高中数学不等式的解法举例解析

1、不等式的解法举例不等式渗透在中学数学各个分支中，应用范围十分广泛，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着密切的联系，许多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明.涉及不等式的内容的考题大致可分为以下几种类型：解不等式； 证明不等式； 取值范围问题； 应用问题. 试题主要有如下特点： （1）突出重点，综合考查.试题中不等式常与函数、数列、解析几何、三角等进行综合. （2）解含参数的不等式能较好地体现等价转化、分类整合、数形结合等数学思想. （3）除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数

2、列、立体几何、解析几何等试题中涉及不等式的知识，加强了不等式作为一种工具作用的考查.1.不等式的解法 不等式的解法，要加强等价转化思想的训练与复习.，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解.(1)解一元一次不等式（组）及一元二次不等式（组）是解其他各类不等式的基础. 简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。(2)解高次不等式、分式不等式，分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先

3、移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。首先使不等式一边是零，一边是一次因式（一次项系数为正）或二次不完全平方式的积与商的形式（注意二次因式恒正恒负的情况），然后用数轴标根法写出解集（尤其要注意不等号中带等号的情形）.(3)解绝对值不等式的常用方法：1）绝对值不等式的解法：分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（答：）；利用绝对值的定义；数形结合；如解不等式（答：）两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_。（答：）含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有

4、.2）含参不等式的解法：讨论法：讨论绝对值中的式子大于零还是小于零，然后去掉绝对值符号，转化为一般不等式. 等价变形：解绝对值不等式常用以下等价变形xa x2a2 axa(a0)xa x2a2 xa或xa(a0) 一般地有：f(x)g(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x) f(x)g(x)或f(x)g(x) 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点

5、值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。对于解含参数不等式，要充分利用不等式性质.对参数的讨论，要不“重复”不“遗漏”.一要考虑参数总的取值范围,二要用同一标准对参数进行划分，三要使得划分后，不等式的解集的表达式是确定的.不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区

6、间上的.恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为. 2.掌握算术平均数与几何平均数定理定理如果a,bR,那么a2b22ab（当且仅当a=b时，取“=”）.定理 如果a,b是正数，那么 (当且仅当a=b时，取“=”)(1)二元均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.(2)创设应用均值不等式的条件、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的成因在于使等号能够成立.(3)“和定积最大，积定和最小”，即2个正数的和为定值，则可求其积的最大值；积为定值，则可求其和的最小值.应用此结论求值要注意三个条件： 各项或因式非负； 和或积为定值； 各项或

7、各因式都能取得相等的值.必要时要作适当的变形，以满足上述前提. “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针3.不等式证明(1)证明不等式的常用方法有：比较法、综合法、分析法和数学归纳法.其他方法如：放缩法、反证法、换元法、判别式法证明不作过高要求. 不等式的性质：同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）； 左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；若，则；若，则。(2)比较法有求差比较法和求商比较法两种模式.求差比

8、较法中的变形可以变成平方和、常数、因式的积；求商比较法要注意对分母的符号进行讨论.比较法在符号确定的前提下，可以转化为乘方问题来解决：如果a，b0,则a2b2 ab. 作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；作商（常用于分数指数幂的代数式）；分析法；平方法；分子（或分母）有理化；利用函数的单调性；寻找中间量或放缩法；常用的放缩技巧有：图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 (3)利用综合法、分析法证明不等式经常使用的基本不等式有： a20,aR; a2b22ab,a,bR; , a,bR;abc3 ,a,b,cR; 利用基本不等式的变式： ,(其中a,bR). a、

9、b、cR，（当且仅当时，取等号）；  若，则（糖水的浓度问题）。分析法是从要证的结论入手，寻找其充分条件，即执果索因；综合法为分析法的逆过程，即由因导果；复杂的不等式证明要注意几种方法的结合使用. (4)涉及到数列或与自然数有关的不等式可考虑数学归纳法的运用,涉及到函数的不等式可考虑构造函数,应用导数来解决.1，不等式的解集是（ A ） A B C D2，若是等差数列，首项，则使前n项和成立的最大自然数n是：（ B ） A4005 B4006 C4007 D40083，的最小值为（ B ）ABCD+4，不等式的解集为（ A ）ABCD5，设函数 ，则使得的自变量的取值范围为 （ A

10、）A B C D6，不等式的解集为（ D ）A B C D7，不等式|x+2|x|的解集是 x|x1 .8，设，函数，则使的的取值范围是（ ）（A）（B）（C） （D）9，若正整数m满足，则m = 。10，已知集合则为 (A) (B)(C) (D)11，已知集合M=x-3x -28 0,N = x|-x-6>0，则MN 为 （A）x|- 4x< -2或3<x7 （B）x|- 4<x -2或 3x<7 （C）x|x - 2或 x> 3 （D）x|x<- 2或x312，设，则 ( ) （A）-2<x<-1 （B）-3<x<-2 （C

11、）-1<x<0 （D）0<x<113，若,则( )(A)a<b<c (B)c<b<a (C)c<a<b (D)b<a<c14若x，y是正数，则的最小值是（ ）A3BC4D15不等式组的解集为( ) (0,)；(B) (,2)；(C) (,4)；(D) (2,4)。16若动点（）在曲线上变化，则的最大值为（ ）ABCD217若的最大值是 . 18 集合R| ，则= .19若集合，则_. 20在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（ ）（A）（B）（C）（D）221若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a

12、+b+c的最小值为（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2解析：若且 所以， ，则()，选D. 22若且，则的最小值是（A） （B）3 （C）2 （D）解：（abc）2a2b2c22ab2ac2bc12（bc）2³12，当且仅当bc时取等号，故选A23不等式:>0的解集为（C）(A)( -2, 1)(B) ( 2, +)(C) ( -2, 1)( 2, +)(D) ( -, -2) ( 1, +)24命题“若，则”的逆否命题是（ ）A若，则或 B.若，则C.若或，则 D.若或，则25若函数f(x) = 的定义域为R，则a的取值范围为_.26某公司有60万元资金，

13、计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为A.36万元万元万元 D.24万元B礼品网 礼品网 嶭吘莒27已知，为实数，且.则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】显然，充分性不成立.又，若和都成立，则同向不等式相加得 即由“”“”28某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨

14、甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是 A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元【答案】D（3，4）（0，6）O（，0）913【解析】设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系： A原料 B原料甲产品吨 3 2 乙产品吨 3 则有： 目标函数 作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，经验证知： 当3，5时可获得最大利润为27万元，故选D29不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）

15、ABw.w.w.k.s.5.u.c.o.m C D【答案】A【解析】因为对任意x恒成立，所以30已知，则的最小值是（ ）A2BC4D5【答案】C解析因为当且仅当，且，即时，取“=”号。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 31设变量满足约束条件则的最大值为（A）0 （B）2（C）4 （D）6解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线过点B时，在y轴上截距最小，z最大由B（2,2）知432已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是A. 3 B. 4 C. D. 解析：考察均值不等式，整理得 即，又，33设变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为A.2

16、 B. 4 C. 6 D. 8 解析：不等式组表示的平面区域如图所示当直线过点B（3,0）的时候，z取得最大值634设，则的最小值是（A）2 （B）4 （C） （D）5解析： 0224当且仅当a5c0,ab1,a(ab)1时等号成立如取a,b,c满足条件.答案：By0x70488070(15,55)35某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超