高次无理指数对数不等式的解法及应用分析

1、高次、无理、指数、对数不等式的解法及应用分析 解不等式是中学数学解决问题的重要工具，在研究函数的性质、确立问题成立的条件等方面都有广泛的应用。 本阶段的重点是不等式的“等价转化”，将高次不等式低次化，无理不等式有理化、超越不等式代数化，最终回归到一元一次不等式（组）或一元二次不等式（组）来解。难点是解含参数的不等式，对于如何选择参数分类的标准、如何把握分类的时机是有难度和深度的。 一、高次不等式 1概念： 形如不等式(x-x1)(x-x2)(x-xn)0（其中x1, x2, ,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(nN)。 2解题思路： 作出相应函数的图象草图。具体步骤如下：(a)明确标

2、出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）。然后根据图象草图，写出满足不等式的解集。 3例题： 例1解不等式：(1) (x-2)(x+2)(x-1)(x+1)0；(2)(x2-5x-6)(1-x)0。 解：(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图（图1）。 所以不等式的解集为(-,-2)(-1,1)(2,+)。 (2)先把原不等式化成与它等价的：(x+1)(x-6)(x-1)0。 分析：此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式，当x值从大于-1变化到小于-1时（

3、不含-1），y值符号没有发生变化，而x值从大于1到小于1时（不含1），y值符号发生了变化，如图3， 故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+)。 注：本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于 二、无理不等式 1概念：如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)0或f(x) (2)g(x) 或 或 (3) y2的x的取值范围。在同一坐标系中分别作出两个函数的图象（图4）。设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-20。解之，得x0=5或x0=1（舍）。所以原不等式解集为5，+）。 评述：解法1是通法，要求必须熟练掌握，解法2是换元法，由于不等式两边次数恰是倍数关系，故换元后变为二次不等式，但最

4、终还要解x的方程。解法3是数形结合法，用图象解题，一般比较简捷、形象、直观，但要注意作图的正确和表达的清晰和完整。 例2解不等式a-x (a0)。 解：a-x (I) 或 (II) 而(I) (2-)a0)。 (II) xa (因为a0)。 所以原不等式的解集是，即。 例3解不等式 解： 或 x1或x=1或x=-2。 所以原不等式的解集是1,+)-2。 三、指数不等式，对数不等式 1解题思路：化超越不等式为代数不等式，依据是指数函数和对数函数的单调性。 2常见题型及等价转化： (1) (a0,a1)。当0a1时，f(x)1时，f(x)g(x)。 (2)m(ax)2+n(ax)+k0。令ax=t

5、(t0)，转化为mt2+nt+k0，先求t的取值范围，再确定x的集合。 (3)logaf(x)logag(x) (a0, a1)。 当0a1时， (4) 。 令logaf(x)=t (tR)，转化为mt2+nt+k0，先求t的取值范围，再确定x的集合。 3例题 例1解不等式。 解：，所以x2-2x-33-3x，所以x2+x-60, 所以-3x0), 则t2-12t-640。 所以-4t16，因为t0。所以0t16, 故02x16, 从而x4。 所以原不等式的解集是（-，4。 例3解不等式 解：原不等式可化为： 所以所以所以1x5。 所以原不等式的解集为（1，5）。 注意：(1)解对数不等式要考

6、虑原不等式中的定义域；(2)如出现，往往将此项移项，这样可以避开分式运算；(3)如出现以2和4为底数的对数，最好统一成4为底的对数，这样可以避开无理式运算。 四、作业 解下列关于x的不等式： 1. (x-a)(x+2)(x-3)0 3. 4. 5. 6. 作业参考答案： 解：1. 当a-2时，解集为(-,a)(-2,3)。 当a=-2时，解集为(-,-2)(-2,3)。 当-2a3时，解集为(-,-2)(3,a)。 2x(x-1)3(x-2)2(x+1)(x2+x+1)0，所以x(x-1)3(x-2)2(x+1)(x+)2+)0 所以x(x-1)3(x-2)2(x+1)0。 所以解集为(-1,

7、0)(1,2)(2,+ )。 3因为(x+4)(x-3)=x2+x-12，(x+3)(x-2)=x2+x-6 设(t0)。则(x+4)(x-3)=t2-6，所以原不等式可化为t2-6+t36, 即t2+t-420，所以-7t6，因为t0, 所以0t6, 所以，所以0x-3或2x6, 所以解集为 4.所以所以所以 所以, 所以,所以解集为。 5(1)当x=1时，显然原不等式不成立， 所以x1。 (2)当0x1时，即，所以，所以0x1时，即，所以，所以x2。 综上所述，原不等式的解集为(0,1)(2,+)。 6. (1)当0a1时，原不等式等价于 ，所以，所以， 因为 ， 所以， （因为a1），所

8、以，所以xa。综上所述，当0a1时，解集为(a, +)。 在线测试窗体顶端选择题1不等式mx2+nx+30的解集是x|-1x2则m，n的值是（ ） A、m=-，n=1 B、m=n=- C、m=-，n= D、m=-，n=-1 窗体底端窗体顶端2关于x的不等式0)的解集是（ ） A、(0，a)B、(0，aC、D、(-，-)(0,+) 窗体底端窗体顶端3已知不等式kx2-kx-20的解集是空集，则k的取值范围是（ ） A、-8k0B、-4k0C、0kD、1k4 窗体底端窗体顶端4已知不等式loga(x2+2x+5)0B、a2C、0a0，且x2y=2，xy+x2的最小值是（ ） A、3B、2C、1D、

9、-3 答案与解析 答案：1、C 2、B 3、A 4、C 5、A解析：1、分析：根据一元二次不等式和一元二次方程之间的关系，我们知道-1和2是方程mx2+nx+3=0的根。 2、分析：利用函数图象来解，在同一个坐标系下画出y=和y=2x+a的图象，满足前面的图象在后面图象下面的x的取值即是所求。也可以用代入法，代入x=a不等式成立，选项A，C中没有a，错。代入x=-a，不等式不成立，选项D错。 3、分析：根据一元二次函数图象的性质和一元二次不等式的解法，要满足条件，则k0，且根的判别式应该小于等于0。也可以用代入法。k=0符合题意，D中没有0，错。k=1，不合题意，C错。k=-8代入，符合题意，

10、B错。 4、分析：这是一个关于对数函数的性质的不等式问题，我们注意到左边对数的真数的最小值是4，要满足条件，则0a0，y0，将y=代入xy+x2，得到（当且仅当x=1等号成立）。 注：涉及到不等式解集的选择题多数都可以用代入法。这是比较简单的方法。解无理不等式的若干求简策略 解无理不等式是中学数学的一个重要内容。无理不等式的常规解法是先将原不等式化成或g(x)或g(x)等基本形式，再两边平方去根号转化为有理不等式组求解。但对某些无理不等式，上述解法往往运算量大，过程冗长。解题中若能注意到某些特殊要素的功能作用，或利用某些特殊手段将原不等式作适当转化，常能简化解题过程，优化数学思维，提高解题效率

11、。在具体的解题过程中，有以下几方面的策略。 1借用“定义域”确定符号，简化或避免讨论，从而使解题过程简化。 使无理不等式中各代数式都有意义的未知数的取值范围，不妨称为不等式的“定义域”。显然，不等式的解集应是其“定义域”的子集。将不等式化为基本形式并确定其“定义域”，再考虑不等式另一边的取值符号，有时能简化分类，迅速求解。 例1设a0为常数，解不等式：。分析：一般的解法要分x+a0和x+a0讨论，去根号求解。 注意到不等式的“定义域”，有a2-2x20，即, a0为常数，解不等式.(2000年全国高考试题) 分析：不等式化为，若按常规思路求解，则不等式再化为： 即（I） 如果注意到，则有ax+

12、11,即ax0. 由于a0，因而x0是一个隐含条件。 可将不等式化为 即（II） 不难发现，解不等式组（II）比解不等式组（I）要简捷得多。 对不等式组（II），易得。 3简化不等式结构 对某些无理不等式，若直接化为基本形式求解就会很复杂，如果通过同解变形，改变原不等式的结构，将它化为另一种较简单的基本形式求解，不失为一种有效手段。 例3解不等式：。 分析：若将不等式直接化为基本形式，则有=。再往下解就比较复杂了。如果将原不等式变形为：， 即。 注意到1-x20且x+10，即-10. 不等式化为, 即. 这样，原不等式就得以简化，从而有 解得0-1, 且x0, t0且t1, 不等式化为， 即，

13、 6t(t+1)12(t0). 解得2t3，从而, 即4x+19。不等式的解集是3，8。 5数形结合 将不等式化为基本形式，再将不等式两边分别看作两个函数，考察这两个函数图象的相对位置关系，常能简捷地获得结论。 例5设a时，函数y=f(x)的图象位于函数y=g(x)的图象的上方。 不等式的解集是(,+). 6作非形式化处理 不拘泥于将无理不等式化为基本形式求解，是一种非形式化的解题思想。将不等式两边按正负值分类，平方去根号，也是一种好的策略。 例6设ab0为常数，解不等式。 分析：虽然该不等式可化为基本形式求解，但较繁锁。若作非形式化处理，则有下面的简明解法。 ab0，-a-b-b时，不等式化

14、为 ，即。 (a-b)x3-(a-b)abx0. ab0，. x或-bx0. （3）当 即x-a时， 不等式化为， 即x(x-)(x+)0. ，x0时，不等式等价于0，或f(x)=0时，不等式等价于0即可。 1）当x-10。即x1时，原不等式等价于x2-x-20，解得x2。 2）当x-1=0，即x=1时，显然g(x)无意义，故为。 综上知，原不等式的解集是x|x2。剖析：以上错解的原因是分类不彻底，有遗漏,应补充第三种情况：当x-1”、“=”合成的，故不等式f(x)0可转化为f(x)0或f(x)=0。 解法1 原不等式等价于 1）(x-1)0，或2）(x-1)=0。 解1），由得x2；解2），由x2-x-2=0或x-1=0且x2-x-2有意义，得x=-1或x=2。 综上知，原不等式的解集是x|x2, 或x=-1。 方法2：（分类讨论法）在不等式f(x)0中，按g(x)的取值情况分类，有两种情形： 1）g(x)0时，不等式等价于 2）g(x)=0时，此时只须f(x)有意义即可。 解法2 分两种情况讨论