高一综合班数学第七讲倍角的正弦、余弦、正切

1、2015年寒春班高一A数学第七讲（150212）倍角的正弦、余弦、正切一、复习与提高二角和与差的公式：； tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)； .口诀：余弦和与差：积同名，号相异；正弦和与差：积名异，符号同；辅助角的应用：.其中，且角所在的象限与点所在象限一致.常用常考结论：练习：1、已知sin，cos，且为第二象限角，则m的允许值为()A.m6 B6mCm4 Dm4或m答案：C；解析：由sin2cos21得，()2()21，m4或，又sin0，cos0，把m的值代入检验得，m4.2、已知、均为锐角，且tan，则tan()_.答案：1；解析：tan，tantan()又

2、、均为锐角，即，tan()tan1.3在ABC中，已知tanA3tanB，则tan(AB)的最大值为_，此时角A的大小为_解析：由于tan(AB).当且仅当1tanB时取“”号，则tanBtanAA60°.答案：60°4在ABC中，3sinA4cosB6,4sinB3cosA1，则C等于()A30° B150°C30°或150° D60°或120°答案：A；解析：已知两式两边分别平方相加，得2524(sinAcosBcosAsinB)2524sin(AB)37，sin(AB)sinC，C30°或150&#

3、176;.当C150°时，AB30°，此时3sinA4cosB3sin30°4cos0°，这与3sinA4cosB6相矛盾，C30°.5如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点已知A、B的横坐标分别为，.(1)求tan()的值；(2)求2的值解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos，cos.因为锐角，故sin0，从而sin，同理可得sin.因此tan7，tan.所以tan()3.(2)tan(2)tan()1.又0，0，故02，从而由tan(2)1得2.二、二倍角公式在上述公式中

4、取即可得到二倍角公式：又因为，所以。三、应用1正用 例1、设，求的值。解：，练习1、已知sin2=,<<,求sin4,cos4,tan4的值.解:由<<,得<2<.又sin2=,cos2=.于是sin4=sin2×(2)=2sin2cos2=2××()=;cos4=cos2×(2)=1-2sin22=1-2×()2=;tan4=(-)×=.练习2、求sin10°sin30°sin50°sin70°的值.活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，

5、但也是训练学生思维能力的一道好题.本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式.教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式.并点拨学生结合诱导公式思考.学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°,40°,60°,80°余弦的积,其中60°是特殊角,很容易发现40°是20°的2倍,80°是40&

6、#176;的2倍,故可考虑逆用二倍角公式.解:原式=cos80°cos60°cos40°cos20°=点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律.例2已知sin(x)，则sin2x的值等于()AB.C D.答案：A；解析：sin(x)(sinxcosx)，所以sinxcosx，所以(sinxcosx)21sin2x，故sin2x.练习1.已知为第二象限角，sincos，则cos2_答案：；解析： sincos，(sincos)2， 2sincos，即s

7、in2.为第二象限角且sincos>0， 2k<<2k(kZ)， 4k<2<4k(kZ)， 2为第三象限角， cos2.练习2已知cos，x.(1)求sinx的值；(2)求sin的值解：(1)法一：因为x，所以x，sin .sinxsinsin(x)coscos(x)sin××.法二：由题设得cosxsinx，即cosxsinx.又sin2xcos2x1，从而25sin2x5sinx120，解得sinx或sinx.因为x，所以sinx.(2)因为x，故cosx.sin2x2sinxcosx，cos2x2cos2x1.所以sinsin2xcosc

8、os2xsin.练习3设asin15°cos15°，bsin17°cos17°，则下列各式中正确的是()Aab BabCba Dba答案：B；解析：asin(15°45°)sin60°，bsin(17°45°)sin62°，ba.sin260°sin262°2sin60°sin62°sin62°，ba.例3、计算=.解析：=练习、在ABC中,cosA=,tanB=2,求tan(2A+2B)的值.活动：这是本节课本上最后一个例题，结合三角形，具有一

9、定的综合性,同时也是和与差公式的应用问题.教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题,会带来一些隐含的条件,如A+B+C=,0<A<,0<B<,0<C<,就是其中的一个隐含条件.可先让学生讨论探究，教师适时点拨.学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系.由于对2A+2B与A,B之间关系的看法不同会产生不同的解题思路,所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别.不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预.在学生自己尝试解决问题后,教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总

10、结.基础较好的班级还可以把求tan(2A+2B)的值改为求tan2C的值.解：方法一:在ABC中,由cosA=,0<A<,得sinA=所以tanA=×=,tan2A=又tanB=2,所以tan2B=于是tan(2A+2B)=方法二:在ABC中,由cosA=,0<A<,得sinA=所以tanA=×=.又tanB=2,所以tan(A+B)=于是tan(2A+2B)=tan2(A+B)=例4、 如何用分别表示和。解：，即同理有：。;练习、求sin18°和cos36°的值.解：sin36°cos54°，即sin（2&#

11、215;18°）cos（3×18°）2sin18°cos18°4cos318°3cos18°cos18°0，2sin18°4cos218°3整理得4sin218°2sin18°10说明：本题通过二倍角和三倍角公式构造了关于sin18°的方程求解，但利用sin54°cos36°很难解出sin18°.在解决三角函数问题的过程中也要适当注意一些代数方法的使用.2逆用 例5、化简 。解：=。练习1、已知，是否存在满足的、使F()的值是一个与无关

12、的常数，若存在，试求出、的值；若不存在，请说明理由.解析：，练习2、证明=tan.活动：先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥聪明才智，战胜它，并力争一题多解.教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等.对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解

13、答过程，以便对照点评及给学生以启发.点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励.强调“1”的妙用很妙，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它.证明:方法一:左=tan=右.所以,原式成立.方法二:左=tan=右.方法三:左=tan=右.练习3、化简：解：原式=cot2.例6、设，且，求。解：即，又，所以，练习、当0x时，函数f(x)的最小值为()A2 B2C4 D4答案：C；解析：f(x)2 4，当且仅当，即tanx时，取“”，0x，存在x使tanx，这时f(x)min4.例7、化简。练

14、习、2的化简结果是()A4cos42sin4 B2sin4C2sin44cos4 D2sin4答案：D；解析：原式22|cos4|2|sin4cos4|，4，cos40，sin4cos4.原式2cos42(cos4sin4)2sin4.例8、已知，求练习、求证：。方法1： 方法2：由两角差的正切公式有例9、已知，求的值.分析：由得：，则或.又，所以.由万能公式得，.知.例10已知，则在第几象限。解：第三象限。例11、知关于的方程有实数根，求实数的取值范围.分析：由，令，则，其中.则关于的方程在上有解.注意到方程两根之积为1，若有实根必有一根在内，只要即可，得或.练习1已知tan()3，(0，)

15、(1)求tan的值；(2)求sin(2)的值解：(1)由tan()3可得3.解得tan2.(2)由tan2，(0，)，可得sin，cos.因此sin22sincos，cos212sin2，sin(2)sin2coscos2sin××.练习2、已知cos=,cos(-)=,且0<<<,(1)求tan2的值;(2)求.解:(1)由cos=,0<<,得sin=tan=4.于是tan2=(2)由0<<<,得0<-<.又cos(-)= ,sin(-)=由=-(-),得cos=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=×+=.=.点评:本题主要考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号,已知三角函数值求角以及计算能力.练习2、计算：_.答案：；解析：.2015年寒春班高一A数学第六讲（150210）课后作业1.不查表,求值:sin15°+cos15°.解:原式=点评：本题在两角和与差的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生