高数A下A试卷及答案

1、课程考试试题学期学年 2010/2011 2 高等数学A2（ A卷） 拟题人:校对人:拟题学院（系）: 适 用 专 业: 数理学院 赵立宽 机电，信息，应物等专业 江莉 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题（每小题3分，共15分）1设，则 。2一阶线性微分方程的通解为 。3设L是椭圆周，则曲线积分 。4函数展开为的幂级数是 。5已知向量，则 。二、选择题（每小题3分，共15分）1函数在点（0，0）处（ ）。偏导数存在 连续但偏导数不存在 可微 连续且偏导数存在 2二重积分交换积分次序可化是（ ）。 3曲面在点（1,1,2）处的切平面方程是（ ）。 4若级数收敛，则级数（ ）。绝对收

2、敛 发散 收敛 敛散性不能确定5以为周期的函数在上的表达式为，其傅里叶级数的和函数为则（ ）。 1 2 0 3. 三、（共21分）1、（7分）设，其中具有二阶连续偏导数，求。 2、（7分）计算二重积分，其中区域是由，及所围区域。3、（7分）利用高斯公式计算曲面积分，其中为曲面（），取下侧。 四、（共21分）1、（7分）利用格林公式计算曲线积分，其中L是从(1,0)沿曲线到点B (-1,0)的圆弧。 2、（7分）求微分方程的通解。 3、（7分）已知函数，（1）求该函数在点A（1，-1，2）处的梯度；（2）求该函数在点A（1，-1，2）处沿着从点A（1，-1，2）到点B（2，0，3）的方向的方向导

3、数；（3）该函数在点A（1，-1，2）处沿着哪个方向的方向导数最大？求出这个最大值。五、（共16分）1、（8分）求幂级数的收敛半径、收敛域及和函数。2、（8分）曲面的方程为，在坐标面上的投影为，求曲面的面积。六、（共12分）1、（6分）设正项数列为单调数列，且级数发散，证明级数收敛。 2、（6分）设函数是由方程确定的函数，其中具有一阶连续偏导数，且，求证：。 2010-2011 学年 2 学期 高等数学A2（A） 卷 试题标准答案拟 题 人： 赵立宽 书写标准答案人： 赵立宽 拟题学院（系）： 数理学院 适用专业：机电、信息、应物等相关专业 （答案要注明各个要点的评分标准）一、 填空题：（每小

4、题3分，共15分）1. ；2.；3. ；4. ；5. 二、选择题：（每小题3分，共15分） 1) B. 2) D. 3) A. 4) C. 5) C. 三、（共21分）1、解： -3分 - 7分2 、解：曲线与的交点为（1,1） -1分所以 ， -4分 -7分3、解 ,取,取上侧,记与所围成区域为,则由Gauss公式知得 -2分 -3分原式 -5分 -7分四、（共21分）1、解 取,方向从B（-1,0）点到A（1,0） -2分记与所围成区域为,则由Green公式知: - -5分 -7分2、解（1）求对应的齐次方程的通解：特征方程为，则其特征根为 -2分齐次方程的通解为（与为任意常数） -3分（

5、2）求原方程的特解：由于不是特征根，则令，代入原方程得即，从而有，即 -6分原方程的通解为：（与为任意常数） -7分3、解 （1） -2分（2）令，则其方向余弦为，从而有 -5分（3）由方向导数和梯度的关系可知：当沿梯度方向时，方向导数最大且最大值为梯度的模 -7分五、（共16分）1、解：，即幂级数的收敛半径为1 -2分而级数，都发散，所以幂级数的收敛域为-4分设幂级数在区间内的和函数为，则 -6分= -8分2、解：的方程为，：或于是该曲面的面积为： -4分 -8分六、（共12分）1、证明：（1）若正项数列是单调递减数列，则数列必有界，因为单调有界数列存在极限，设，又因为级数发散，所以，从而于是，由根值审敛法知收敛； -3分（2） 若正项数列是单调递增数列 ，则 ， 所以为收敛的等比级数，再有比较审敛法知收敛 -6分另一证法：若正项数列是单调有界数列，则存在，设，因为级数发散，所以，从而于是，由根值审敛法知收敛； -3分