菲涅耳公式折反射定律

1、Chapter 1 理论基础1.1介质中的 Maxwell s equations及物质方程vrBE=t rr rD微分形式H =J+rtgD =rgB=0（ 1-1）传导电流密度 J 的单位为安培 / 米 2(A/m 2)，自由电荷密度的单位为库仑 / 米 2(C/m2 )。同时有电磁场对材料介质作用的关系式，即物质方程（或称本构方程）rvvrD = E0 EPrrrrB=H0 ( HM )r v J= E（ 1-2）麦克斯韦方程组及物质方程描写了整个电磁场空间及全时间过程中电磁场的分布及变化情况。因此， 所有关于电磁波的产生及传播问题， 均可归结到在给定的初始条件和边界条件下求解麦克斯韦方

2、程组的问题， 这也正是用以解决光波在各种介质、 各种边界条件下传播问题的关键及核心。1.2积分形式及边界条件v vv v由于两介质分界面上在某些情况下场矢量E 、 D、 B 、 H 发生跃变，因此这些量的导数往往不连续。这时不能在界面上直接应用微分形式的Maxwell s equations，而必须由其积分形式出发导出界面上的边界条件。vrdv urE dlB d S?LgdtSgvrrdvur积分形式 ?L H gdlIdtS Dgd SvurQD dSSgurur0SB d Sg（1-3）Word 文档vvv0n(E2E1 )vvvurn(H 2H1)得边界条件为vvvn (D2D1 )v

3、rvn (B2B1) 0（ 1-4）式（ 1-4）的具体解释依次如下（具体过程详见光学电磁理论P20）：（1）电场强度矢量vvE 的切向分量连续，n 为界面的法向分量。ururv（2）为界面上的面传导电流的线密度。当界面上无传导电流时，=0，此时 H 的切向分量连续。比如在绝缘介质表面无自由电荷和传导电流。（3）为界面上的自由电荷面密度。r（4）磁感应强度矢量B 的法向分量在界面上连续。Chapter 2 电磁波在分层介质中的传播2.1反射定律和折射定律光由一种介质入射到另一种介质时， 在界面上将产生反射和折射。 现假设二介质为均匀、 透明、各向同性介质，分界面为无穷大的平面，入社、反射和折射

4、光均为平面光波，其电场表达式为vrexpi (trr入射波 EEik gr )i0iirrexp i(r trr反射波 ErE0rkr gr )rrexp i (ttrr折射波 EtE0tkt gr )界面两侧的总电场为：rrrrrrrrrtrE1EiErE0i exp i ( i tkir )E0 r exp i (krr )rrrttrrE2EtE0t expi (ktr )由电场的边界条件rrr0 ，有n(E2E )1rrr rrrr trrrrr rnE0i expi( itkir )nE0 r expi (krr )nE0t expi ( t tkt r )欲使上式对任意的时间rt

5、和界面上 r 均成立，则必然有：irt（ 1-5）Word 文档rrrrrrkirkrrktr（1-6）可见，时间频率 是入射电磁波或光波的固有特性，它不因媒质而异，也不会因折射或反射而变化。rrr0(krki )rrrr0（ 1-7）(ktki )rrrrrr由于 r可以在界面选取不同方向，上式实际上意味着矢量(krki ) 和 ( ktki ) 均与界面rrrrr的法线 n 平行，由此可以推知，ki 、 kr 、 kt 与 n 共面，该平面称为 入射面 。由此可得出结论： 反射波和折射波均在入射面。上式是矢量形式的折、反射定律。将上式写成标量形式，并约掉共同的位置量，可得ki cos(i

6、)kr cos(2r )kt cos(t )（ 1-8）22又由于 kin/ c ， krn/ c ， kn/ c ，得11t2i r (反射角等于入射角 )（1-9）n1 sin in2 sin （t折射定律）2.2菲涅耳公式折、反射定律给出了反射波、折射波和入射波 传播方向 之间的关系。 而反射波、 折射波和入射波在振幅和位相之间的定量关系由Fresnel 公式来描述。r电场 E 是矢量，可将其分解为一对正交的电场分量，一个振动方向垂直于入射面，称为s分量，另外一个振动方向在（或者说平行于）入射面，称为p分量。首先 研究入射波仅含 s分量和仅含 p分量这两种特殊情况。当两种分量同时存在时，

7、则只要分别先计算由单个分量成分的折射、反射电场； 然后 根据矢量叠加原理进行矢量相加即可得到结果。（1）单独存在 s 分量的情形首先规定 ：电场和磁场的 s 分量垂直于纸面，向外为正，向为负。在界面上电场切向分量连续：rrr0n (E2E1 )另外由式（1-5）、（ 1-6），可得E0isE0 rsE0ts（ 2-1）在界面上磁场的切向分量连续：Word 文档rrr0n(H 2H 1)r1rr注意 HkE ，如图所示。所以同理有H 0ip cos iH0 rp cos rH 0tp cos trr非磁性各向同性介质中E 、 H 的数值之间的关系：HBn E00cr rE H那么式（ 2-1）整

8、理为n1 E0is cos in1E0 rs cos rn2 E0ts cos t联立式（ 2-1）（ 2-3）可得rsE0 rsn1 cos in2 cos tE0 isn1 cos in2 cos ttsE0ts2n1 cos iE0isn1 cos in2 cos t（2）单独存在p 分量的情形首先 规定 ： p 分量按照其在界面上的投影方向，向右为正，向左为负。rr根据 E 、 H 的边界条件得：H 0isH 0rsH 0tsE0 ip cos iE0rp cos rE0tp cos trr再利用 E 、 H 的数值关系以及正交性，得到E0 rpn cosin costr p21n2

9、cos in1 cos tE0ipE0tp2n1 cos it pn2cos in1 cos tE0ip综上所述， S 波及 P 波的反射系数和透射系数的表达式为：（ 2-2）（ 2-3）Word 文档E0rsn1 cos in2cos trssin(it )rsn1 cos in2cos tsin(t )E0isiE0rpn2 cosin1 costr ptan(it )r pn cosn costan()E0ipitit21E0ts2n1 cos its2cosisinttsn1 cos in2 cos tsin(t )E0isiE0tp2n1 cos it p2cosi sintt pn

10、2 cos in1 cos tsin( it )cos(t )E0ipi上面左边的式子就是著名的 Fresnel 公式。 利用折射定律， Fresnel 公式还可以写成右边的形式。2.3反射波和透射波的性质n1n2 的情况这种情形即由 光密媒质 入射到 光疏媒质 的情形。由折射定律可知，it把 to所对应的入射角称为 全反射临界角 ，用c 表示。即 sincn290n1。因此分ic 和 ic 两种情况来讨论。（1）当ic 时此时 t90o ，可以直接用 Fresnel 公式来讨论反射波和折射波的性质，分析方法和n1n2 还是 n1n2 的情形，布儒斯特定律都成立。t s 和 t p 均大于 1

11、，且随着i 的增大而增大， 但是这不意味着透射率T 大于 1 以及 T 必然随 i的增大而增大。Tsn2 cost|t s |2n1 cosiTpn2 cost|t p |2n1 cosi（2）当ic 时sincn2ic 时，会出现 sin in2因为全反射临界角满足n1。由该式可见，当n1的现象，这显然是不合理的。此时折射定律n1 sin in2 sin t不再成立。但是为了能够将菲涅耳公式用于全反射的情况，在形式上仍然要利用关系式sintn1 sini 。n2由于t 在实数围不存在， 可以将有关参量扩展到复数领域。而i 始终是实参量， 为此应将cost 写成如下的虚数形式：cost1sin

12、 2tisin 2t1i( n1 sini ) 21n2有关 cos 2 取虚数的物理意义及其取正号的原因，留在后面说明。将上式代入菲涅耳公式，得到复反射系数r%scoscosiiisin 2in2rs )isin 2| r%s| exp(iin2%n2cosiisin 2in2%| exp(i rp )rsn2cosisin 2n2| rpiiWord 文档并且有% %|1| rs | | r ptan rsn2 tan r psin 2in222cosi式中，n n2/ n1，是二介质的相对折射率；| rs |、ps分量、p分%| r%| 为反射光与入射光的量光场振幅大小之比。rs 、 r

13、p 为全反射时，反射光中的s 分量、 p 分量光场相对入射光的相位变化。 由上式可见， 发生全反射时， 反射光强等于入射光强， 而反射光的相位变化较复杂。他们之间的相位差由下式决定：cosi sin 2i n2rsrp2arctansin 2i因此，在 n 一定的情况下，适当地控制入射角，即可改变相位差，从而改变反射光的偏振状态。比如菲涅耳棱镜的原理。当光由光密介质射向光疏介质，并在界面上发生全反射时，投射光强为零。 这就有一个问题：此时在光疏介质中有无光场呢？当把 ts、t p 的 Fresnel 公式推广到复数域进行计算，将会发现 t s、t p 都不等于零，亦即光疏媒质有折射光波。在发生

14、全反射时，光波场将透入到第二个介质很薄的一层（约为光波波长）围，这个波叫倏逝波。现假设介质界面为xOy 平面，入射面为xOz 平面，则在一般情况下可将透射波场表示为rri (ttrgrri(ttkt xsin t kt zcos t )EtE0 t expktr )E0 t exp上式可改写为rrexpi(tkxsinikz( n1sin)21)EE0tttitttn2rrk z( n1 sin)21expi(tkx n1 sin)EE expt0ttnittn2i2这是一个沿着 z 方向振幅衰减，沿着界面x 方向传播的非均匀波，也就是全反射的倏逝波。由此可以说明前面讨论的正确性：只有cos

15、t 取虚数形式，并且取正号，才可以得到客观上存在的倏逝波。倏逝波在入射波刚刚达到界面之初需要花一定的能量以建立倏逝波电磁场外，当达到稳定状态之后，不需要再向它提供能量，倏逝波只沿着界面 处传播， 不进入第二媒质部。 因而全反射时 Rs=1、t s0和 Rp=1、 t p0并不违反能量守恒定律。具体性质参看物理光学与应用光学P382.4 Stocks 倒逆关系Stokes reversible relation可以导出不同介质两侧折射系数、反射系数的关系。Word 文档如上左图所示，假设入射光束的振幅为A，相应反射光束与折射光束为Ar，At。再设一束振幅为 Ar 的光束逆向传播（上右图中蓝色光束Ar）相应反射和折