统计 第四章条件概率及独立性

1、古典概率计算中的基本公式一、条件概率例例1 1 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字，字， 三个阄内不写字三个阄内不写字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,问各人抓到问各人抓到“有有”字阄的概率是否相字阄的概率是否相同同?抓阄问题抓阄问题解解,人抓到有字阄”的事件人抓到有字阄”的事件表示“第表示“第设设iAi. 5 , 4 , 3 , 2 , 1 i则有则有,52)(1 AP引申引申 若已知第一个人抓到的是若已知第一个人抓到的是“有有”字，则字，则第二个人抓到第二个人抓到“有有”字字的概率是多少？若已知的概率是多少？若已知第一个人没有抓到第一个人没有抓到 “有有”字字，则第二

2、个人抓到，则第二个人抓到“有有”字字的概率又是多少？的概率又是多少？2()?P A 一、条件概率定义定义1 1：已知事件：已知事件A A发生的条件下，事件发生的条件下，事件B B发生的发生的概率称为事件概率称为事件A A发生条件下事件发生条件下事件B B的的条件概率条件概率，记作记作P(B|A)P(B|A)。AABnnABP )|()()(APABPnnnnAAB 若事件若事件A A、B B是古典概型的样本空间是古典概型的样本空间S S中的两个事中的两个事件，其中件，其中A A含有含有 个样本点个样本点,AB,AB含有含有 个样本个样本点，则点，则 AnABn);()()()( ) 3(212

3、121BAAPBAPBAPBAAP ).(1)( )4(BAPBAP 则有则有件件是两两不相容的事是两两不相容的事设设可加可列性可加可列性,A,A:)5(21. )BA(PBAP1ii1ii 2. 性质性质; 1)(0:) 1 ( BAP有界性有界性0)B|(PBP 1,)(2)规范性规范性一、条件概率例例2 某种动物由出生算起活某种动物由出生算起活20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8, 活到活到25岁以上的概率为岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个如果现在有一个20岁的这种动物岁的这种动物, 问它能活到问它能活到25岁以上的概率是岁以上的概率是多少多少? 设设 A 表示表示“ 能活能活

4、20 岁以上岁以上 ” 的事件的事件; B 表表示示 “ 能活能活 25 岁以上岁以上”的事件的事件,则有则有, 8 . 0)( AP因为因为.)()()(APABPABP , 4 . 0)( BP),()(BPABP .218 . 04 . 0 )()()(APABPABP 所以所以解解一、条件概率一、条件概率例例3 3 一盒中混有一盒中混有100100只新、旧乒乓球，各有红、白只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红红白白新新4030旧旧2

5、010设设A-A-从盒中随机取到一只红球从盒中随机取到一只红球. . B- B-从盒中随机取到一只新球从盒中随机取到一只新球. . 60An40ABn32)|(AABnnABP一、条件概率小结：求条件概率的方法小结：求条件概率的方法（1 1）缩小样本空间：在样本空间）缩小样本空间：在样本空间S S缩小的缩小的样本空间样本空间SASA中考察事件中考察事件B B发生的概率。发生的概率。（2 2）用条件概率的定义计算公式。）用条件概率的定义计算公式。)()()|(APABPABP 二、乘法公式例例4 4 在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙在空战中，甲机先向乙机开火，击落乙机的概率为机的概率为0.20

6、.2；若乙机未被击落，就进行还；若乙机未被击落，就进行还击，击落甲机的概率为击，击落甲机的概率为0.30.3，在上述回合中，在上述回合中，甲机被击落的概率为多少？甲机被击落的概率为多少？ 启示启示：从此例可以看出，直接求两个事：从此例可以看出，直接求两个事件积的概率不易获得，但可以通过将条件积的概率不易获得，但可以通过将条件概率的计算式变形来求得。件概率的计算式变形来求得。二、乘法公式定理定理1 1 设设P(A)P(A)0,0,则有则有)|()()(ABPAPABP （2）同理对同理对P(B)P(B)0,0,有有 )|()()(BAPBPABP （3）二、乘法公式定理定理2 2 设设nAAA,

7、21为为n n个事件个事件(n2),(n2),且且 0)(121 nAAAP则)|()|()()(12112121 nnnAAAAPAAPAPAAAP（4）例例3 3 合中有合中有3 3个红球，个红球，2 2个白球，每次从袋中任取一个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从合中连续取球色相同的球，若从合中连续取球4 4次次, ,试求第试求第1 1、2 2次取次取得白球、第得白球、第3 3、4 4次取得红球的概率。次取得红球的概率。解：设解：设A Ai i为第为第i i次取球时取到白球，则次取球时取到白球，

8、则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(12AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP二、乘法公式例例4 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中300件是乙件是乙厂生产的厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是标准件，现个是标准件，现从这从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的这个零件是乙厂生产的标准件标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个是个是标准件

9、标准件300个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产A=是标准件是标准件注意注意P(AB)与与P(A | B)的区别！的区别！二、乘法公式若改为若改为“发现它是乙厂生产的发现它是乙厂生产的,问它是标准件的概率是多少问它是标准件的概率是多少?”求的是求的是 P(A|B) .B发生发生,在在P(AB)中作为结果中作为结果;在在P(A|B)中作为条件中作为条件.甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300个个乙厂生产乙厂生产二、乘法公式条件概率条件概率P(A|B)与与P(A)的区别的区别 每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设每一

10、个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下是在该试验条件下事件事件A发生的可能性大小发生的可能性大小.P(A)与与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同的区别在于两者发生的条件不同,它们是它们是两个不同的概念两个不同的概念,在数值上一般也不同在数值上一般也不同. 而条件概率而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加是在原条件下又添加“B发发生生”这个条件时这个条件时A发生的可能性大小，即发生的可能性大小，即P(A|B)仍是仍是概率概率.二、乘法公式三、全概率公式启示启示：对于某些复杂的结果事件，如果其复杂：对于某些复杂的结果

11、事件，如果其复杂性是由造成这个结果的原因不确定性引起的，性是由造成这个结果的原因不确定性引起的，可以通过将该事件分解到所有可能的原因上，可以通过将该事件分解到所有可能的原因上，再利用已有的知识来解决。这实际上就是全概再利用已有的知识来解决。这实际上就是全概率公式的率公式的基本思想基本思想。 抓阄问题抓阄问题例例1 1 五个阄五个阄, 其中两个阄内写着其中两个阄内写着“有有”字，字， 三个阄内不写字三个阄内不写字 ，五人依次抓取，五人依次抓取,问第二个问第二个人抓到人抓到“有有”字阄的概率字阄的概率?三、全概率公式划分的定义划分的定义njijiAAji, 2 , 1,1 SAAAn 212nAA

12、A,21定义定义2 2 设设S S为试验为试验E E的样本空间，的样本空间， 为为E E的一组事件。若的一组事件。若则称则称nAAA,21为样本空间为样本空间S S的一个划的一个划分。分。 样 本样 本空间空间S S三、全概率公式nAAA,21 ), 2 , 1( 0)(niAPi )()|()()|()()|()(2211nnAPABPAPABPAPABPBP 定理定理3 3 设试验设试验E E的样本空间为的样本空间为S,BS,B为为E E的事件的事件, , 为为S S的一个划分的一个划分, ,且且 ，则，则全概率公式全概率公式说明说明 (2)(2)适当构造一组划分事件适当构造一组划分事件

13、，简化计算；，简化计算； iA(1)(1) 的发生总是伴随某个的发生总是伴随某个 同时发生；同时发生；iAB(3)(3)由由“原因原因”推推“结果结果”事件发生的可能性。事件发生的可能性。 例例5 5 有一批同一型号的产品有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产已知其中由一厂生产的占的占 30% , 二厂生产的占二厂生产的占 50% , 三厂生产的占三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?设事件设事件 A 为为“任取一件为次品任取一件为次品”,.

14、 3 , 2 , 1, iiBi厂厂的的产产品品任任取取一一件件为为为为事事件件123,BBB 解解. 3 , 2 , 1, jiBBji由全概率公式得由全概率公式得, 2 . 0)(, 5 . 0)(, 3 . 0)(321 BPBPBP30%20%50%2%1%1%112233( )() ()() ()() ().P AP B P ABP B P ABP B P AB.013. 02 . 001. 05 . 001. 03 . 002. 0 ,01. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP112233( )() ()() ()() ()P AP B P ABP B

15、 P ABP B P AB故故称此为称此为贝叶斯公式贝叶斯公式. . 四、四、 贝叶斯公式贝叶斯公式., 2 , 1,)()|()()|()|(), 2 , 1(0)(, 0)(,121niAPABPAPABPBAPniAPBPAAAEBEnjjjiiiin则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为试试验验设设定定义义;,)1(.,05. 080. 015. 003. 001. 002. 0321:.概率概率求它是次品的求它是次品的元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只无区别的标志无区别的标志且且仓库中是均匀混合的仓库中是均匀混合的设这三家工厂的产品在设

16、这三家工厂的产品在提供元件的份额提供元件的份额次品率次品率元件制造厂元件制造厂的数据的数据根据以往的记录有以下根据以往的记录有以下件制造厂提供的件制造厂提供的的元件是由三家元的元件是由三家元某电子设备制造厂所用某电子设备制造厂所用例例6 6.,)2(别是多少别是多少三家工厂生产的概率分三家工厂生产的概率分求此次品出由求此次品出由为分析此次品出自何厂为分析此次品出自何厂次品次品若已知取到的是若已知取到的是元件元件在仓库中随机地取一只在仓库中随机地取一只解解,取到的是一只次品取到的是一只次品表示表示设设 A.家工厂提供的家工厂提供的所取到的产品是由第所取到的产品是由第表示表示i)3 , 2 , 1

17、( iBi,的的一一个个划划分分是是样样本本空空间间则则321BBB,05. 0)(,80. 0)(,15. 0)(321 BPBPBP且且.03. 0)(,01. 0)(,02. 0)(321 BAPBAPBAP(1) 由由全概率公式得全概率公式得)()()()()()()(332211BPBAPBPBAPBPBAPAP .0125. 0 (2) 由由贝叶斯公式得贝叶斯公式得)()()()(111APBPBAPABP 0125. 015. 002. 0 .24. 0 ,64. 0)()()()(222 APBPBAPABP.12. 0)()()()(333 APBPBAPABP.2 家家工工

18、厂厂的的可可能能性性最最大大故故这这只只次次品品来来自自第第).(,005. 0)(,005. 0,.95. 0)(,95. 0)(,:,ACPCPCAPCAPCA试求试求即即的概率为的概率为设被试验的人患有癌症设被试验的人患有癌症进行普查进行普查现在对自然人群现在对自然人群有有则则被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症表示事件表示事件以以为阳性为阳性试验反应试验反应表示事件表示事件若以若以验具有如下的效果验具有如下的效果某种诊断癌症的试某种诊断癌症的试根据以往的临床记录根据以往的临床记录 解解,05. 0)(1)(,95. 0)( CAPCAPCAP因为因为,995. 0)(,005. 0)( C

19、PCP例例7 7由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为( ) ()()( ) ()( ) ()P C P A CP C AP C P A CP C P A C.087. 0 即平均即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有个具有阳性反应的人中大约只有87人人患有癌症患有癌症.?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为

20、良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%解解.产品合格产品合格为事件为事件设设 A.机器调整良好机器调整良好为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例8,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率

21、 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率 例例9 一辆出租车涉及一起夜间肇事逃逸事故。在这一辆出租车涉及一起夜间肇事逃逸事故。在这个城市里，有绿色个城市里，有绿色”和和“兰色兰色”两家出租汽车公司两家出租汽车公司(A) 85%的是的是“绿色绿色”,15%是是“兰色兰色”。(B)一位目击者认定这辆出租车是一位目击者认定这辆出租车是“兰色兰色”，假设，假设目击者是如实陈述的。法庭在与出事当夜相同的环目击者是

22、如实陈述的。法庭在与出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度，得出结论，在境下测试了目击者的可信度，得出结论，在80%的的时间里，目击者能正确识别两种颜色中的每一种，时间里，目击者能正确识别两种颜色中的每一种，在在20%的时间里不能。的时间里不能。 与该事故有牵连的出租车是与该事故有牵连的出租车是“兰色兰色”而不是而不是绿色绿色”的概率是多少的概率是多少?例例1010（敏感问题调查）（敏感问题调查）有时需要精确地测定持有时需要精确地测定持有某种信念或经常介入某种具体行为（比如酗有某种信念或经常介入某种具体行为（比如酗酒成瘾）的人所占的百分比。酒成瘾）的人所占的百分比。19651965年年Sta

23、nley L.WarnerStanley L.Warner发明了一种能消除人发明了一种能消除人们抵触情绪的们抵触情绪的”随机化应答随机化应答”方法。调查方案方法。调查方案如下。该方案的核心是如下两个问题：如下。该方案的核心是如下两个问题： 问题问题A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (一般来说，一般来说，生日在生日在7 7月月1 1日以前的概率为日以前的概率为0.5)0.5)？ 问题问题B B：你是否有酗酒成瘾？：你是否有酗酒成瘾？被调查者事先从一个装有黑球和白球的箱子中被调查者事先从一个装有黑球和白球的箱子中随机抽取一个球，看过颜色后又放回。若抽出随机抽取一

24、个球，看过颜色后又放回。若抽出白球则回答问题白球则回答问题A A；若抽出黑球则回答问题；若抽出黑球则回答问题B B。箱中黑球比率箱中黑球比率已知。已知。被调查者无论回答被调查者无论回答A题或题或B，都只需，都只需 选择选择“是是”或或“否否” ” ，上述过程都在无人的房间内进行，上述过程都在无人的房间内进行，任何人都不知道被调查者抽到什么颜色的球以任何人都不知道被调查者抽到什么颜色的球以及在答卷中如何选择，这样就不会泄露个人秘及在答卷中如何选择，这样就不会泄露个人秘密，从而保证了答卷的真实可靠性。密，从而保证了答卷的真实可靠性。问题：问题：如何根据开箱统计结果计算如何根据开箱统计结果计算 P

25、P 答答“是是”| |抽黑球抽黑球 计算积事计算积事件的概率件的概率古典概率计算方法古典概率计算方法乘法公式乘法公式计算复杂计算复杂结果事件结果事件的概率的概率执执因因求求果果全全概概率率公公式式计算后验计算后验概率概率执执果果寻寻因因贝贝叶叶斯斯公公式式条条件件概概率率实实际际问问题题小小 结结例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机无放回随机地抽取两次地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多抽求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a)

26、 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二第二次与第三次均是白球的概率次与第三次均是白球的概率? (b) 第一次与第二第一次与第二次均是白球的情况下次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?课堂练习课堂练习解解.)1(21二二次次抽抽取取到到红红球球第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球个个两两次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一为为事事件件设设AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 则有则有,212121AAAAAA

27、A . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第为为设事件设事件)()(132AAAPa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因为因为,522624)(21 AAP因为因为.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP例例2 掷两颗骰子掷两颗骰子, 已知两颗骰子点数之和为已知两颗骰子点数之和为7, 求其中有一颗为求其中有一颗为1

28、点的概率点的概率.解解设事件设事件A 为为“ 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 ”, 事件事件 B为为 “ 一颗点数为一颗点数为1 ”.故所求概率为故所求概率为.31 P掷骰子试验掷骰子试验 两颗点数之和为两颗点数之和为 7 的种数为的种数为 3,其中有一颗为其中有一颗为 1 点的种数为点的种数为 1,例例3 设一仓库中有设一仓库中有10 箱同种规格的产品箱同种规格的产品, 其中其中由甲、乙、丙三厂生产的分别有由甲、乙、丙三厂生产的分别有5箱箱 , 3箱箱, 2 箱箱,三厂产品的废品率依次为三厂产品的废品率依次为 0.1, 0.2, 0.3 从这从这 10箱产品中任取一箱箱产品中任取一箱 ,

29、再从这箱中任取一件产品再从这箱中任取一件产品,求取得的正品概率求取得的正品概率. 设设 A 为事件为事件“取得的产品为正品取得的产品为正品”, 分别表示分别表示“任取一件产品是甲、乙、丙生产的任取一件产品是甲、乙、丙生产的”,321BBB由题设知由题设知.102)(,103)(,105)(321 BPBPBP解解, 7 . 0)(, 8 . 0)(, 9 . 0)(321 BAPBAPBAP故故)()()(31iiiBAPBPAP 107102108103109105 .82. 0 内内 容容 回回 顾顾实实际际问问题题 计算积计算积事件的事件的概率概率 古典概率计算方法古典概率计算方法 乘法

30、公式乘法公式 计算复杂结果计算复杂结果事件的概率事件的概率 执执因因求求果果 全全概概率率公公式式 条条件件概概率率 计 算计 算后 验后 验概率概率 贝贝叶叶斯斯公公式式 执执果果寻寻因因 1A2AnA例例1 设袋中有设袋中有4只白球只白球, 2只红球只红球 , (1) 无放回随机无放回随机地抽取两次地抽取两次, 每次取一球每次取一球, 求在两次抽取中至多抽求在两次抽取中至多抽到一个红球的概率到一个红球的概率? (2) 若无放回的抽取若无放回的抽取 3次次, 每每次抽取一球次抽取一球, 求求 (a) 第一次是白球的情况下第一次是白球的情况下, 第二第二次与第三次均是白球的概率次与第三次均是白

31、球的概率? (b) 第一次与第二第一次与第二次均是白球的情况下次均是白球的情况下 , 第三次是白球的概率第三次是白球的概率?解解.)1(21二二次次抽抽取取到到红红球球第第为为第第一一次次抽抽取取到到红红球球为为事事件件红红球球个个两两次次抽抽取取中中至至多多抽抽到到一一为为事事件件设设AAA.1514546252645364 )()()()(212121AAPAAPAAPAP )()()()()()(121121121AAPAPAAPAPAAPAP 则有则有,212121AAAAAAA . 3 , 2 , 1,)2( iiAi次取出的是白球次取出的是白球第第为为设事件设事件)()(132AA

32、APa,)()(1321APAAAP .1033251)()()(1321132 APAAAPAAAP所以所以,513634)(,3264)(3211 AAAPAP因为因为,522624)(21 AAP因为因为.215251)()()(21321213 AAPAAAPAAAP所以所以,)()()()(21321213AAPAAAPAAAPb ,513634)(321 AAAP?,.95,.55,98,概概率率是是多多少少机机器器调调整整得得良良好好的的时时早早上上第第一一件件产产品品是是合合格格试试求求已已知知某某日日机机器器调调整整良良好好的的概概率率为为时时每每天天早早上上机机器器开开动动

33、其其合合格格率率为为种种故故障障时时而而当当机机器器发发生生某某产产品品的的合合格格率率为为良良好好时时当当机机器器调调整整得得明明对对以以往往数数据据分分析析结结果果表表%解解.产品合格产品合格为事件为事件设设 A.机器调整良好机器调整良好为事件为事件B则有则有,55. 0)(,98. 0)( BAPBAP例例2,05. 0)(,95. 0)( BPBP 由由贝叶斯公式得所求概率为贝叶斯公式得所求概率为)()()()()()()(BPBAPBPBAPBPBAPABP 05. 055. 095. 098. 095. 098. 0 .97. 0 .97. 0,整良好的概率为整良好的概率为此时机器

34、调此时机器调是合格品时是合格品时即当生产出第一件产品即当生产出第一件产品上题中概率上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的是由以往的数据分析得到的, 叫叫做做先验概率先验概率.而在得到信息之后再重新加以修正的概率而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97叫做叫做后验概率后验概率.先验概率与后验概率先验概率与后验概率 例例3 一辆出租车涉及一起夜间肇事逃逸事故。在这一辆出租车涉及一起夜间肇事逃逸事故。在这个城市里，有绿色个城市里，有绿色”和和“兰色兰色”两家出租汽车公司两家出租汽车公司(A) 85%的是的是“绿色绿色”,15%是是“兰色兰色”。(B)一位目击者认定这辆出租车是一位目击者

35、认定这辆出租车是“兰色兰色”，假设，假设目击者是如实陈述的。法庭在与出事当夜相同的环目击者是如实陈述的。法庭在与出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度，得出结论，在境下测试了目击者的可信度，得出结论，在80%的的时间里，目击者能正确识别两种颜色中的每一种，时间里，目击者能正确识别两种颜色中的每一种，在在20%的时间里不能。的时间里不能。 与该事故有牵连的出租车是与该事故有牵连的出租车是“兰色兰色”而不是而不是绿色绿色”的概率是多少的概率是多少?例例4 4（敏感问题调查）（敏感问题调查）有时需要精确地测定持有有时需要精确地测定持有某种信念或经常介入某种具体行为（比如酗酒某种信念或经常介入某种具

36、体行为（比如酗酒成瘾）的人所占的百分比。成瘾）的人所占的百分比。19651965年年Stanley L.WarnerStanley L.Warner发明了一种能消除人发明了一种能消除人们抵触情绪的们抵触情绪的”随机化应答随机化应答”方法。调查方案方法。调查方案如下。该方案的核心是如下两个问题：如下。该方案的核心是如下两个问题： 问题问题A A：你的生日是否在：你的生日是否在7 7月月1 1日之前日之前( (一般来说，一般来说，生日在生日在7 7月月1 1日以前的概率为日以前的概率为0.5)0.5)？ 问题问题B B：你是否有酗酒成瘾？：你是否有酗酒成瘾？被调查者事先从一个装有黑球和白球的箱子中

37、被调查者事先从一个装有黑球和白球的箱子中随机抽取一个球，看过颜色后又放回。若抽出随机抽取一个球，看过颜色后又放回。若抽出白球则回答问题白球则回答问题A A；若抽出黑球则回答问题；若抽出黑球则回答问题B B。箱中黑球比率箱中黑球比率已知。已知。被调查者无论回答被调查者无论回答A题或题或B，都只需，都只需 选择选择“是是”或或“否否” ” ，上述过程都在无人的房间内进行，上述过程都在无人的房间内进行，任何人都不知道被调查者抽到什么颜色的球以任何人都不知道被调查者抽到什么颜色的球以及在答卷中如何选择，这样就不会泄露个人秘及在答卷中如何选择，这样就不会泄露个人秘密，从而保证了答卷的真实可靠性。密，从而

38、保证了答卷的真实可靠性。问题：问题：如何根据开箱统计结果计算如何根据开箱统计结果计算 P P 答答“是是”| |抽黑球抽黑球 (一一) 两个事件的独立性两个事件的独立性由条件概率，知由条件概率，知)()()(BPABPBAP 一般地，一般地，)()(APBAP 这意味着：事件这意味着：事件B的发生对事件的发生对事件A发生的概发生的概率有影响率有影响.然而，在有些情形下又会出现：然而，在有些情形下又会出现：)()(APBAP 第四节第四节 事件的独立性事件的独立性,.,),23(5取取到到绿绿球球第第二二次次抽抽取取取取到到绿绿球球第第一一次次抽抽取取记记有有放放回回地地取取两两次次每每次次取取

39、出出一一个个红红绿绿个个球球盒盒中中有有 BA则有则有 )(ABP.发发生生的的可可能能性性大大小小的的发发生生并并不不影影响响它它表表示示BA)()(BPABP )()()(BPAPABP 53)(BP 1.引例引例，则，则若若0)( AP.,)()()(,独独立立简简称称相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是两两事事件件设设BABABPAPABPBA 2. 定义定义1.9注注. 1则则若若, 0)( AP)()(BPABP )()()(BPAPABP 说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立相互独立,是指事件是指事件 A 的的发生与事件发生与事件 B 发生的概率无关

40、发生的概率无关.2 独立与互斥的关系独立与互斥的关系两事件相互独立两事件相互独立)()()(BPAPABP 两事件互斥两事件互斥 AB,21)(,21)( BPAP若若).()()(BPAPABP 则则例如例如二者之间没二者之间没有必然联系有必然联系独立是事独立是事件间的概件间的概率属性率属性互斥是事互斥是事件间本身件间本身的关系的关系11ABAB由此可见由此可见两事件两事件相互独立相互独立但两事件但两事件不互斥不互斥.两事件两事件相互独立相互独立两事件两事件互斥互斥.AB)(21)(,21)(如图如图若若 BPAP)()()(BPAPABP 故故由此可见由此可见两事件两事件互斥互斥但但不独立

41、不独立., 0)( ABP则则,41)()( BPAP又如：又如：两事件两事件相互独立相互独立.两事件两事件互斥互斥3.性质性质(1) 必然事件必然事件 及不可能事件及不可能事件与任何事件与任何事件A相互独立相互独立.证证 A=A, P( )=1 P( A) = P(A)=1 P(A)= P( ) P(A)即即 与与A独立独立. A=, P()=0 P(A) = P()=0= P() P(A)即即 与与A独立独立.(2) 若事件若事件A与与B相互独立相互独立, 则以下三对事件则以下三对事件也相互独立也相互独立.；与与 BA；与与 BA.BA 与与证证 BAABBBAAA )()()()(BAP

42、ABPAP )()()(ABPAPBAP 注注 称此为二事件的独立性称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭关于逆运算封闭.又又 A与与B相互独立相互独立)()()(ABPAPBAP )()()(BPAPAP )(1)(BPAP )()(BPAP )(对偶律对偶律BABA )()(BAPBAP )(1BAP )(1BAP )()()(1ABPBPAP )()()()(1BPAPBPAP )(1)()(1 APBPAP )(1 )(1 BPAP ).()(BPAP 甲甲, 乙两人乙两人同时同时向敌人炮击向敌人炮击,已知甲击中已知甲击中敌机的概率为敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为乙击中敌机的概

43、率为0.5, 求敌机被击中的概率求敌机被击中的概率.解解设设 A= 甲击中敌机甲击中敌机 B= 乙击中敌机乙击中敌机 C=敌机被击中敌机被击中 .BAC 则则依题设依题设,5 . 0)(, 6 . 0)( BPAP例例1由于由于 甲，乙甲，乙同时同时射击，甲击中敌机并不影射击，甲击中敌机并不影响乙击中敌机的可能性，所以响乙击中敌机的可能性，所以 A与与B独立独立,进而进而.独独立立与与 BABAC BA )(1)(CPCP )()(1BPAP )(1)(11BPAP )5 . 01)(6 . 01(1 = 0.81. 三事件三事件两两两两相互独立的概念相互独立的概念(二二) 多个事件的独立性多

44、个事件的独立性定义定义.,),()()(),()()(),()()(,两两相互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 2. 三事件相互独立的概念三事件相互独立的概念定义定义1.10.,),()()()(),()()(),()()(),()()(,相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 设设 A1，A2 ， ，An为为n 个事件个事件，若对于任意若对于任意k(1kn), 及及 1i 1

45、i 2 i kn 3. n 个事件的独立性个事件的独立性定义定义 若事件若事件 A1，A2 ， ，An 中任意两个事件中任意两个事件相互独立，即对于一切相互独立，即对于一切 1 i j n, 有有)()()(jijiAPAPAAP .21两两两两相相互互独独立立，则则称称nAAA.12)11(1032个式子个式子共共nCCCCCnnnnnnnn 定义定义1.11)()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP 有有.21相相互互独独立立，则则称称nAAA注注. 相相互互独独立立nAAA,21两两两两相相互互独独立立nAAA,21设一个口袋里装有四张形状相同的卡设一个口袋里装有四张形

46、状相同的卡片片.在这四张卡片上依次标有下列各组在这四张卡片上依次标有下列各组数字：数字：110，101，011，000 从袋中任从袋中任取一张卡片，记取一张卡片，记1位上的数字为位上的数字为取到的卡片第取到的卡片第iAi 证明：证明：;,)1(321两两两两相相互互独独立立AAA.,)2(321不不相相互互独独立立AAA例例23 , 2 , 1i证证 (1)()(2142)(321APAPAP 41)(21 AAP)()(21APAP 41)(31 AAP)()(31APAP 41)(32 AAP)()(32APAP ;,321两两两两相相互互独独立立AAA )()2(321AAAP040 8

47、1)()()(321 APAPAP.,321不不相相互互独独立立AAA110，101，011，000.)2(,)2(,. 121个事件也是相互独立个事件也是相互独立其中任意其中任意则则相互独立相互独立若事件若事件nkknAAAn )( . ,)(,.运运算算封封闭闭独独立立性性关关于于个个事事件件仍仍相相互互独独立立所所得得的的立立事事件件们们的的对对中中任任意意多多个个事事件件换换成成它它则则将将相相互互独独立立个个事事件件若若nAAAnAAAnnn212122 两个结论两个结论n 个独立事件和的概率公式个独立事件和的概率公式:nAAA,21设设事件事件 相互独立相互独立, ,则则）nAAA

48、P211( )(121nAAAP )()()(nAPAPAP211也相互独立也相互独立nAAA,21即即 n个独立事件至少有一个发生的概率等于个独立事件至少有一个发生的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积减去各自对立事件概率的乘积.)(nAAAP21结论的应用结论的应用若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎假设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合病毒相互独立，混合100个人的血清，个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率求此血清中含有肝炎病毒的概率.解解毒毒个个人人的的血血清清含含有有肝肝炎炎病病第第记记iAi 则则0

49、04. 0)( iAP10021AAAB 例例3100肝肝炎炎病病毒毒个个人人的的混混合合血血清清中中含含有有 B100, 2 , 1i依题设，依题设，相相互互独独立立10021,AAA)()(10021AAAPBP )(110021AAAP )(110021AAAP )()()(110021APAPAP 1001)(11AP 100)004. 01(1 100)996. 0(1 33. 0 事件的独立性在事件的独立性在可靠性理论可靠性理论中的应用：中的应用：一个元件的可靠性一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率该元件正常工作的概率.一个系统的可靠性一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常由元件

50、组成的系统正常工作的概率工作的概率.设一个系统由设一个系统由3 个元件组成，每个元件的个元件组成，每个元件的可靠性均为可靠性均为 r，且各元件能否正常工作是，且各元件能否正常工作是相互独立的相互独立的.求下列两个系统求下列两个系统和和的可靠性；的可靠性；书例书例6第五节第五节 重复独立试验重复独立试验 二项概率公式二项概率公式1. 定义定义1.12 (独立试验序列独立试验序列) 设设Ei (i=1,2,)是一列随机试验是一列随机试验,Ei的样本空的样本空间为间为 i ,设设Ak 是是Ek 中的任一事件中的任一事件,Ak k , 若若Ak出出现现的概率都不依赖于其它各次试验的概率都不依赖于其它各

51、次试验Ei (i k)的结果的结果, 则称则称Ei 是是相互独立相互独立的随机试验序列试验序列,简称简称独立试独立试验验序列序列.则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n重贝努里试验，简称为重贝努里试验，简称为贝努里概型贝努里概型.若若n 次重复试验具有下列次重复试验具有下列特点：特点：2. n 重贝重贝努利努利(Bernoulli)试验试验1) 每次试验的可能结果只有两个每次试验的可能结果只有两个A 或或,ApAPpAP 1)(,)(且且2) 各次试验的结果相互独立，各次试验的结果相互独立，( 在各次试验中在各次试验中p是常数，保持不变）是常数，保持不变）实例实例1 抛一枚硬币观察得到正面或

52、反面抛一枚硬币观察得到正面或反面. 若将若将 硬币抛硬币抛 n 次次,就是就是n重伯努利试验重伯努利试验.实例实例2 抛一颗骰子抛一颗骰子n次次,观察是否观察是否 “出现出现 1 点点”, 就就是是 n重伯努利试验重伯努利试验.一般地，一般地，对于对于贝努里概型贝努里概型，有如下公式：，有如下公式：定理定理 如果在贝努里试验中，事件如果在贝努里试验中，事件A出现的出现的概率为概率为p (0p1), 则在则在n次试验中，次试验中，A恰好出现恰好出现 k 次的概率为：次的概率为：knkknnppCkP )1()()1;, 2, 1 , 0(pqnk knkknqpC . 1)(0 nknkP且且3

53、. 二项概率公式二项概率公式,发发生生的的次次数数重重伯伯努努利利试试验验中中事事件件表表示示若若AnX所有可能取的值为所有可能取的值为则则 X., 2, 1, 0n推导如下：推导如下：,)0(时时当当nkkX .次次次试验中发生了次试验中发生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次试验中发生次试验中发生在在得得knA,种种knC且两两互不相容且两两互不相容.称上式为称上式为二项分布二项分布. 记为记为).,(pnBX次次的的概概率率为为次次试试验验中中发发生生在在因因此此knAknkknppC )1(pq 1记记k

54、nkknqpC 经计算得经计算得.)4 , 3 , 2 , 1 , 0(,4,6,4,10道道题题的的概概率率问问能能碰碰对对试试于于是是随随意意填填写写道道题题不不会会做做有有道道题题生生仅仅会会做做今今有有一一考考其其中中一一个个为为正正确确答答案案可可供供选选择择的的答答案案个个每每道道选选择择题题有有道道选选择择题题设设某某考考卷卷上上有有 mm则则道题这一事实道题这一事实道题中碰对道题中碰对表示表示设设,4mBm31604341040040.)()()( CBP04804341343343.)()()( CBP例例5解解)4 , 3 , 2 , 1 , 0()43()41()(44

55、mCBPmmmm.3)2( ,3)1(5,5,%20件件次次品品的的概概率率至至多多有有概概率率件件次次品品的的恰恰好好有有件件样样品品中中计计算算这这件件样样品品共共取取进进行行重重复复抽抽样样检检查查的的次次品品一一批批产产品品有有则则表表示示至至多多有有件件次次品品件件次次品品件件件件件件有有件件样样品品中中恰恰好好分分别别表表示示设设,3,2,1,05,3210AAAAA3533538020 ).().()(CAPiiiiCAPAPAPAPAAAAPAP 5530321032108020).().()()()()()()(例例6解解,概概率率首首次次发发生生在在第第需需要要计计算算事事

56、件件在在贝贝努努利利试试验验中中，通通常常kA.,1,发生发生次次第第发生发生次均是次均是前前次次即试验总共进行了即试验总共进行了AkAkk ppAPAPAPBPAAAABiAkiABkkkkkkkik111121121 )()()()()(,),(,则则次试验中发生次试验中发生第第在在记事件记事件以以记这一事件记这一事件若以若以几何分布几何分布几何分布几何分布例例7.,1,次次打打开开门门的的概概率率求求该该人人在在第第的的概概率率被被选选中中即即每每次次以以开开门门他他随随机机地地选选取取一一把把钥钥匙匙打打开开这这个个门门其其中中仅仅有有一一把把能能把把钥钥匙匙他他共共有有一一个个人人开

57、开门门knn则则次次打打开开门门表表示示第第令令,kBk,)()(211111 knnBPkk解解练习题练习题伯恩斯坦反例伯恩斯坦反例 一个均匀的正四面体一个均匀的正四面体, 其第一面染成红色其第一面染成红色,第二面染成白色第二面染成白色 , 第三面染成黑色第三面染成黑色, 而第四面同而第四面同时染上红、白、黑三种颜色时染上红、白、黑三种颜色.现以现以 A , B, C 分别分别记投一次四面体出现红记投一次四面体出现红, 白白, 黑颜色朝下的事件黑颜色朝下的事件, 问问 A,B,C是否相互独立是否相互独立?解解由于在四面体中红由于在四面体中红, 白白, 黑分别出现两面黑分别出现两面, 因此因此

58、,21)()()( CPBPAP又由题意知又由题意知例例1,41)()()( ACPBCPABP故有故有因此因此 A、B、C 不相互独立不相互独立. ,41)()()(,41)()()(,41)()()(CPAPACPCPBPBCPBPAPABP则三事件则三事件 A, B, C 两两独立两两独立.由于由于41)( ABCP),()()(81CPBPAP 设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是0.2,若若10名机枪射击手同时向一架飞机射击名机枪射击手同时向一架飞机射击,问击问击落飞机的概率是多少落飞机的概率是多少?射击问题射击问题例例2解解,名射手击落飞机名射手

59、击落飞机第第为为设事件设事件iAi事件事件 B 为为“击落飞机击落飞机”, ,1021AAAB 则则.10, 2 , 1 i)()(1021AAAPBP )(11021AAAP )()()(11021APAPAP .893. 0)8 . 0(110 )(11021AAAP 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人三人击中的概率分别为击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中飞机被一人击中而被击落的概率为而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概被两人击中而被击落的概率为率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落若三人都击中飞机必定被击

60、落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.解解 ,个个人人击击中中敌敌机机表表示示有有设设iAiA, B, C 分别表示甲、乙、丙击中敌机分别表示甲、乙、丙击中敌机 , ,1CBACBACBAA 由于由于, 7 . 0)(, 5 . 0)(, 4 . 0)( CPBPAP则则例例3)()()()()()()()()()(1CPBPAPCPBPAPCPBPAPAP 故故得得7 . 05 . 06 . 03 . 05 . 06 . 03 . 05 . 04 . 0 .36. 0 ,2BCACBACABA 因为因为)()()()()()()()()(CPBPAPCPBPAPCPBPAP .41.