西工大最优控制课程第2章 连续系统最优控制-2-有终端函数约束

1、1 1终端函数约束的两个物理背景终端函数约束的两个物理背景0),()(),),(),()(. .),(),(),(min000ffttffuttxNxtxttutxftxtsdtttutxttxJf将约束优化问题化为无约束优化问题（引入拉格朗日算子）将约束优化问题化为无约束优化问题（引入拉格朗日算子）fttTTffTffudttxttutxfttutxttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(),(min2 2连续系统终端函数约束情况的泛函求极值问连续系统终端函数约束情况的泛函求极值问题题t0,tft0,tf固定时固定时连续系统最优控制终端函数约束情况令令Hamilton函数函数ft

2、ttutxHT),(),(),(则泛函求极值问题写为则泛函求极值问题写为ffttTffTffttTTffTffudttxttttutxHttxNttxdttxttutxfttutxttxNttxJ00)()(),(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(min连续系统最优控制终端函数约束情况0J首先对上式右边第一项、第二项取一次变分首先对上式右边第一项、第二项取一次变分),(ffttxftTfxx)(),(ffTttxN的一次变分的一次变分ftTTfxNx)( 泛函极值存在必要条件泛函极值存在必要条件0JfttTffTffudttxttttutxHttxNttxJ0)(

3、)(),(),(),(),(),(min的一次变分的一次变分连续系统最优控制终端函数约束情况然后求取积分项然后求取积分项fttTdttxttttutxH0)()(),(),(),(连续系统最优控制终端函数约束情况fffttTttTtTfdtuHudttxHxtx00)()()()()(的一次变分的一次变分直接应用直接应用第一节的结论第一节的结论，积分项的一次变分为，积分项的一次变分为 10)(y),(y,(minyxxdxxxxFJ0)y()()y(100 xxyTttyyTFdxFdxdFf 10) ()(xxyTyTdxFyFyJ 目标函数目标函数fttTffTffudttxtttutxH

4、ttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(min的一次变分为各部分一次变分之和的一次变分为各部分一次变分之和 ffffttTTtTftTTftTfdtuHutxHxtxxNxxxJ0)()()()()()()(连续系统最优控制终端函数约束情况整理，合并同类项，得到整理，合并同类项，得到ffttTTtTTfdtuHutxHxtxNxxJ0)()()()()(连续系统最优控制终端函数约束情况借用第一章中的推论借用第一章中的推论1 1与推论与推论2 2连续系统终时不指定情况下泛函极值存在的必要条件为连续系统终时不指定情况下泛函极值存在的必要条件为0)()(ftTTftxNxx0)()()(

5、uHutxHxTT0J泛函极值存在必要条件泛函极值存在必要条件连续系统最优控制终端函数约束情况0)()(ftTTftxNxxftTfxNxt)(0)()()(uHutxHxTT0,)(uHxHt连续系统最优控制终端函数约束情况端函数）（终（状态方程）（耦合方程）伴随方程）（横截条件）0),()(,),(0)()(00fftTfttxNxtxHtuxfxuHxHtxNxtf连续系统最优控制终端函数约束情况0)0(,0)0(,0)0(,33232121 xuxxxxxxx1)1()1(2221 xx 10221mindtuJu使该系统由上述初态转移到终端函数 ，目标为 。列出两点边值问题。dtxt

6、uxtxxtxtu2111x1xJ1033232121222211u )()()()()()(min令)()()()(21332212tutxtxtuH 则)()()()(21332212tutxtxtuH 231210 xH3300 uuuH 011x211x210 xN32211tTf)()()()()(由 得：协态方程协态方程耦合方程耦合方程横截条件横截条件0)0(,0)0(,0)0(,33232121 xuxxxxxxx1)1()1(2221 xx状态方程终端约束共六个微分方程，一个代数方程，三个初值条件，四个共六个微分方程，一个代数方程，三个初值条件，四个终值条件终值条件1 1终时不

7、指定情况的两个物理背景终时不指定情况的两个物理背景卫星发射从停泊轨道到过渡轨道卫星发射从停泊轨道到过渡轨道宇航飞船从地球轨道到火星轨道宇航飞船从地球轨道到火星轨道连续系统最优控制终时不指定情况0),()(),),(),()(. .),(),(),(min000ffttffuttxNxtxttutxftxtsdtttutxttxJf将约束优化问题化为无约束优化问题（引入拉格朗日算子）将约束优化问题化为无约束优化问题（引入拉格朗日算子）fttTTffTffudttxttutxfttutxttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(),(min连续系统最优控制终时不指定情况2 2连续系统终时

8、不指定情况的泛函求极值问题连续系统终时不指定情况的泛函求极值问题令令Hamilton函数函数ftttutxHT),(),(),(则泛函求极值问题写为则泛函求极值问题写为ffttTffTffttTTffTffudttxttttutxHttxNttxdttxttutxfttutxttxNttxJ00)()(),(),(),(),(),()(),(),(),(),(),(),(min连续系统最优控制终时不指定情况0J首先对上式右边第一项、第二项取一次变分首先对上式右边第一项、第二项取一次变分),(ffttxfftTfttxxf)(),(ffTttxN的一次变分的一次变分ffTtTTfttNxNxf)

9、( 泛函极值存在必要条件泛函极值存在必要条件0JfttTffTffudttxttttutxHttxNttxJ0)()(),(),(),(),(),(min的一次变分的一次变分连续系统最优控制终时不指定情况10),(minxxydxyyxFJ其中：其中：),(00yx固定固定1x不指定101111)()() (xxyyTxyTxyTdxFdxdFyFyxFyFJ然后求取积分项的一次变分然后求取积分项的一次变分fttTdttxttttutxH0)()(),(),(),(泛函的一次变分为：泛函的一次变分为：连续系统最优控制终时不指定情况（采用类比推广的方法）（采用类比推广的方法）第一次类比推广第一次

10、类比推广第一章中端点不固定情况泛函求极值第一章中端点不固定情况泛函求极值若有泛函求极值若有泛函求极值fttudtttutxtutxFJ0),(),(),(),(min其中：其中：),(00 xt固定固定ft不指定不指定 10),(minxxydxyyxFJ其中：其中：),(00yx固定固定1x不指定10),(minxxydxyyxFJ101111)()() (xxyyTxyTxyTdxFdxdFyFyxFyFJfffffttuuTttxxTtuTftxTfftuTxTdtFdtdFudtFdtdFxFuFxtFuFxFJ00)()()()()(fttudtttutxtutxFJ0),(),()

11、,(),(minfffffttuuTttxxTtuTftxTfftuTxTdtFdtdFudtFdtdFxFuFxtFuFxF00)()()()()(fttdtttutxtutxF0),(),(),(),(fttTdttxtttutxH0)(),(),(),(ffffttTttTtTfftTTdtuHudttxHxtxttxttxtH00)()()()()()()()()( 第二次类比推广第二次类比推广两式的一次变分如下两式的一次变分如下ffffttTttTtTfftTTdtuHudttxHxtxttxttxtH00)()()()()()()()()( 终时不指定情况目标泛函中积分项的一次变分

12、为终时不指定情况目标泛函中积分项的一次变分为fffttTTtTfftdtuHutxHxtxtH0)()()()()(ffttTTtTffffffdtuHutxHxtxttttutxH0)()()()()(),(),(),(目标函数目标函数fttTffTffudttxtttutxHttxNttxJ0)(),(),(),(),(),(min的一次变分为各部分一次变分之和的一次变分为各部分一次变分之和 ffffttTTtTffffffffTtTTffftTfdtuHutxHxtxttttutxHttNxNxttxxJ0)()()()()(),(),(),()()(整理，合并同类项，得到整理，合并同类

13、项，得到ffttTTffTffffftTTfdtuHutxHxttNttttutxHtxNxxJ0)()()(),(),(),()()(借用第一章中的推论借用第一章中的推论1 1与推论与推论2 2连续系统终时不指定情况下泛函极值存在的必要条件为连续系统终时不指定情况下泛函极值存在的必要条件为0)()(ftTTftxNxx0),(),(),(ffTfffffttNttttutxH0)()()(uHutxHxTT0J泛函极值存在必要条件泛函极值存在必要条件0)()( ftTTftxNxx ftTfxNxt)(0),(),(),(ffTfffffttNttttutxH0),(),(),(fTffff

14、ftNttttutxH0)()()(uHutxHxTT0,)(uHxHt 端函数）端函数）（终（终（状态方程）（状态方程）（耦合方程）（耦合方程）伴随方程）伴随方程）（横截条件）（横截条件）0),()(,),(0)(0),(),(),()(00fffTffffftTfttxNxtxHtuxfxuHxHttNttttutxHxNxtf 5 5例题例题泛函求极值泛函求极值任意任意不指定不指定 )(, 0)(0)0(,1)0(,2.,21min212212102ffftfutxtxxuxxxxtstdtutJf解：令解：令Hamilton函数为函数为协态方程为协态方程为uxuH2212221 121

15、221120 xHxH横截条件横截条件0)(, 0)(0)0(, 1)0(22222121 ftffxNxttxxx 耦合方程为耦合方程为02 002 uuH0)()(0 fttTTtxNxx 01)()()()(2)(212212 ffffftuttxttu 0),(),(),( fTffffftNttttutxH 解耦合方程得解耦合方程得 212111212211220ctccxHxH 2122ctcu 解协态方程解协态方程 得得 ,2221uxxx 代入状态方程代入状态方程 并积分并积分 4322313221213221212232)(2)(2)()2()()(ctctctcdtctct

16、cdttxtxctctcdtctcdttutx 4322313221213221212232)(2)(2)()2()()(ctctctcdtctctcdttxtxctctcdtctcdttutx 0)0(, 1)0(21 xx代入条件代入条件 1, 043 cc得得 01)()()()(2)(212212 ffffftuttxttu 根据横截条件根据横截条件11c 32212)(ctctctx 01)(22221 fftctcc0)(2 ft 2 u01)()(221 fftxt 132)(22311 tctctx01)(22221 fftctcc0)(1 ftx01322231 fftctc

17、02)(212 ctctff 69. 0,41. 1,03. 112 cctf41. 169. 0)(141. 146. 0)(41. 137. 12)( 2223121 ttxtttxtctctu S1=dsolve(Dx1=2*x2,Dx2=-lambda2,Dlambda1=0,Dlambda2=-2*lambda1,. x1(0)=1,x2(0)=0,x1(tf)=0,lambda2(tf)=0) % 解解 TPBVP t=tf; % 字符传递字符传递 eq=2*(S1.lambda1)*(subs(S1.x2)+1; S2=solve(eq,tf) % 解符号代数方程解符号代数方程,

18、默认默认eq=0 tf=S2(1) % 从从S2中取出第中取出第1行第行第1列列 clear t % 撤消字符传递撤消字符传递 x1=subs(S1.x1) % 代入代入tf值值,x1为符号变量为符号变量 x2=subs(S1.x2) % 代入代入tf值值,x2为符号变量为符号变量 lambda1=subs(S1.lambda1) % 代入代入tf值值,lambda1为符号变量为符号变量lambda2=subs(S1.lambda2) % 代入代入tf值值,lambda2为符号变量为符号变量 1 1、积分约束、积分约束 ffttttffuconstKdtttutxwxtxttutxftxtsd

19、tttutxttxJ00),(),()(),),(),()(.),(),(),(min00 式中式中 对对x x及及t t的偏导数连续，的偏导数连续，;,mnRuRx w固定固定和和f0tt fttconstKdtttutxw0),(),(Ktxtxttutxwtxfnn )(0)(),),(),()(101n1则则令令因此因此 KtxtxttutxwtxxtxttutxftxtsdtttutxttxJfnnnttffuf)(, 0)(),),(),()()(),),(),()(.),(),(),(min1011000 2、状态和控制的等式约束、状态和控制的等式约束 0),(),()(),),

20、(),()(.),(),(),(min000ttutxwxtxttutxftxtsdtttutxttxJfttffu 式中式中 对对x x及及t t的偏导数连续，的偏导数连续，;,mnRuRx w固定固定和和f0ttdtttutxwttxttutxftttutxttxJTTttffuf),(),()()(),(),()(),(),(),(min0 3、状态和控制的不等式约束、状态和控制的不等式约束 0),(),()(),),(),()(.),(),(),(min000ttutxsxtxttutxftxtsdtttutxttxJfttffu 式中式中 对对x x及及t t的偏导数连续，的偏导数连续，;,mnRuR