必修二立体几何典型例题

1、必修二立体几何典型例题【知识要点】1.空间直线和平面的位置关系：(1)空间两条直线：有公共点：相交，记作：adb=A其中特殊位置关系：两直线垂直相交.无公共点：平行或异面.平行，记作：allb.异面中特殊位置关系：异面垂直.(2)空间直线与平面：有公共点：直线在平面或直线与平面相交.直线在平面，记作：a.直线与平面相交，记作：an=A,其中特殊位置关系：直线与平面垂直相交.无公共点：直线与平面平行，记作：a/.(3)空间两个平面：有公共点：相交，记作：n=1,其中特殊位置关系：两平面垂直相交.无公共点：平行，记作：/.2.空间作为推理依据的公理和定理：(1)四个公理与等角定理：公理1:如果一条

2、直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在此平面.公理2:过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行.定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.(2)空间中线面平行、垂直的性质与判定定理：判定定理：如果平面外一条直线与此平面的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.如果一个平面的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.如果一条直线与一个平面的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那

3、么这两个平面互相垂直.性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直.(3)我们把上述判定定理与性质定理进展整理，得到下面的位置关系图：直线1直线*.直线_L平面.平面1平面【例题分析】例2在四B隹PABCW,底面ABC匿平行四边形，MN分别是ABPC的中点，求证：MN/平面PAD出现了中点的条件，因此可考虑构造(添加)中位线辅助证明.证明：方法一，取PD中点E,连接AE,NE底面ABCD1

4、平行四边形，MN分别是ABPC的中点,1八MATCDMACD.2E是PD的中点,1”.NE/CDNECD.2MA/NE且MA=NE .AENM1平行四边形，MN/AE又AE平面PADMN平面PAD .MN/平面PAD方法二取CD中点F,连接MFNF MF/AQNF/PD 平面MNF/平面PAD .MN/平面PAD【评述】关于直线和平面平行的问题，可归纳如下方法:证明线线平行：a/c,b/c,a/a,a(3a/3a±a,b±aan3=bAa=a,n3=ba/ba/ba/ba/b(2)证明线面平行:aAa=a/ba/3ba,aaa3a/aa/aa/a(3)证明面面平行:an3=

5、a/3,b/3a±a,a±3a/,3/a,ba,adb=Aa/3a/3a/3aII§例3在直三棱柱ABCABCi中，AA=AGABLA。求证：AQBC.【分析】要证明“线线垂直，可通过“线面垂直进展转化，因此设法证明AC垂直于经过BC的平面即可.证明：连接AC.ABC-ABQ是直三棱柱，AA，平面ABC .ABLAA.又ABLAC.ABL平面AACC,.AC±AB.又AA=AC 侧面AACC是正方形，.AC±AC.由，得AC平面ABC,.AC±BC.【评述】空间中直线和平面垂直关系的论证往往是以“线面垂直为核心展开的.如此题条件中出现

6、的“直三棱柱''及"ABLAC都要将其向“线面垂直进展转化.例4在三B隹PABC43,平面PABL平面ABCABLBCAPIPB,求证：平面PAC_平面PBC【分析】要证明“面面垂直，可通过“线面垂直进展转化，而“线面垂直又可以通过“线线垂直进展转化.证明：.平面PABL平面ABC平面PA日平面ABC=AB且AB!BC .BCL平面PAB APIBC又APIPR.API平面PBC又AP平面PAC平面PACE平面PBC(1)证明面面垂直:例5 如图，在斜三棱柱 ABC- ABC中，侧面A1ABB是菱形,且垂直于底面ABC / AAB= 60° ,E, F分别是

7、 AB, BC的中点.(I )求证：直线EF/平面AACC;(n )在线段AB上确定一点 G,使平面EFGL平面ABC并给出证明.证明：(I )连接AC, AE.侧面AiABB是菱形，E是AB的中点，.E也是AiB的中点，又F是BC的中点，EF/ AC.AC 平面 AiACC, EF 平面 AiACC,直线EF/平面AACC.,BG 1 , (2)解：当时，平面EFGL平面ABC证明如下：GA 3【评述】关于直线和平面垂直的问题，可归纳如下方法:(1)证明线线垂直:a±c,bIIc,a±abaa±ba±b(1)证明线面垂直:aXmaXna“b,bXaaH

8、3,a，3a-L3，an3=lmna,rrPn=Aa3,alla±aa±aa±aa±a连接EGFG侧面AABB是菱形，且/AAB=60°,.AAB是等边三角形.BG1.E是AB的中点，-,.EGLABGA3平面AABBL平面ABC且平面AABBA平面ABC=AB，EGL平面ABC又EG平面EFG平面£尸区平面ABC例6如图，正三棱柱ABC-ABC中，E是AC的中点.(I)求证：平面BEC平面ACCA;(n)求证：AB/平面BEC.【分析】此题给出的三棱柱不是直立形式的直观图，这种情况下对空间想象能力提出了更高的要求，可以根据几何体自身

9、的性质，适当添加辅助线帮助思考.证明：(I).ABGABC是正三棱柱，AA，平面ABC.BE!AA.ABB正三角形，E是AC的中点，BE!AC，BE1平面ACCA,又BE平面BEC,平面BEC,平面ACGA1.(n)证明：连接BC,设BCnBC=D.BCCB是矩形，D是BC的中点，DE/AB.又DE平面BEC,AB平面BEC,，AB/平面BEC.例7在四锥PABCDK平面PADL平面ABCDAB/DCPAD等边三角形，BD=2AD=8,AB2DC4屈.(I)设M是PC上的一点，证明：平面MBD_平面PAD(n)求四棱锥P-ABCD勺体积.【分析】此题中的数量关系较多，可考虑从“算的角度入手分析

10、，如从M是PC上的动点分析知，MBMD1点M的变动而运动，因此可考虑平面MBD“不动''的直线BD是否垂直平面PAD证明：(I)在ABD43,由于AD=4,BD=8,AB4/5,所以aD+bD=aB故ADLBD又平面PADL平面ABCD平面PADT平面ABCD=ADBD平面ABCD所以BDL平面PAD又BD平面MBD故平面MBD平面PAD(n)解：过P作POLAD交AD于O由于平面PADL平面ABCD所以POL平面ABCD因此PO为四锥P-ABCD勺高，3又4PA星边长为4的等边三角形.因此PO242J3.在底面四边形ABC丽，AB/DCAB=2DC所以四边形ABCD1梯形，在

11、RtAADE,余边AB边上的高为ABCD勺高，254585所以四边形ABCD勺面积为S八5。4"5"24.故25Vpabcd12423163.3练习一、选择题：1.mn是两条不同直线，是三个不同平面，以下命题中正确的选项是()(A)假设m/,n/,那么m/n(B)假设mL,n±,刃B么mHn(C)假设±,±,那么/(D)假设m/,m/,那么/2.直线mn和平囿，,且mln,ml,那么()(A)n±(B)n/,或n(C)n±(D)n/,或n3.设a,b是两条直线，、是两个平囿，那么ab的一个充分条件是()(A)a±,

12、b/,±(B)a±,b1,/(C)a,b±，/(D)a,b/4.设直线m与平面相交但不垂直，那么以下说法中正确的选项是()(A)在平面有且只有一条直线与直线m垂直(B)过直线m有且只有一个平面与平面垂直(C)与直线m垂直的直线不可能与平面平行(D)与直线m平行的平面不可能与平面垂直、填空题：5 .在三棱锥P-ABO43,PAPB屈,平面PABL平面ABCPAhPRABLBC/BAC=30°,那么PC=.6 .在直四棱柱ABCD-ABCD中，当底面ABC附足条件时，有AC，BD.(只要求写出一种条件即可)7 .设，是两个不同的平面，m,n是平面，之外的两条

13、不同直线，给出四个论断：mln(2)±n±mL以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出正确的一个命题.8 .平面，平面，n=I,点AC,Al,直线AB/l,直线ACLl,直线m,m/,给出以下四种位置：AB/mAC!mAB/;AC!上述四种位置关系中，不一定成立的结论的序号是三、解答题：9 .如图，三棱锥与八、M, N分别为PA BC的中P- ABC勺三个侧面均为边长是 1的等边三角形,(I)求MN勺长；(n)求证：PA!BCBD的中点.求证:10 .如图，在四面体ABC由，CB=CDAdBD且E、F分别是AB文档./ BAD- / FAB= 90 ,FD的中点

14、.(I)直线EF/平面ACD(n)平面EFCL平面BCD11 .如图，平面ABEFL平面ABCD四边形ABEFWABC阴是直角梯形,11一、BC/ADBC-AD,BE/AF,BEAF,G,H分别为FA22(I)证明：四边形BCH俚平行四边形；(n)GD,F,E四点是否共面？为什么？(出)设AB=BE证明：平面ADEL平面CDE专题七立体几何参考答案练习一、选择题：1.B2.D3.C4.B二、填空题：5.J106.ACLBD或能得出此结论的其他条件)7.、；或、8.三、解答题：9 .(I)解：连接MBMC 三棱锥PABC勺三个侧面均为边长是1的等边三角形， MBMC亨，且底面ABC&是边

15、长为1的等边三角形.N为BC的中点，.MN_BC在RtAMNE,MNJMB2BN7"(n)证明：m是PA的中点， .PALMB同理PALMCMB?MC-M|PA，平面MBC又BC平面MBCPA!BC10 .证明：(I).EF分别是ABBD的中点，EF是ABD勺中位线，EF/AD又EF平面ACDAD平面ACD，直线EF/平面ACD(n).EF/AD,ADLBQ，EF±BD.CB=CDF是BD的中点，CF±BD.CFAEF=F,，BDL平面CEF.BD平面BCD平面EFCL平面BCDB11.1(I)由题意知，FG=GAFHHDGH/ADGH-AD,2p-1又BC/ADBC-AD,.GH/BC,GHkBG2四边形BCH俚平行四边形.（n）GD,F,E四点共面.理由如下：,一一一1一一一,由BE/AF,BF