黑龙江省绥化市安达高中高二上学期期中数学试卷文科

1、黑龙江省绥化市安达高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2（5分）过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=8，那么|AB|=（）A6B8C9D103（5分）设抛物线的方程为y=4x2，则其准线方程为（）ABx=1CDy=14（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：A、B为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x

2、+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点其中正确命题的个数（）A0个B1个C2个D3个5（5分）双曲线的离心率e=2，与椭圆有相同的焦点，该双曲线渐近线方程是（）ABCD6（5分）若抛物线y2=2px（p0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（）A2B18C2或18D4或167（5分）直线y=1x交抛物线y2=2px（p0）于M，N两点，且|+|=|，则p的值为（）A2B1CD8（5分）设F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|PF2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为（）

3、ABC4D9（5分）设a，b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根，则过A（a， a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为（）A0B1C2D310（5分）过双曲线（a0，b0）的右焦点F作渐近线y=的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围（）A（1，2）B（1，）C（，+）D（2，+）11（5分）已知抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，A，B，C都是抛物线上的点，满足+=，则kAB+kBC+kAC=（）A0BC1D不能确定12（5分）在抛物线y=x2+ax5（a0）上取横坐标为x1=4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一

4、条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）命题“xR，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为14（5分）在直角坐标系xOy中直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60则OAF的面积为15（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为16（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|A

5、N|+|BN|=三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（）已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，求a的值；（）设z=，求|z|18（12分）在对哈三中2014-2015学年高二学生喜欢学的科目的一次调查中，共调查了200人，其中男同学120 人，女同学80人，男同学中有80人喜欢学数学，另外40人喜欢学语文；女同学中有30人喜欢学数学，另外50人喜欢学语文（）填表，完成22列联表；喜欢科目性别数学语文总计女男总计（）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与喜欢科目有关系？参考公式K2=P（K2k

6、）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819（12分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如下：零件数x（个）10203040加工时间y（min）60687585（）求回归方程；（）如果加工的零件是50个，预测所要花费的时间（参考公式：=，=）20（12分）已知椭圆C：=1 （常数m1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最

7、小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围21（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上（）求椭圆C的方程；（）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标22（12分）已知抛物线y2=4ax（a0）的焦点为A，以B（a+4，0）为圆心，|AB|长为半径，在x轴上方的半圆交抛物线于不同的两点M、N，P是MN的中点（1）求实数a的取值范围；（2）求|AM|+|AN|的值；（3）是否存在这样的a值，使|AM|，|AP|，|AN|

8、成等差数列？黑龙江省绥化市安达高中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1（5分）在复平面内，复数对应的点位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，），从而得出结论解答：解：复数=，它在复平面内对应的点的坐标为（，），故选D点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题2（5分）过抛物线y2=4x的焦

9、点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，如果x1+x2=8，那么|AB|=（）A6B8C9D10考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线的方程可得p，再利用弦长公式|AB|=x1+x2+p即可得出解答：解：由抛物线y2=4x可得2p=4，解得p=2x1+x2=8，|AB|=x1+x2+p=8+2=10故选：D点评：本题考查了抛物线的标准方程及其弦长公式，属于基础题3（5分）设抛物线的方程为y=4x2，则其准线方程为（）ABx=1CDy=1考点：抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先将抛物线方程化为标准方程，进而可求抛物线的准线

10、方程解答：解：由题意，抛物线的标准方程为x2=y，p=，开口朝上，准线方程为y=；故选C点评：本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的标准方程，属于基础题4（5分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：A、B为两个定点，k为非零常数，|=k，则动点P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为椭圆；方程2x25x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线=1与椭圆+y2=1有相同的焦点其中正确命题的个数（）A0个B1个C2个D3个考点：圆锥曲线的共同特征 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线的定义即可判断出；利用垂经定理与圆的性质可得动点P

11、的轨迹为圆；方程2x25x+2=0的两根分别为，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率；由双曲线=1可得c=，其焦点为，椭圆+y2=1的焦点为，即可判断出解答：解：A、B为两个定点，k为非零常数，|=k，只有当k|AB|时，则动点P的轨迹为双曲线，因此不正确；过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，P是AB中点，则动点P的轨迹为圆，不正确；方程2x25x+2=0的两根分别为，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，正确；由双曲线=1可得c=，其焦点为，椭圆+y2=1的焦点为，因此有相同的焦点，正确其中正确命题的个数是2故选：C点评：本题考查了圆锥曲线的定义及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5（5

12、分）双曲线的离心率e=2，与椭圆有相同的焦点，该双曲线渐近线方程是（）ABCD考点：双曲线的简单性质；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：先根据椭圆的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，再由离心率求出a的值，最后根据b=得到b的值，可得到渐近线的方程解答：解：椭圆的焦点为（4，0）（4，0），故双曲线中的c=4，且满足 =2，故a=2，b=2，所以双曲线的渐近线方程为y=x=x故选C点评：本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查6（5分）若抛物线y2=2px（p0）上一点到焦点和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则p的值为（

13、）A2B18C2或18D4或16考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由抛物线上点P到的对称轴的距离6，设P的坐标为（x0，6）根据点P坐标适合抛物线方程及点P到焦点的距离为10，联列方程组，解之可得p与x0的值，从而得到本题的答案解答：解：抛物线y2=2px（p0）上一点到的对称轴的距离6，设该点为P，则P的坐标为（x0，6）P到抛物线的焦点F（，0）的距离为10由抛物线的定义，得x0+=10（1）点P是抛物线上的点，2px0=36（2）（1）（2）联解，得p=2，x0=2或p=18，x0=1故选：C点评：本题已知抛物线上一点到焦点和到对称轴的距离，求抛物线的

14、焦参数p，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题7（5分）直线y=1x交抛物线y2=2px（p0）于M，N两点，且|+|=|，则p的值为（）A2B1CD考点：抛物线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由|+|=|，可得，故x1x2+y1y2=0，直线y=1x代入抛物线y2=2px（p0），利用韦达定理，即可求出p的值解答：解：由题意，直线y=1x代入抛物线y2=2px（p0），可得x2（2+2p）x+1=0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2+2p，x1x2=1，|+|=|，x1x2+y1y2=0，1+（1x1）（1x2）=0，3（

15、2+2p）=0，p=，故选：D点评：本题以抛物线为载体，考查抛物线的性质，考查向量知识，考查韦达定理的运用，属于中档题8（5分）设F1，F2分别为双曲线=1（a0，b0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|PF2|）2=b23ab，则该双曲线的离心率为（）ABC4D考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据（|PF1|PF2|）2=b23ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b23ab，求得a=，c=b，即可求出双曲线的离心率解答：解：（|PF1|PF2|）2=b23ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b23ab，4a2+3abb2=0，a=，c=b，

16、e=故选：D点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题9（5分）设a，b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根，则过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为（）A0B1C2D3考点：双曲线的简单性质 专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为y=x，结合双曲线的渐近线方程，可得结论解答：解：a，b是关于t的方程t2cos+tsin=0的两个不等实根，a+b=，ab=0，过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线为ya2=（xa），即y=（b+a）xab，即y=x，双曲线=1的

17、一条渐近线方程为y=x，过A（a，a2），B（b，b2）两点的直线与双曲线=1的公共点的个数为0故选：A点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题10（5分）过双曲线（a0，b0）的右焦点F作渐近线y=的垂线与双曲线左右两支都相交，则双曲线的离心率e的取值范围（）A（1，2）B（1，）C（，+）D（2，+）考点：双曲线的简单性质 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设过双曲线的右焦点F与渐近线y=垂直的直线为AF，根据题意得AF的斜率要小于双曲线另一条渐近线的斜率，由此建立关于a、b的不等式，解之可得b2a2，从而可得双曲线的离心率e

18、的取值范围解答：解：过双曲线的右焦点F作渐近线y=的垂线，设垂足为A，直线AF与双曲线左右两支都相交，直线AF与渐近线y=必定有交点B因此，直线y=的斜率要小于直线AF的斜率渐近线y=的斜率为直线AF的斜率k=，可得，即，b2a2，可得c22a2，两边都除以a2，得e22，解得e故选：C点评：本题给出过双曲线焦点与一条渐近线垂直的直线，交双曲线与左右两点各一个交点，求双曲线离心率取值范围着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题11（5分）已知抛物线x2=2py（p0）的焦点为F，A，B，C都是抛物线上的点，满足+=，则kAB+kBC+kAC=（）A0BC1D不能确定考点：抛物

19、线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），依题意，知F为三角形ABC的重心，于是有=0，利用“点差法”可求得kAB=，kBC=，kAC=，从而可得答案解答：解：抛物线x2=2py（p0）的焦点F（0，），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），因向量+=，则F为三角形ABC的重心故=0，=，又=2py1，=2py2，两式相减，得：（x1+x2）（x1x2）=2p（y1y2），所以，kAB=；同理可得，kBC=，kAC=，所以，kAB+kBC+kAC=0，故选：A点评：本题考查抛物线的标准方程与简单几何性质，考查“

20、点差法”与三角形的“重心”的坐标表示，求得kAB=是关键，是好题12（5分）在抛物线y=x2+ax5（a0）上取横坐标为x1=4，x2=2的两点，经过两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切，则抛物线顶点的坐标为（）A（2，9）B（0，5）C（2，9）D（1，6）考点：抛物线的应用；抛物线的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：求出两个点的坐标，利用两点连线的斜率公式求出割线的斜率；利用导数在切点处的值为切线的斜率求出切点坐标；利用直线方程的点斜式求出直线方程；利用直线与圆相切的条件求出a，求出抛物线的顶点坐标解答：解：两点坐标为（4，114a

21、）；（2，2a1），两点连线的斜率k=，对于y=x2+ax5，y=2x+a，2x+a=a2解得x=1，在抛物线上的切点为（1，a4），切线方程为（a2）xy6=0，该切线与圆相切，圆心（0，0）到直线的距离=圆半径，解得a=4或0（0舍去），抛物线方程为y=x2+4x5顶点坐标为（2，9）故选A点评：本题考查两点连线的斜率公式、考查导数在切点处的值为切线的斜率、考查直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径二、填空题（每小题5分，共20分）13（5分）命题“xR，2x23ax+90”为假命题，则实数a的取值范围为2，2考点：命题的真假判断与应用；函数恒成立问题 分析：根据题意，原命题的否

22、定“xR，2x23ax+90”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需0解答：解：原命题的否定为“xR，2x23ax+90”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需=9a24290，解得：2a2故答案为：2，2点评：存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定注意“恒成立”条件的使用14（5分）在直角坐标系xOy中直线l过抛物线y2=4x的焦点F且与该抛物线相交于A、B两点其中点A在x轴上方若直线l的倾斜角为60则OAF的面积为考点：直线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单

23、性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求OAF的面积解答：解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）直线l过F，倾斜角为60直线l的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得y=2，或y=A在x轴上方OAF的面积为=故答案为：点评：本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键15（5分）已知F是双曲线的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为9考点：双曲线的定义；双曲线的简单性质；双曲线的应用 专题：计算题；压轴题分析：根据A点在双曲线的两支之间，根据双曲线的定义求得a，

24、进而根据PA|+|PF|AF|=5两式相加求得答案解答：解：A点在双曲线的两支之间，且双曲线右焦点为F（4，0），由双曲线性质|PF|PF|=2a=4而|PA|+|PF|AF|=5两式相加得|PF|+|PA|9，当且仅当A、P、F三点共线时等号成立故答案为9点评：本题主要考查了双曲线的定义，考查了学生对双曲线定义的灵活运用16（5分）已知椭圆C：+=1，点M与C的焦点不重合，若M关于C的焦点的对称点分别为A、B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=12考点：椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：画出图形，利用中点坐标以及椭圆的定义，即可求出|AN|+|BN|的值解答：解

25、：如图：MN的中点为Q，易得，Q在椭圆C上，|QF1|+|QF2|=2a=6，|AN|+|BN|=12故答案为：12点评：本题考查椭圆的定义，椭圆的基本性质的应用，是对基本知识的考查三、解答题（本大题共6小题，17题10分，18-22题每题12分，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（10分）（）已知a是实数，i是虚数单位，是纯虚数，求a的值；（）设z=，求|z|考点：复数求模；复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算 专题：计算题；数系的扩充和复数分析：（）先化简，由纯虚数的定义可求a值；（）先化简z，然后可求模；解答：解：（）=（a+1）+（1a）i，是纯虚数，（a+1）=0

26、，1a0，即a=1；（）z=1i，|z|=点评：该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题18（12分）在对哈三中2014-2015学年高二学生喜欢学的科目的一次调查中，共调查了200人，其中男同学120 人，女同学80人，男同学中有80人喜欢学数学，另外40人喜欢学语文；女同学中有30人喜欢学数学，另外50人喜欢学语文（）填表，完成22列联表；喜欢科目性别数学语文总计女男总计（）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与喜欢科目有关系？参考公式K2=P（K2k）0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k1.3232.0722.7063.8

27、415.0246.6357.87910.828考点：独立性检验 专题：阅读型；概率与统计分析：（I）关键列联表中各数据的含义填空；（II）利用相关指数K2的计算公式求出观测值，比较与临界值10.828的大小，可得答案解答：解：（I）22列联表为：数学语文总计女305080男8040120总计11090200（II）K2=16.510.828，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与喜欢科目有关点评：本题考查了独立性检验思想方法，考查了学生的运算能力，准确计算相关指数K2的观测值是解题的关键19（12分）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，收集数据如

28、下：零件数x（个）10203040加工时间y（min）60687585（）求回归方程；（）如果加工的零件是50个，预测所要花费的时间（参考公式：=，=）考点：线性回归方程 专题：计算题；概率与统计分析：（）求出出横标和纵标的平均数，得到样本中心点，求出对应的横标和纵标的积的和，求出横标的平方和，做出系数和a的值，写出线性回归方程（）将x=50代入回归直线方程，可得结论解答：解：（1）=（10+20+30+40）=25，=（60+68+75+85）=72，=3000，xiyi=7210，b=0.82a=720.8225=51.5，所求线性回归方程为：=0.82x+51.5；（3）当x=50代入回

29、归直线方程，得=0.8250+51.5=92.5（小时）加工50个零件大约需要92.5个小时点评：本题考查线性回归方程的求法和应用，考查学生的计算能力，属于中档题20（12分）已知椭圆C：=1 （常数m1），P是曲线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为（2，0）（1）若M与A重合，求曲线C的焦点坐标；（2）若m=3，求|PA|的最大值与最小值；（3）若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围考点：椭圆的简单性质 专题：综合题；压轴题；转化思想分析：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标，可得参数a的值，已知b=1，进而可得答案；（2）根据题意，可得椭圆的方程，变形

30、可得y2=1；而|PA|2=（x2）2+y2，将y2=1代入可得，|PA|2=4x+5，根据二次函数的性质，又由x的范围，分析可得，|PA|2的最大与最小值；进而可得答案；（3）设动点P（x，y），类似与（2）的方法，化简可得|PA|2=（x）2+5，且mxm；根据题意，|PA|的最小值为|MA|，即当x=m时，|PA|取得最小值，根据二次函数的性质，分析可得，m，且m1；解可得答案解答：解：（1）根据题意，若M与A重合，即椭圆的右顶点的坐标为（2，0）；则a=2；椭圆的焦点在x轴上；则c=；则椭圆焦点的坐标为（，0），（，0）；（2）若m=3，则椭圆的方程为+y2=1；变形可得y2=1，|P

31、A|2=（x2）2+y2=x24x+4+y2=4x+5；又由3x3，根据二次函数的性质，分析可得，x=3时，|PA|2=4x+5取得最大值，且最大值为25；x=时，|PA|2=4x+5取得最小值，且最小值为；则|PA|的最大值为5，|PA|的最小值为；（3）设动点P（x，y），则|PA|2=（x2）2+y2=x24x+4+y2=（x）2+5，且mxm；当x=m时，|PA|取得最小值，且0，则m，且m1；解得1m1+点评：本题考查椭圆的基本性质，解题时要结合二次函数的性质进行分析，注意换元法的运用即可21（12分）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率e=，左、右焦点分别为F1、F2，点P（2，），点F2在线段PF1的中垂线上（）求椭圆C的方程；（）设直线l：y=kx+m与椭圆C交于M、N两点，直线F2M与F2N的斜率互为相反数，求证：直线l过定点，并求该定点的坐标考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由已知推导出，（2c）2=（）2+（2c）2，由此能求出椭圆C的方程（）设直线MN方程为y=kx+m，由，得（2k2+1）x2+4kmx+2m22=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x2），从而能证明直线MN过定点（2，0）解答：（）解：由椭圆C的离心率e=，得，其中c=，椭圆C的左、右焦点分别为F1（c，0）