西安交大西工大 考研备考期末复习工程数学复变函数 解析函数

1、复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）复变函数复变函数1 1 解析函数的概念解析函数的概念一一. .复变函数的导数与微分复变函数的导数与微分1.1.导数的定义导数的定义存在，则称函数存在，则称函数f (z)在在z0处可导，称该极限值为处可导，称该极限值为f (z)在在z0处的导数，记作处的导数，记作zzfzzfz)()(lim000定义定义 设函数设函数w=f (z)定义于区域定义于区域D，Z0为为D中的一点，中的一点，点点z0+z不出不出D 的范围，如果极限的范围，如果极限zzfzzfdzdzfzzz)()(lim)(00000如果如果w=f(z)在区域在区域D内处处可导，则称内处处可

2、导，则称f (z)在区域在区域D内可导内可导。复变函数复变函数例1 求 的导数 2zzf yixzfzzf2)2 11 2）讨论下列函数是否可导例z221z 外处处可导在复平面上除01. 1zzzf2.实部、虚部都可导的复变函数不一定可导。【注注】复变函数复变函数2.2.可导与连续可导与连续连续的复变函数不一定可导连续的复变函数不一定可导结论：结论：可导的复变函数一定连续可导的复变函数一定连续复变函数复变函数3.3.求导法则求导法则)()()()( (a)zgzfzgzf)()()()()()( (b)zgzfzgzfzgzf0)( )()()()()()()( (c)2zgzgzgzfzgz

3、fzgzf).( ),()()( (d)zgwzgwfzgf其中复变函数复变函数 Nnnzzgccfwwzzfwwzfnn )( 0 )(0)()()( ,)(1)( (e)1为复常数其中函数且两个互为反函数的单值是与其中复变函数与实函数具有同样的求导法则复变函数与实函数具有同样的求导法则.0)()()()(10处可导点外）处在复平面上（除分母为导；在整个复平面上处处可zQzPzRzazaazPnn复变函数复变函数)( 11)5()(22zfzzzzf，求求已已知知 例例3解解22)1(1)52)(5(2)( zzzzzf例例4 4 讨论讨论2)(zzfw例例5 证明证明 f (z)=zRez

4、只在只在z=0处才可导。处才可导。复变函数复变函数4.4.微分微分 00000 ,)( zzdzdwzfdzzfdwzzfzzfw即有可微在函数的微分存在，则称在若函数可导可导 可微可微函数函数f(z)在区域在区域D内处处可微，则称内处处可微，则称f(z)在在D内可微内可微zzzzfzfzzfw)()()()(000复变函数复变函数二二. . 解析函数的概念解析函数的概念定义定义 如果函数如果函数w=f (z)在在z0及及z0的某个邻域内处处的某个邻域内处处 可导，则称可导，则称f (z)在在z0解析；解析； 如果如果f (z)在区域在区域D内每一点都解析，则称内每一点都解析，则称 f (z)

5、在在D内解析，或称内解析，或称f (z)是是D内的解析函数内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。全纯函数或正则函数）。如果如果f (z)在点在点z0不解析，就称不解析，就称z0是是f (z)的的奇点奇点。A (1) w=f (z) 在在 D 内解析内解析 在在D内可导。内可导。 (2) 函数函数f (z)在在 z0 点可导，未必在点可导，未必在z0解析。解析。复变函数复变函数 zz) hyixz) g zz) f223221 的解析性研究例zzf1 7 的的奇奇点点是是外外的的复复平平面面上上处处处处解解析析在在除除zfzzzf00 例例6 6、 研究下列函数的解析性研究下列函数的解析性复变函

6、数复变函数.)0()()()()(10的的解解析析函函数数点点外外除除分分母母为为是是复复平平面面上上函函数数；是是整整个个复复平平面面上上的的解解析析由由以以上上讨讨论论zQzPzRzazaazPnn定理定理 2 设设 w=f (h) 在在 h 平面上的区域平面上的区域 G 内解析内解析, h=g(z) 在在 z 平面上的区域平面上的区域 D 内解析内解析, h=g(z)的函数值的函数值集合集合 G，则复合函数，则复合函数w=f g(z)在在D内处处解析。内处处解析。 定理定理1 设设w=f (z)及及w=g(z)是区域是区域D内的解析函数，内的解析函数，则则 f (z)g(z)，f (z)

7、g(z) 及及 f (z) g(z) (g (z)0时时)均是均是D内的解析函数。内的解析函数。复变函数复变函数2 2 函数解析的充要条件函数解析的充要条件2 , 1, 0lim ,).10021kyxyBxAyxuyyxxuzyxyxuzkyx其中点可微在yyzxxzdzyzxzyxyxyxuz必定存在，且点的偏导数则函数在点可微在） ,.2关于二元实函数的全微分关于二元实函数的全微分高等数学（下）高等数学（下）P71高等数学（下）高等数学（下）P72复变函数复变函数定理一定理一 设函数设函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)定义在区定义在区域域D内，则内，则f(z)在在D内一点内一点z

8、=x+iy可导的充要可导的充要条件是：条件是：u(x,y)与与v(x,y)在点在点(x,y)可微，并且可微，并且在该点满足在该点满足柯西柯西黎曼方程黎曼方程xvyuyvxu,复变函数复变函数注：注： 满足柯西黎曼方程处可微在点yxyxvyxu,. 1 yuiyvxvixuzf给出了求导公式：. 2复变函数复变函数定理定理2 函数函数f (z)=u(x, y)+iv(x, y)在在D内解析充要内解析充要 条件是条件是 u(x, y) 和和 v(x, y)在在D内内可微，且可微，且 满足满足Cauchy-Riemann方程方程yuxvyvxu 注：注：1.1.是否满足柯西黎曼方程是否满足柯西黎曼方

9、程2.2.是否具有一阶连续偏导数。是否具有一阶连续偏导数。可微在点连续，则在点的偏导数若yxyxuyxyuxuyxu,高等数学（下）高等数学（下）P72复变函数复变函数使用时使用时: i) 判别判别 u(x, y)，v (x, y) 偏导数的连续性，偏导数的连续性， ii) 验证验证C-R条件条件.iii) 求导数求导数：yvyuixvixuzf 1)( 复变函数复变函数2)3( )sin(cos)()2(;)1(zwyiyezfzwx ；例例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：判定下列函数在何处可导，在何处解析： 处处解析？处处解析？取何值时，在复平面内取何值时，在复平面内常数常数问问，设设例例dcbaydxycxibyaxyxzf, . 22222例例3 求证函数求证函数.0),(),( 2222dzdwiyxzyxyiyxxyxivyxuw处解析，并求处解析，并求在在复变函数复变函数 内为一常数。内为一常数。在在内处处为零，则内处处为零，则在区域在区域证明：若证明：若例例DzfDzf . 4 内解析；内解析；在在内是常数。内是常数。在在满足下列条件，则满足下列条件，则内解析，且内解