高三数学二轮复习数列专题及其答案58774

1、2018届高三第二轮复习数列第1讲等差、等比考点【高 考 感 悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1.等差(比)数列的基本运算主要考查等差、等比数列的基本量的求解题型：三种题型均可出现难度：基础题2.等差(比)数列的判定与证明主要考查等差、等比数列的定义证明题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题3.等差(比)数列的性质主要考查等差、等比数列的性质题型：选择题或填空题难度：基础题或中档题1必记公式(1)等差数列通项公式：ana1(n1)d.(2)等差数列前n项和公式：Snna1.(3)等比数列通项公式：ana1qn1.(4)等比数列前n项和公式：Sn.(5)等差

2、中项公式：2anan1an1(n2)(6)等比中项公式：aan1an1(n2)(7)数列an的前n项和与通项an之间的关系：an.2重要性质(1)通项公式的推广：等差数列中，anam(nm)d；等比数列中，anamqnm.(2)增减性：等差数列中，若公差大于零，则数列为递增数列；若公差小于零，则数列为递减数列等比数列中，若a10且q1或a10且0q1，则数列为递增数列；若a10且0q1或a10且q1，则数列为递减数列3易错提醒(1)忽视等比数列的条件：判断一个数列是等比数列时，忽视各项都不为零的条件(2)漏掉等比中项：正数a，b的等比中项是，容易漏掉.【 真 题 体 验 】1(2015新课标高

3、考)已知an是公差为1的等差数列，Sn为an的前n项和若S84S4，则a10()A.B.C10D122(2015新课标高考)已知等比数列an满足a1，a3a54(a41)，则a2()A2 B1 C. D.3(2015浙江高考)已知an是等差数列，公差d不为零若a2，a3，a7成等比数列，且2a1a21，则a1_，d_4(2016全国卷1)已知是公差为3的等差数列，数列满足，.（I）求的通项公式；（II）求的前n项和.【考 点 突 破 】考点一、等差（比）的基本运算1(2015湖南高考)设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an_2(2015重庆高考)已知

4、等差数列an满足a32，前3项和S3.(1)求an的通项公式；(2)设等比数列bn满足b1a1，b4a15，求bn的前n项和Tn.考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】( 2017全国1 )记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.（1）求的通项公式；（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。.【规律感悟】判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法(1)定义法：对于n1的任意自然数，验证an1an为同一常数(2)通项公式法：若ana1(n1)dam(nm)d或anknb(nN*)，则an为等差数列；若ana1qn1amqnm或anpqknb(nN*)，则an为等比

5、数列(3)中项公式法：若2anan1an1(nN*，n2)，则an为等差数列；若aan1an1(nN*，n2)，且an0，则an为等比数列变式：(2014全国大纲高考)数列an满足a11，a22，an22an1an2.(1)设bnan1an，证明bn是等差数列；(2)求an的通项公式考点三、等差（比）数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质【典例2】(1)(2015新课标高考)已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21B42C63D84(2)(2015铜陵模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，且S1012，则a5a6()A. B12 C6 D.命题角度二

6、与等差(比)数列的和有关的性质【典例3】(1)(2014全国大纲高考)设等比数列an的前n项和为Sn.若S23，S415，则S6() A31 B32C63 D64(2)(2015衡水中学二调)等差数列an中，3(a3a5)2(a7a10a13)24，则该数列前13项的和是() A13 B26 C52 D156 针对训练1在等差数列an中，若a3a4a5a6a725，则a2a8_2在等比数列an中，a4a816，则a4a5a7a8的值为_3若等比数列an的各项均为正数，且a10a11a9a122e5，则ln a1ln a2ln a20_【巩 固 训 练 】一、选择题1(2015新课标高考)设Sn

7、是等差数列an的前n项和若a1a3a53，则S5()A5B7C9D112(2014福建高考)等差数列an的前n项和为Sn，若a12，S312，则a6等于()A8 B10 C12 D143(2014重庆高考)对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列 Da3，a6，a9成等比数列4(2014天津高考)设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1()A2 B2 C. D5(2015辽宁大连模拟)数列an满足anan1anan1(nN*)，数列bn满足bn，且b1b

8、2b990，则b4b6()A最大值为99 B为定值99 C最大值为100 D最大值为200二、填空题6(2015陕西高考)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为_7(2015安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_8(2014江西高考)在等差数列an中，a17，公差为d，前n项和为Sn，当且仅当n8时Sn取得最大值，则d的取值范围为_三、解答题9(文)(2015兰州模拟)在等比数列an中，已知a12，a416.(1)求数列an的通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列bn的第3项和第5项，试求数列bn的前

9、n项和Sn.10、(2014湖北高考)已知等差数列an满足：a12，且a1，a2，a5成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn60n800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由11(2015江苏高考)设a1，a2，a3，a4是各项为正数且公差为d(d0)的等差数列(1)证明：2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列；(2)是否存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列？并说明理由第2讲数列求和（通项）及其综合应用【高 考 感 悟】从近三年高考看，高考命题热点考向可能为：考什么怎么考题型与难度1.数列的通项公式考查等差、

10、等比数列的基本量的求解；考查an与Sn的关系，递推关系等题型：三种题型均可出现难度：基础题或中档题2.数列的前n项和考查等差、等比数列前n项和公式；考查用裂项相消法、错位相减法、分解组合法求和.题型：三种题型均可出现，更多为解答题难度：中档题3.数列的综合应用证明数列为等差或者等比；考查数列与不等式的综合.题型：解答题难度：中档题【 真 题 体 验 】1(2015北京高考)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)02(2015武汉模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S

11、515，则数列的前100项和为() A.B. C. D.3(2015福建高考)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值【考 点 突 破 】考点一、数列的通项公式【规律感悟】求通项的常用方法(1)归纳猜想法：已知数列的前几项，求数列的通项公式，可采用归纳猜想法(2)已知Sn与an的关系，利用an求an.(3)累加法：数列递推关系形如an1anf(n)，其中数列f(n)前n项和可求，这种类型的数列求通项公式时，常用累加法(叠加法)(4)累乘法：数列递推关系如an1g(n)an，其中数列g(n)前n项积可求，此数列求通项公式一

12、般采用累乘法(叠乘法)(5)构造法：递推关系形如an1panq(p，q为常数)可化为an1p(p1)的形式，利用是以p为公比的等比数列求解递推关系形如an1(p为非零常数)可化为的形式1(2015新课标高考)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则Sn_2(2015铜陵模拟)数列an满足a1a2an3n1，nN*，则an_3若数列an满足a13，an1，则a2 015的值为_考点二、数列的前n项和【规律感悟】1.分组求和的常见方法(1)根据等差、等比数列分组(2)根据正号、负号分组(3)根据数列的周期性分组2裂项后相消的规律 常用的拆项公式(其中nN*). . ()3错位相减

13、法的关注点(1)适用题型：等差数列an乘以等比数列bn对应项(anbn)型数列求和(2)步骤：求和时先乘以数列bn的公比把两个和的形式错位相减整理结果形式4倒序求和。命题角度一基本数列求和、分组求和【典例1】(2015湖北八校联考)等差数列an的前n项和为Sn，数列bn是等比数列，满足a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an和bn的通项公式； (2)令cn设数列cn的前n项和为Tn，求T2n.命题角度二裂项相消法求和【典例2】(2015安徽高考)已知数列an是递增的等比数列，且a1a49，a2a38.(1)求数列an的通项公式；(2)设Sn为数列an的前n项和，bn，求数

14、列bn的前n项和Tn.命题角度三错位相减法求和【典例3】(2015天津高考)已知an是各项均为正数的等比数列，bn是等差数列，且a1b11，b2b32a3，a53b27.(1)求an和bn的通项公式；(2)设cnanbn，nN*，求数列cn的前n项和针对训练1(2014湖南高考)已知数列an的前n项和Sn，nN*.(1)求数列an的通项公式； (2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项和2(2015山东高考)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为.(1)求数列an的通项公式； (2)设bn(an1)2an，求数列bn的前n项和Tn.考点三、数列的综合应用【典例4】(20

15、15陕西汉中质检)正项数列an的前n项和Sn满足：S(n2n1)Sn(n2n)0.(1)求数列an的通项公式an；(2)令bn，数列bn的前n项和为Tn.证明：对于任意的nN*，都有Tn.变式：(2015辽宁大连模拟)数列an满足an1，a11.(1)证明：数列是等差数列；(2)求数列的前n项和Sn，并证明.【巩 固 训 练 】一、选择题1(2015浙江高考)已知an是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn.若a3，a4，a8成等比数列，则()Aa1d0，dS40Ba1d0，dS40Ca1d0，dS40 Da1d0，dS402(2015保定调研)在数列an中，已知a11，an12an1，则其通

16、项公式为an()A2n1 B2n11C2n1 D2(n1)3(预测题)已知数列an满足an1，且a1，则该数列的前2 015项的和等于()A. B3 023 C1 512 D3 0244(2015长春质检)设数列an的前n项和为Sn，且a1a21，nSn(n2)an为等差数列，则an()A. B. C. D.5(2015云南第一次统一检测)在数列an中，an0，a1，如果an1是1与的等比中项，那么a1的值是()A. B. C. D.二、填空题6(2014全国新课标高考)数列an满足an1，a82，则a1_7若数列n(n4)()n中的最大项是第k项，则k_8(2015江苏高考)设数列an满足a

17、11，且an1ann1(nN*)，则数列前10项的和为_9(2015福建高考)若a，b是函数f(x)x2pxq(p0，q0)的两个不同的零点，且a，b，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于_三、解答题10(2015湖北高考)设等差数列an的公差为d，前n项和为Sn，等比数列bn的公比为q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1) 求数列an，bn的通项公式；(2) 当d1时，记cn，求数列cn的前n项和Tn.11(2014山东高考)已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)令bn(1)

18、n1，求数列bn的前n项和Tn.2018届高三第二轮复习数列答案【 真 题 体 验 】 （第1讲等差、等比考点）1【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d.由题设知d1，S84S4，所以8a1284(4a16)，解得a1，所以a109.故选B.2【解析】设等比数列an的公比为q，a1，a3a54(a41)，由题可知q1，则a1q2a1q 44(a1q31)，q64(q31)，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2.故选C.3【解析】由a2，a3，a7成等比数列，得aa2a7，则2d23a1d，即da1.又2a1a21，所以a1，d1.【答案】14【解】(1)an3n1(2)

19、考点一、等差（比）的基本运算1【解析】本题考查等比数列和等差数列等，结合转化思想即可轻松求解等比数列的公比，进而求解等比数列的通项公式由3S1，2S2，S3成等差数列，得4S23S1S3，即3S23S1S3S2，则3a2a3，得公比q3，所以ana1qn13n1.【答案】3n12【解】本题主要考查等差数列的通项公式与等比数列的前n项和公式，考查考生的运算求解能力(1)将已知条件中的a3，S3用首项a1与公差d表示，求得a1，d，即可求得数列an的通项公式；(2)结合(1)利用条件b1a1，b4a15求得公比，然后利用等比数列的前n项和公式进行计算(1)设an的公差为d，则由已知条件得a12d2

20、，3a1d，即a12d2，a1d，解得a11，d，故通项公式为an1，即an.(2)由(1)得b11，b4a158.设bn的公比为q，则q38，从而q2，故bn的前n项和Tn2n1考点二、等差（比）的证明与判断【典例1】 解：（1）设的公比为，由题设可得解得 故的通项公式为（2）由（1）可得由于,故成等差数列变式【解】(1)证明：由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首项为1，公差为2的等差数列(2)由(1)得bn12(n1)，即an1an2n1.于是，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通项公式为ann22n2.考

21、点三、等差（比）数列的性质命题角度一与等差(比)数列的项有关的性质【解析】(1)本题主要考查等比数列的基本概念、基本运算与性质，意在考查考生的运算求解能力由于a1(1q2q4)21，a13，所以q4q260，所以q22(q23舍去)，a3a5a7q2(a1a3a5)22142.故选B.(2)本题主要考查等差数列的性质amanapaq.由S1012得1012，所以a1a10，所以a5a6.故选A.命题角度二与等差(比)数列的和有关的性质【解析】（1）在等比数列an中，S2，S4S2，S6S4也成等比数列，故(S4S2)2S2(S6S4)，则(153)23(S615)解得S663.故选C.(2)3

22、(a3a5)2(a7a10a13)24，6a46a1024，a4a104，S1326.故选B.针对训练1【解析】由a3a4a5a6a725得5a525，所以a55，故a2a82a510.2【解析】a4a5a7a8a4a8a5a7(a4a8)2256.【答案】2563【解析】a10a11a9a122e5，a10a11e5，ln a1ln a2ln a2010ln(a10a11)10ln e550.【巩 固 训 练 】一、选择题1【解析】数列an为等差数列，a1a3a53a33，a31，S55.【答案】A2【解析】由题知3a1d12，a12，解得d2，又a6a15d，a612.故选C.3【解析】由

23、等比数列的性质得，a3a9a0，因此a3，a6，a9一定成等比数列故选D.4【解析】由题意知SS1S4，(2a1d)2a1(4a1d)，把d1代入整理得a1.故选D.5【解析】将anaa1anan1两边同时除以anan1可得1，即bn1bn1，所以bn是公差为d1的等差数列，其前9项和为90，所以b1b920，将b9b18db18，代入得b16，所以b49，b611，所以b4b699.故选B.二、填空题6【解析】设等差数列的首项为a1，根据等差数列的性质可得，a12 01521 010，解得a15.【答案】57【解析】则a1，a4可以看作一元二次方程x29x80的两根，故，或数列an是递增的等

24、比数列，可得公比q2，前n项和Sn2n1.8【解析】等差数列的前n项和为Sn，则Snna1dn2(a1)nn2(7)n，对称轴为，对称轴介于7.5与8.5之间，即7.58.5，解得1d.【答案】三、解答题9.【解】(1)设数列an的公比为q，an为等比数列，q38，q2，an22n12n.(2)设数列bn的公差为d，b3a3238，b5a52532，且bn为等差数列，b5b3242d，d12，b1b32d16，Sn16n126n222n.10、【解】(1)设数列an的公差为d，依题意，2，2d，24d成等比数列，故有(2d)22(24d)，化简得d24d0，解得d0或d4.当d0时，an2；当

25、d4时，an2(n1)44n2，从而得数列an的通项公式为an2或an4n2.(2)当an2时，Sn2n.显然2n60n800，此时不存在正整数n，使得Sn60n800成立当an4n2时，Sn2n2.令2n260n800，即n230n4000，解得n40或n10(舍去)，此时存在正整数n，使得Sn60n800成立，n的最小值为41.综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n，其最小值为41.11【解】(1)证明：因为2an1an2d(n1，2，3)是同一个常数，所以2a1，2a2，2a3，2a4依次构成等比数列(2)不存在，理由如下：令a1da，则a1，a2，a3，

26、a4分别为ad，a，ad，a2d(ad，a2d，d0)假设存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列，则a4(ad)(ad)3，且(ad)6a2(a2d)4.令t，则1(1t)(1t)3，且(1t)6(12t)4，化简得t32t220(*)，且t2t1.将t2t1代入(*)式，t(t1)2(t1)2t23tt13t4t10，则t.显然t不是上面方程的解，矛盾，所以假设不成立因此不存在a1，d，使得a1，a，a，a依次构成等比数列第2讲 数列求和及其综合应用【 真 题 体 验 】1(2015北京高考)设an是等差数列，下列结论中正确的是()A若a1a20，则a2a30B若a1a30，则a

27、1a20C若0a1a2，则a2D若a10，则(a2a1)(a2a3)0【解析】若an是递减的等差数列，则选项A、B都不一定正确若an为公差为0的等差数列，则选项D不正确对于C选项，由条件可知an为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a2，由基本不等式得，所以C正确【答案】C2(2015武汉模拟)已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，则数列的前100项和为()A.B.C. D.【解析】设等差数列an的首项为a1，公差为d.a55，S515，ana1(n1)dn.，数列的前100项和为11.【答案】A3(2015福建高考)等差数列an中，a24，a4a715.(1)求数列an的通

28、项公式；(2)设bn2an2n，求b1b2b3b10的值【解】(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以ana1(n1)dn2.(2)由(1)可得bn2nn，所以b1b2b3b10(21)(222)(233)(21010)(22223210)(12310)211532 101.1当n1时，S1a11，所以1.因为an1Sn1SnSnSn1，所以1，即1，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以(1)(n1)(1)n，所以Sn.2当n1时，a1311，所以a112，当n2时，：a1a2an1an3n1，：a1a2an13(n1)1.得：an(3n1)3(n1)1，即an3，所以an3n1

29、，综上可得：an【答案】3本题主要考查利用递推数列求数列的某一项，通过研究数列的函数特性来解决由于a13，求a21，a32，a43，所以数列an是周期为3的周期数列，所以a2 015a67132a21.命题角度一基本数列求和、分组求和【典例1】(1)设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，则由得解得所以an32(n1)2n1，bn2n1.(2)由a13，an2n1得Snn(n2)，则cn即cnT2n(c1c3c2n1)(c2c4c2n)(22322n1)1(4n1)命题角度二裂项相消法求和【典例2】(1)由题设知a1 a4a2 a38，又a1a49，可解得或(舍去)设等比数列an的公比为q，

30、由a4a1q3得q2，故ana1qn12n1.(2)Sn2n1，又bn，所以Tnb1b2bn1.命题角度三错位相减法求和典例3】(1)设数列an的公比为q，数列bn的公差为d，由题意q0.由已知，有消去d，整理得q42q280.又因为q0，解得q2，所以d2.所以数列an的通项公式为an2n1，nN*；数列bn的通项公式为bn2n1，nN*.(2)由(1)有cn(2n1)2n1，设cn的前n项和为Sn，则Sn120321522(2n3)2n2(2n1)2n1，2Sn121322523(2n3)2n1(2n1)2n，上述两式相减，得Sn122232n(2n1)2n2n13(2n1)2n(2n3)

31、2n3，所以，Sn(2n3)2n3，nN*.针对训练1【解】(1)当n1时，a1S11；当n2时，anSnSn1n.故数列an的通项公式为ann.(2)由(1)知，bn2n(1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n，B12342n，则A22n12，B(12)(34)(2n1)2nn.故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2.2【解】(1)设数列an的公差为d.令n1，得，所以a1a23.令n2，得，所以a2a315.解得a11，d2，所以an2n1.(2)由(1)知bn2n22n1n4n，所以Tn141242n4n，所以4Tn142243n4n1，两式相减，得3Tn41424nn4n1n4n14n1.所以Tn4n1.【典例4】【解】(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn0，Snn2n.于是a1S12，n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：由于an2n，bn，则bn.所以Tn1.变式：【解】(1)证明：an1，化简得2，即2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列(2)由(1