选修11直线与椭圆的位置关系教案

1、适用学科高中数学适用年级高二适用区域苏教版区域课时时长(分钟)2课时知识点直线与椭圆的位置关系。常见的几类问题（交点个数问题、弦长问题、 中点弦问题）教学目标1掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法2掌握有关椭圆弦长问题的求解方法教学重点直线与圆锥曲线的位置关系的判断和弦长的求解教学难点数形结合思想的应用【教学建议】本节课采用创设问题情景学生自主探究师生共同辨析研讨归纳总结组成的“四环节”探究式学习方式，并在教学过程中根据实际情况及时地调整教学方案，通过创设问题情景、学生自主探究、展示学生的研究过程来激励学生的探索勇气【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】直线与圆有哪些位置关系？怎么判断的？想一

2、想：直线与椭圆有哪些位置关系，能用直线与圆的位置关系的判断方法来判断吗？如果不能，你有哪些方法？二、知识讲解考点1 直线与椭圆的位置关系考点1 单调函数的定义胞【问题导思】直线与椭圆的位置关系如何判断？【提示】判断直线l与椭圆C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入椭圆C的方程F(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程，即消去y，得ax2bxc0设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线与椭圆C相交；0直线与椭圆C相切；0，所以m，所以当m0例题1类型二 求中点弦所在的直线方程已知(4，2)是直线l被椭圆1所截得的线段的中

3、点，则l的方程是_【自主解答】方法一：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，且1，两式相减，得又x1x28，y1y24，所以，故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80方法二：设直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，设直线方程为，即联立方程，得，即又x1x28，所以，解得故直线l的方程为y2(x4)，即x2y80【总结与反思】处理中点弦问题常用的求解方法1点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率2根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的

4、方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足例题1类型三 直线与椭圆位置关系的应用设A1，A2与B分别是椭圆E：1(ab0)的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆C：x2y21相切(1)求证：1；(2)直线l与椭圆E交于M，N两点，且0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由【解】(1)已知椭圆E：1(ab0)，A1，A2与B分别是椭圆E的左、右顶点与上顶点，所以A1(a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，直线A2B的方程是1因为直线A2B与圆C：x2

5、y21相切，所以1，即1(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)若直线l的斜率存在，设直线l：ykxm将ykxm代入1，得1，化简，得(b2a2k2)x22a2kmxa2m2a2b20(0)所以x1x2，x1x2，故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2kmm2因为0，所以x1x2y1y20把x1x2，y1y2代入上式，得(a2b2)m2a2b2(1k2)0结合1，得m21k2圆心到直线l的距离为d1，所以直线l与圆C相切若直线l的斜率不存在，设直线l：xn把直线l代入1，得y ，所以|n|，所以a2n2b2(a2n2)，解得n1，所以直线l与圆C相切综上所述，直线

6、l与圆C相切【总结与反思】研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究其直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数对于填空题，充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解例题2在平面直角坐标系xOy中，过点A(2，1)的椭圆C：的左焦点为F，短轴端点为B1、B2，(1)求a、b的值；(2)过点A的直线l与椭圆C的另一交点为Q，与y轴的交点为R，过原点O且平行于l的直线与椭圆的一个交点为P若AQAR3OP2，求直线l的方程【解】(1)因为，所以，因为，所以c2b22b2因为椭圆C过A(2，1)，代入得1由解得a28，b22所以a2，b(2)由题意，设直线l的方程为y1k(x2)由得(x2)(4k21)(x2

7、)(8k4)0因为x20，所以x2，即xQ2由题意，直线OP的方程为ykx由得(14k2)x28，则x因为AQAR3OP2，所以|xQ(2)|0(2)|3x即23，解得k1，或k2当k1时，直线l的方程为xy10，当k2时，直线l的方程为2xy50【总结与反思】涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解四 、课堂运用【基础】1直线ykxk1与椭圆1的位置关系是_2已知椭圆C：1(ab0)，F(，0)为其右焦点，过F且垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C的

8、方程为_答案与解析1【解析】由于直线ykxk1k(x1)1过定点(1，1)，而(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆必相交【答案】相交2【解析】由题意，得解得所以椭圆C的方程为1 【答案】1【巩固】1椭圆y21的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是_2焦点分别为(0，5)和(0，5)的椭圆截直线y3x2所得椭圆的弦的中点的横坐标为，求此椭圆方程答案与解析1【解析】设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x21，y1y21因为A，B在椭圆上，所以y1，y1(y1y2)(y1y2)0，即，即直线AB的斜率为所以直线AB的方程为y，即2x4y30【答案】2x4y302【解】设1(ab0)

9、，且a2b2(5)250由，得(a29b2)x212b2x4b2a2b20，因为，所以，所以a23b2，此时0，由，得a275，b225，所以1【提高】1设椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60，2(1)求椭圆C的离心率；(2)如果AB，求椭圆C的方程答案与解析1【解】设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10)，(1)直线l的方程为y(xc)，其中c联立消去x，得(3a2b2)y22b2cy3b40，解得y1，y2，因为2，所以y12y2，即2，解得离心率e(2)因为AB|y2y1|，所以由得ba所以a，得a3，b所以椭圆C的方程为1

10、五、课堂小结直线与椭圆位置关系的判断、有关椭圆弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型六、课后作业【基础】1若椭圆的弦被点(4，2)平分，则此弦所在直线的斜率为_2过点M(2，0)的直线m与椭圆y21交于P1、P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k10)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为_3斜率为1的直线与椭圆相交于A、B两点，则的最大值为_4椭圆的两个焦点坐标分别为F1(，0)和 F2(，0)，且椭圆过点(

11、1)求椭圆的方程；(2)过点作不与y轴垂直的直线l交椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点，试判断MAN的大小是否为定值，并说明理由答案与解析1 2 34(1)由题意，即可得到y21(2)设直线MN的方程为xky，联立直线MN和曲线C的方程可得得(k24)y2ky0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(2，0)，y1y2，y1y2，则(x12，y1)(x22，y2)(k21)y1y2k(y1y2)0，即可得MAN【巩固】1已知椭圆4x2y21及直线yxm(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程2已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且

12、椭圆经过点M(4，1)，直线交椭圆于不同的两点A，B(1)求该椭圆的方程；(2)求实数m的取值范围3椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是AB的中点，若AB2，OC的斜率为，求椭圆的方程答案与解析1【解】(1)由得5x22mxm210因为直线与椭圆有公共点，所以4m220(m21)0，解得m故m的取值范围为(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，由(1)知，5x22mxm210，所以x1x2，x1x2(m21)设弦长为d，且y1y2(x1m)(x2m)x1x2，所以d所以当m0时，d最大，此时直线方程为yx2(1)由题意可设椭圆的方程为因为，所以又因为椭圆过点

13、M(4，1)，所以，由解得，故椭圆的方程为(2)将代入，整理，得，由题意知，解得，所以实数的取值范围为3【解】解法一：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程并作差，得a(x1x2)(x1x2)b(y1y2)(y1y2)0而1，kOC，代入上式可得ba由方程组得(ab)x22bxb10，所以 x1x2，x1x2再由AB |x2x1|x2x1|2，得44，将ba代入得a，所以 b所以所求椭圆的方程是1解法二：由得(ab)x22bxb10设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则AB因为AB2，所以1设C(x，y)，则x，y1x，因为OC的斜率为，所以 代入，得a，b所以 椭圆方程为1【提高】1已知椭圆C：的一个焦点为，离心率为(1)求椭圆C的标准方程；(2)若动点P(x0，y0)为椭圆外一点，且点P到