西安交大西工大 考研备考期末复习工程数学复变函数 复数与复变函数概念

1、复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）4 4 区区 域域5 5 复变函数复变函数第一章 复数与复变函数6 6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性复变函数复变函数课前复习课前复习1.复数的概念2.复数的代数运算3.复数的几何表示4.复数的乘幂与方根复变函数复变函数引子引子 . ),( , R : ,R DxxfyDDfD 通常记为通常记为上的函数上的函数在在为定义为定义则称映射则称映射设数集设数集 . , , , fDDyx记作记作域域称为定义称为定义称为因变量称为因变量称为自变量称为自变量其中其中函数函数( (function)function)的定义的定义构成函数的两要素构成

2、函数的两要素: : . fDf和对应法则和对应法则定义域定义域复变函数复变函数4 4 区区 域域一一. .平面点集的几个基本概念平面点集的几个基本概念的邻域的集合称为内部的点为半径的圆为中心，平面上以000zzzz1.1.邻域邻域的去心邻域确定的点集称为由不等式000zzz2.2.内点内点的内点。为，则称有点都属于一个邻域，该邻域内所的中任意一点，若存在为为一平面点集，设GzGzGzG000为开集。点，则称内的每个点都是它的内若GG复变函数复变函数3.3.边界点边界点 设G为点集，z0为平面中的一点。若在点z0的任意一个邻域内，既有属于G的点，也有不属于G的点，则称点z0为G的边界点。全部边界

3、点称为G的边界复变函数复变函数4.4.区域区域 若平面点集G满足 G是开集； G是连通的； 则称G为区域区域G加上它的边界C称为闭区域或闭域，记为G复变函数复变函数5.5.有界，无界有界，无界 如果区域G可以包含在一个以原点为中心的圆内，则称区域G是有界的，否则称区域G是无界的。Grzzr的所有点构成的区域满足例201. 1 4arg031Im021Re01 . 2zzz例Mz复变函数复变函数)( )()(ttiytxz令 设x(t)及y(t)是两个在闭区间,上连续的实函数，则由方程组)( )()(ttyytxx所决定的点集C，称为z平面上的一条连续曲线。二二. .单连通域与多连通域单连通域与

4、多连通域1.1.连续曲线连续曲线)(tzz 复数表达式复数表达式参数表达式参数表达式复变函数复变函数2.2.光滑曲线光滑曲线 设曲线C的参数方程为:又在t上，x(t)和y(t)连续且则C称为光滑曲线。)( )()(ttiytxz0)()(22tytx 由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线。复变函数复变函数3.3.简单曲线简单曲线 没有重点的连续曲线称为简单曲线，或约当曲线。 对于曲线C:z=z(t) 其中t， z()，z()称为曲线的起点、终点；复变函数复变函数说明：说明： 1.简单曲线自身不会相交；2.简单闭曲线把整个复平面唯一的分成 三个互不相交的点集的外部的内部CCC复变

5、函数复变函数定义定义：设G为复平面上的区域，若在G内的任意简单闭曲线，其内部仍全含于G，则称G为单连通区域；非单连通的区域称为多连通区域复变函数复变函数说明：说明： 1.简单闭曲线内部都是单连通域；2.单连通区域与复连通区域的本质区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点；连续变形连续变形：变形时不能通过不属于D的区域复变函数复变函数三三. .用复数表达式表示常见区域用复数表达式表示常见区域1.1.单位圆内部单位圆内部1z2.2.圆环域圆环域的实数都是大于，其中021201rrrzzr3.3.带状区域带状区域 2121ImReyzyxzx4.4.角形域角形域21argz5.5.上半平面上半

6、平面 0Imz6.6.左半平面左半平面 0Rez复变函数复变函数5 5 复变函数复变函数 定义定义设在复平面上有点集设在复平面上有点集D。若对于。若对于D内每一点内每一点z，按照某一法则，有确定的复数按照某一法则，有确定的复数w与之对应，则称这种对与之对应，则称这种对应关系是应关系是z的的复变函数复变函数，记作，记作w=f (z)；称；称w是是z在函数在函数f 下的像。下的像。 若若z的一个值对应着的一个值对应着w的一个值，则称的一个值，则称f (z)为为单值单值函数函数；若；若z的一个值对应着的一个值对应着w的几个或无穷多个值，的几个或无穷多个值，则称则称f (z)为为多值函数多值函数。一一

7、.复变函数的定义复变函数的定义复变函数复变函数 用用z平面上的点表示自变量平面上的点表示自变量z的值；用的值；用w平面上的点平面上的点表示函数表示函数w的值。函数的值。函数w=f (z)在几何上可以看在几何上可以看w作把作把z平面上的点集平面上的点集G变到变到w平面上的一个点集平面上的一个点集G*的映射，的映射，简称为由函数简称为由函数w=f (z)所构成的映射。所构成的映射。二二. .映射映射【注】2.2.一个复变函数对应着两个二元实变函数一个复变函数对应着两个二元实变函数1.1.复数集与复数集之间的对应关系复数集与复数集之间的对应关系 ,uu x ywf zvv x y复变函数复变函数在几

8、何上，在几何上， w=f(z)可以看作可以看作：).() (*)(变变换换平平面面）的的映映射射平平面面wGwzGzzfw 定义域定义域函数值集合函数值集合的的原原象象。称称为为，而而映映象象的的象象点点为为称称wzzw)(oxy(z)ouv(w)GG*w=f(z)zw=f(z)w复变函数复变函数.所所构构成成的的映映射射研研究究zw 例例1关于实轴对称的一个映射关于实轴对称的一个映射oxy(z)uv(w)o设函数 ; u=x , v=-yzxiy复变函数复变函数.2所构成的映射所构成的映射研究研究zw 例例2设函数设函数 w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u

9、= x2y2, v = 2xyoxy(z)ouv(w) 2 2zw oxy(z)ouv(w)R=2R=43 422 yx2zw 2zw 2zw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv123121ziziz 1231341wwiw xyOuvOz1z2w2z3w3w1复变函数复变函数 函数 w=z2 对应于两个二元实变函数: u=x2y2, v=2xy 把 z 平面上的两族双曲线 x2y2 = c1 , 2xy = c2 分别映 射成w平面上的两族平行直线 u=c1 , v=c2 .10111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010复变函数复变

10、函数)1 , 0(22 kezzwk为多值函数为多值函数,2支支.例例 设设 z=w2 则称则称 为为z=w2的反函数或逆映射的反函数或逆映射zw 定义定义 设设 w =f (z) 的定义集合为的定义集合为G,函数值集合为函数值集合为G*Gz *)(Gwzfw *Gw )()(wzGz 或或几几个个一一个个则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.三三. .反函数反函数GzzfzGwwfw )()(* 当反函数单值时当反函数单值时显然有显然有)(zfz 一一般般复变函数复变函数是一一对应的。是一一对应的。与集合与集合是一一的。也称集合是一一的。也称集合映射映射都是单

11、值的，则称函数都是单值的，则称函数逆映射逆映射和其反函数和其反函数映射映射当函数当函数 GGzfwwzzfw)()()()()()( 例例4?1:,122平面上怎样的曲线平面上怎样的曲线映射成映射成被被平面上的曲线平面上的曲线判断判断已知映射已知映射wyxzzw ?8:122zwyxC11zxiywuiv2222,vuvyvuux81:22vu复变函数复变函数6 6 复变函数的极限和连续性复变函数的极限和连续性引子引子1 1：一元实函数的极限：一元实函数的极限. ) ( )( )(lim , )( ,)( )( , 0 , , ) ( , . )( 00000 xxAxfAxfxxxfAAxf

12、xfxxxAxxfxx 当当或或记作记作的极限的极限当当数数就叫做函就叫做函那么常数那么常数满足不等式满足不等式都都对应的函数值对应的函数值时时不等式不等式满足满足使得当使得当总存在正数总存在正数不论它多么小不论它多么小对于任意给定的正数对于任意给定的正数如果存在常数如果存在常数定义定义的某一去心邻域内有的某一去心邻域内有在在设函数设函数 定义定义复变函数复变函数一一. .复变函数的极限复变函数的极限 定义定义设复变函数w=f (z)在z0的去心邻域 内有定义。如果存在常数A，对于任意给定的正数，相应地必有一正数() (0),使得当 时有 Azf)(00zz00zz 那么称A为函数f (z)当

13、z趋于z0时的极限，记作 或记作当zz0时，f (z)AAzfzz)(lim0【注】 1）去心邻域2）强调过程复变函数复变函数几何意义几何意义: : 0lim( )zzAf z意味着：0( )zzf z当 从平面上任一方向、沿任何路径、以任意方式趋近于 时，均以A为极限。xyOz0zOuvAf(z)(zfw 若在的极限存在，则此极限唯一( )f z0z复变函数复变函数0 xx0),(lim ,),(lim0000vyxvuyxuyyyyxx定理一定理一 设w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y), A=u0+iv0， z0=x0+iy0,则 的充要条件是Azfzz)(lim01.利用复数的

14、模的概念与实数建立联系【注】：2.将求复变函数的极限问题转化为求两个二元 实变函数的极限的问题。 复变函数复变函数定理二定理二如果那么,)(lim,)(lim00BzgAzfzzzz;)()(lim0BAzgzfzz (1);)()(lim0ABzgzfzz (2).0( )()(lim0BBAzgzfzz (3)复变函数复变函数例例1.)(22在平面上处处有极限在平面上处处有极限证明证明yxiyxw 在平面上处处有极限在平面上处处有极限22,yxyx 例例2.0)(时的极限时的极限在在求求 zzzzzzf.)0 , 0()(2)(2222处极限不存在处极限不存在在在yxyxzf 例例3.0R

15、e)(时的极限不存在时的极限不存在在在证明证明 zzzzf复变函数复变函数二二. .函数的连续性函数的连续性 定义定义若 ，则称函数w=f(z)在点z0处是连续的；若w=f (z)在区域D内处处连续，则称w=f (z)在区域D内是连续的。)()(lim00zfzfzz 定理三定理三函数w=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在点z0= x0+ iy0处连续的充要条件是：u(x,y)和v(x,y)都在点(x0, y0)处连续。【注】：连续与极限的区别复变函数复变函数定理四定理四1）在z0连续的两个函数的和、差、积、商(分母在z0不为零)在z0仍连续； 处连续。在连续，那么复合函数在连续，函数在如果函数 )2 0000zzgfzghhfzzgh【判别函数是否连续的方法】.0)()()()(10点外处处连续点外处处连续在复平面内除分母为在复平面内除分母为的；的；在整个复平面内是连续在整个复平面内是连续由以上讨论由以上讨论zQzPzRzazaa