常见分布的期望和方差

1、罕有散布的期望和方差散布类型概率密度函数期望力差0-1散布B(1,p)ppq二项散布B(n,p)PiPXicnpiqni(q1p),(i1,2,.,n)npnpq泊松散布P(入)PiPXie(i0,1,2,3.)i!入入平均散布U(a,b)f(x)或f(x)2等barab2(ba)212正态散布N(,2)1f(x)J2e2(x,0)2指数散布E(入)一xce,x0f(x)0,x01122散布，2(n)X1,X2,.Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)2丫2丫2丫2X1X2.Xnn2nt散布,t(n)、，2,、,XXN(0,1)Yix(n)tJYn0nn2(n2)概率与数理统计重点摘要

2、1 .正态散布的盘算：F(x)P(Xx)().2 .随机变量函数的概率密度：X是屈服某种散布的随机变量，求Yf(X)的概率密度：fY(y)fX(x)h(y)h(y).(拜见P6672)3.散布函数F(x,y)y f(u,v)dudv具有以下基赋性质:.是变量x,y的非降函数；.0F(x,y)1,对于随意率性固定的x,y有：F(,y)F(x,)0；.F(x,y)关于x右持续，关于y右持续；.对于随意率性的(xi,yi),(x2,y2),xix2,yy2,有下述不等式成立:4 . 一个主要的散布函数:F(x,y) ( arctanx)( arctan2)的概率密度为:232f (x, y)F (x

3、, y)x y62(x2 4)(y2 9)5 .二维随机变量的边沿散布:fX(x)边沿概率密度：fY(y)f (x, y)dyf (x, y)dx边沿散布函数:xFx(x) F(x, )f(u,y)dyduyFy(y) F( ,y)f(x,v)dxdv二维正态散布的边沿散布为一维正态散布6 .随机变量的自力性：若F(x,y) Fx(x)Fy(y)则称随机变量X,Y互相自力.简称X与Y自力.7 .两个自力随机变量之和的概率密度：fZ(z)fX(x)fY(z x)dxfY(y)fX(z y)dy个中Z= X+ Y22222,a 1 b 28.两个自力正态随机变量的线性组合仍屈服正态散布，即ZaXb

4、Y-N(a1b9.期望的性质:(3).E(XY)E(X)E(Y)；(4).若X,Y互相自力，则E(XY)E(X)E(Y).10.方 差： D(X) E(X2) (E(X)2若 X,Y 不相干，则D(X Y) D(X)D(Y)D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y) , D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y)11.协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(Y E(Y),若 X,Y 自力，则 Cov(X,Y) 0,此时称:X与 Y不相干.12.相干系数：xyCov(X,Y) Cov(X,Y) (X) (Y), D(X) ,.D(Y) ,XY1 ,当且仅当X与Y消失线性关

5、系时XY1,且XY1,1,当 b0;当 b0。13.k阶原点矩：vkE(Xk),k 阶中间矩：k E(X E(X)k.14 .切比雪夫不等式:P X E(X)D(X)2，或P X E(X)1吟.贝努利大数定律:1.15 .自力同散布序列的切比雪夫大数定律：因1 nXi n i 1,所以lim PnXi1.16.自力同散布序列的中间极限制理:(1).当n充分大时，自力同散布的随机变量之和Xi的散布近似于正态散布N (n,n2).1 nn1 nE(Xi) , D(X) -D(Xi)n i 1nn i 1,即自力同散 n1n一(2) .对于X1,X2,.Xn的平均值X-Xi,有E(X).布的随机变量

6、的均值当n充分大时,近似屈服正态散布N(n(3) .由上可知：limPaZnb(b)(a)PaZnb(b)(a).n17 .棣莫弗一拉普拉斯中间极限制理：设m是n次自力反复实验中事宜A产生的次数，p是事宜A产生的概率则对随意率性X,limp)翼x(x),个中q1p.n.npq(1) .当n充分大时,m近似屈服正态散布，N(npnpq).(2) .当n充分大时，m近似屈服正态散布，N(p,均.nn18 .参数的矩估量和似然估量：(拜见P200)19 .正态总体参数的区间估量：所估参数前提估量函数置信区间已知u五xuj=,Xuj=_vn_vn*tVnsxt(n1)俣,xt(n1)-snn-nn2(n1)s222(n1)s(n1)s2,22(n1)：(n1)-1-t(Xy)(12)n”2122212小Swnnn222其中s21)S1(n21)S2n1n21，_、，1n1(xy)