西安交大西工大 考研备考期末复习 工程数学复变函数 复数与复变函数

1、复变函数复变函数工程数学（二）工程数学（二）复 变 函 数复变函数复变函数复变函数论的背景复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的，复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的，但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接得不清楚，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的受的“虚数虚数”。直到十八世纪达朗贝尔、欧拉等人。直到十八世纪达朗贝尔、欧拉等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了复统的复数理论，从而使人们终于接受并理解了

2、复数数 ，复变函数论才能顺利建立和发展。，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数复变函数 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕柯西要是围绕柯西 、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进、魏尔斯特拉斯和黎曼三人的工作进行的。行的。 到到二十二十世纪，复变函数论世纪，复变函数论已成为已成为数学的重要分数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学（如空气动力学、流体力学、一门学科，在自然科学（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如电学、热学、理论物理等

3、）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用函数论都有着重要应用。 复变函数复变函数课程简介研究对象研究对象复变函数（自变量为复数的函数）复变函数（自变量为复数的函数）主要任务主要任务研究复变数之间的相互依赖关系，研究复变数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分。具体地就是复数域上的微积分。主要内容主要内容复变函数的积分、级数、留数等。复变函数的积分、级数、留数等。复数与复变函数、解析函数、复数与复变函数、解析函数、复变函数复变函数学习方法 复变函数中许多概念、理论和方法是复变函数中许多概念、理论和方

4、法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处。但又有不同之处，在学间有许多相似之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。上特有的那些性质与结果。复变函数复变函数1 复数及其代数运算2 复数几何表示第一章 复数与复变函数3 复数的乘幂与方根复变函数复变函数1 1 复数及其代数运算复数及其代数运算一.复数的概念说明：说明：2）两个复数相等实部、虚部分别相等3）一般,任意两个复数不能比较大小。0,0,0 xyy1）. 若 若，则复数为纯虚数则复数为实数 Rexz I

5、myz复数复数 形如z=x+iy 的数，称为复数复变函数复变函数二.复数的代数运算1.1.加减乘除加减乘除)(221121iyxiyxzz)()(21212121xyyxiyyxx12122112122222x xy yi x yx yzzxy)()(212121yyixxzz复变函数复变函数2.2.复数的运算法则复数的运算法则12211221,zzzzzzzz(交换律)321321321321)()()()(zzzzzzzzzzzz(结合律)(分配律)()(3121321zzzzzzz复变函数复变函数 称实部相同而虚部为相反数的两个 数x+iy和x-iy为共轭复数。3.3.共轭复数共轭复数

6、与z=x+iy共轭的复数记为 ，即ziyxiyx复变函数复变函数; (1)2121zzzz;zz (2)2121zz1212(4) z zzzzz；0);(z zz (3)22121zz复变函数复变函数 22(5) zzReIm;zz. )Im(2 , )Re(2z (6)zizz-zz复数转化复数转化为实数为实数复变函数复变函数131.1iii例 求1112221212122. , 2Re()zxiy zxiyzzzzzz例 求证：复变函数复变函数2 2 复数几何表示复数几何表示复数 复平面上的点数z 点z1.1.复数的模复数的模22zrxy,xzyzzxy2z zzP复变函数复变函数1z2

7、z12121212zzzzzzzz2）复数的加减运算与相应向量的运算一致1）复数可以表示为向量复变函数复变函数2.2.复数的辐角复数的辐角Argz说明：1) 0z 若z=0，则辐角不定2 tantanyyArgzxx），即3) 多值性2Argzk0z 4) 把满足 的辐角称为辐角主值 记为arg z复变函数复变函数argarctanyzxargarctanyzxargarctanyzxargarctanyzx复变函数复变函数arctanarctanargarctanarctanyxyxzyxyx当x在第一象限当x在第二象限当x在第三象限当x在第四象限, 022argz当z在正y轴上当z在负y轴

8、上当z在正x轴上当z在负x轴上复变函数复变函数3.3.复数的表达形式复数的表达形式cos , sinxryrcossinzriarg , z zr令三角表达式三角表达式izre指数表达式指数表达式说明：说明：cossin izrire复变函数复变函数例例1 1. .将下列复数写为三角表达式与指数表达式将下列复数写为三角表达式与指数表达式1)1222)sincos553)1 cossin0zizizi 例例2.2.求证求证1212zzzz说明：说明：证明时遇到 的问题，首先考虑z2zz z 2Rez zzzz复变函数复变函数例例3 3. .求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线1)22)2

9、23)Im4ziziziz复变函数复变函数3 3 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根一一. .复数的乘积与商复数的乘积与商定理一：定理一：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积；两个复数乘积的模等于它们的模的乘积； 两个复数乘积的幅角等于它们的幅角的和。两个复数乘积的幅角等于它们的幅角的和。 121212121 2zzzzArg zzArgzArgz复变函数复变函数1212arg zzargzargz112111122) cossin nnknnnkinzr rrir rr e注：注：1）3）几何解释复变函数复变函数定理二定理二 两个复数的商的模等于它们模的商；两个复数的商的幅角等于被除数与除数的幅角的差。例例1.1.一个复数乘以-i，它的辐角、模如何变化？对于 ，有10z 2211zzzz复变函数复变函数二二. .复数的幂与根复数的幂与根1.幂n个相同的复数z的乘积称为z的n次幂，记作nz则设 ),sin(cosirreziinnnnerninrz)sin(cos注：注：1) 1 cossinnzznin时，棣莫弗公式2）若定义1nnzzcossinnnzrnin复变函数复变函数2.根nz当 时，方程有n个不同的根，我们把每个这样的根称为z的n次根0z nz结论：结论：方程 有n个相异的根22cossinnk