离散时间信号与系统基础讲义

1、学习目标学习目标 P42: 2(2)(3)(4) 3 4(1) 6(2) 7 8(3)(4)(5)(6)(7) 10 12 14(1)(2) x(n)代表第n个序列值， 在数值上等于信号的采样值x(n)只在n为整数时才有意义一、离散时间信号序列( )ax t( )()at nTax tx nTn ()ax nT.(),(0),( ),(2 ),.aaaaxTxx TxT序列：对模拟信号 进行等间隔采样，采样间隔为T，得到 n取整数。对于不同的n值， 是一个有序的数字序列： 该数字序列就是离散时间信号。实际信号处理中，这些数字序列值按顺序存放于存贮器中，此时nT代表的是前后顺序。为简化，不写采样

2、间隔，形成x(n)信号，称为序列。 序列 x(n) = 2, 1.2, -1.4, 3, 1, 4, 3.1 ,7 用向量表示序列 ： 位置 n = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 数值 x = 2, 1.2, -1.4, 3, 1, 4, 3.1 ,7 若采样从n = 0 开始，可用x向量表示序列 x(n) (注意：Matlab数组的下标是从1开始) n为整数 移位 翻褶 和 积 累加 差分 时间尺度变换 卷积和序列x(n)，当m0时x(n-m)：延时/右移m位x(n+m)：超前/左移m位 x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶 同序列号n的序列值逐项对

3、应相加12( )( )( )x nx nx n同序号n的序列值逐项对应相乘12( )( )( )x nx nx n( )( )nky nx k前向差分： 后向差分：( )(1)( )x nx nx n( )( )(1)x nx nx n( )(1)x nx n ( )(1)x nx n 抽取 插值 ()nxm( )( )()( )at nTat mnTx nx tx mnx t()x mn设两序列x(n)、 h(n)，则其卷积和定义为：( )( ) ()( )( )my nx m h nmx nh nn ( )( )( )( )()x nx mh nh mhm1）翻褶：()()h mh n m

4、2）移位：( )()x mh nmm 3）相乘：( ) ()mx m h nm4）相加：举例说明卷积过程 n-2, y(n)=0n=-1n=0n=1y(-1)=8y(0)=6+4=10y(1)=4+3+6=13n=5n=6n=7y(5)=-1+1=0y(6)=0.5y(n)=0, n7y(n) 卷积和与两序列的前后次序无关( )( )( )( ) ()my nx nh nx m h nm() ( )n kx nk h k nmkmnk令 则 ( ) ()( )( )kh k x nkh nx n1）单位抽样序列10( )00nnn2）单位阶跃序列10( )00nu nn( )( )(1)nu

5、nu n0( )()( )(1)(2).mu nnmnnn( )nkk与单位抽样序列的关系3）矩形序列101( )0nNnNRn其它( )( )()NRnu nu nN10( )()( )(1).(1)NNmRnnmnnnN 与其他序列的关系 4）实指数序列 为实数( )( )nx na u na5）复指数序列00()( )jnjnnx neee00cos()sin()nnenjen0为数字域频率jnn3x(n)=0.9 e例：6）正弦序列0( )sin()x nAn( )( )sin()at nTx nx tAnT0/sTf 0：数字域频率：模拟域频率T：采样周期sf ：采样频率( )sin

6、()ax tAt 模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率7）任意序列x(n)可以表示成单位取样序列的移位加权和，也可表示成与单位取样序列的卷积和。( )( ) ()( )( )mx nx mnmx nn( )2 (1)( )x nnn1.5 (1)(2)nn0.5 (3)n例：若对所有n存在一个最小的正整数N，满足则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。( )()x nx nNn 例：因此，x(n)是周期为8的周期序列( )sin()sin(8)44x nnn0( )sin()x nAn()( )( )x nNx nx nN要使，即为周期为 的周期序列000()sin()s

7、in()x nNAnNAnN0022NkNkNkkN则要求，即， ， 为整数，且 的取值保证 是最小的正整数1）当 为整数时2）当 为有理数时3）当 为无理数时02020200221( )kx n1）当为整数时，取，即是周期为的周期序列02sin()8448nN0如， ， 该序列是周期为 的周期序列0022( )PPQQkQNPx nP2）当为有理数时，表示成， ， 为互为素数的整数取，则，即是周期为 的周期序列04425sin()5525n0如， ， ， 该序列是周期为 的周期序列02( )kNx n3）当为无理数时，取任何整数 都不能使 为正整数，不是周期序列0112sin()844n0如

8、， ， 该序列不是周期序列()()666()n NnNjjx nNee 解：( )( )()26x nx nx nNNkNk若为周期序列，则必须满足，即满足，且 ， 为整数例：判断()6( )njx ne是否是周期序列12kNk而不论 取什么整数，都是一个无理数( )x n不是周期序列讨论：若一个正弦信号是由连续信号抽样得到，则抽样时间间隔T和连续正弦信号的周期T0之间应是什么关系才能使所得到的抽样序列仍然是周期序列？ 0( )sin()x tAt00( )( )sin()sin()t nTx nx tAnTAn0000021/2 /fTf 000022TTf TT 002TT设连续正弦信号：

9、抽样序列：当为整数或有理数时，x(n)为周期序列令：0NTkT0TNTk3( )sin(2)14x nn00032142143NTkT0143 ( )14TTx n当时，为周期为的周期序列例：N，k为互为素数的正整数即N个抽样间隔应等于k个连续正弦信号周期序列的能量为序列各抽样值的平方和2( )nEx n 二、线性移不变系统离散时间系统T x(n)y(n)( ) ( )y nT x n T 记为：若系统满足叠加原理：或同时满足：可加性：比例性/齐次性：其中：则此系统为线性系统。1 1221122( )( )( )( )T a x na x na y na y n1212 ( )( )( )(

10、)T x nx ny ny n11( )( )T ax nay n12,a a a为常数11( ) ( )y nT x n22( )( )y nT x n T 1112( ) ( )( )sin()97y nT x nx nn解：设2222( )( )( )sin()97y nT x nx nn12122 ( )( ) ( )( )sin()97T x nx nx nx nn1222( )sin()( )sin()9797x nnx nn112( )( )sin()97T ax nax nn1( )ay na， 为常数该系统是线性系统2( )( )sin()97y nx nn例：判断系统是否线

11、性12( )( )y ny n满足可加性满足比例性例：证明由线性方程表示的系统( )( )y nax nb, a b为常数是非线性系统111( ) ( )( )y nT x nax nb证：设222( )( )( )y nT x nax nb1212 ( )( ) ( )( )T x nx na x nx nb12( )( )y ny n该系统是非线性系统12( )( )ax nax nb不满足可加性线性系统满足线性系统满足叠加原理的直叠加原理的直接结果：零输接结果：零输入产生零输出。入产生零输出。增量线性系统 线性系统x(n)y0(n)y(n)( )( )y nax nb若系统响应与激励加于

12、系统的时刻无关，则称为移不变系统（或时不变系统）Tx(n)( ) ()()y nT x nmy nmm对移不变系统，若则 ， 为任意整数2 ()()sin()97T x nmx nmn解：2()()sin()97y nmx nmnm ()T x nm该系统不是移不变系统例：试判断2( )( )sin()97y nx nn是否是移不变系统同时具有线性和移不变性的离散时间系统称为线性移不变系统LSI：Linear Shift Invariant 单位抽样响应h(n)是指输入为单位抽样序列 时的系统输出：( )n( ) ( )h nTnT ( )n( )h n对LSI系统，讨论对任意输入的系统输出T

13、 x(n)y(n)( )( ) ()mx nx mnm任意输入序列： ( ) ( )( ) ()my nT x nTx mnm系统输出：( ) ()mx m Tnm，线性性( ) ( )() ()h nTnh nmTnm( ) ( )iiiiiiTa x naT x n ( ) ()mx m h nm， 移不变性( )( )x nh n一个LSI系统可以用单位抽样响应h(n)来表征，任意输入的系统输出等于输入序列和该单位抽样响应h(n)的卷积和。 LSIh(n)x(n)y(n)( )( )( )y nx nh n( )( )* ( )y nx nh n解：( ) ()mx m h nm( )(

14、 )01nh na u na( )( )()x nu nu nNLSI例：某系统，其单位抽样响应为：输入序列为：求系统输出。0nN当时0( )( ) ()1nn mmmy nx m h nma(1)1011nnnmnmaaaaa0( )0ny n当时nN当时( )( ) ()my nx m h nm11001NNn mnmmmaaa111Nnaaa(1)11001( )0111nnNnnay nanNaaanNa01nN 时0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n时( )( )( )( )( )( )( )NMx nx n Rnh nh n Rny n若求输出MN1)

15、当1NnM 时10( )( ) ()Nmy nx m h nm2MnNM 时11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n时例：例：01nM 时0( )( ) ()nmy nx m h nm0( )0ny n时MN2) 当1MnN 时1( )( ) ()nm n My nx m h nm 2NnNM 时11( )( ) ()Nm n My nx m h nm 1( )0nNMy n时思考: 当x(n)的非零区间为N1,N2，h(n)的非零区间为M1,M2时，求解系统的输出y(n)又如何分段？结论： 若有限长序列x(n)的长度为N，h(n)的长度为M，则其卷积和

16、的长度L为： L=N+M-1交换律h(n)x(n)y(n)x(n)h(n)y(n)( )( )( )( )( )y nx nh nh nx n结合律h1(n)x(n)h2(n)y(n)h2(n)x(n)h1(n)y(n)h1(n)*h2(n)x(n)y(n)1221( )*( )*( )( )*( )*( )x nh nh nx nh nh n12( )( )*( )h nh nh n( )( )* ( )y nx nh n分配律1212( )* ( )( )( )*( )( )*( )x nh nh nx nh nx nh nh1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)x(n)y(n)h

17、2(n)若系统(指任意系统) n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而与n时刻以后的输入无关，则称该系统为因果系统。( )00h nnLSI系统是因果系统的充要条件：稳定系统(指任意系统)是有界输入产生有界输出的系统若( )x nM ( )nh nP LSI系统是稳定系统的充要条件：( )y nP 则0( )0nh n解：讨论因果性： 时 该系统是非因果系统讨论稳定性：00( )nnnnnh naa11111aaa11aa当时系统稳定，当时系统不稳定例：某LSI系统，其单位抽样响应为( )()nh na un试讨论其是否是因果的、稳定的。结论：因果稳定的LSI系统的单位抽样响应

18、是因果的，且是绝对可和的，即： ( ) ( )( )nh nh n u nh n 三、常系数线性差分方程00()()NMkmkma y nkb x nm01kmaab ，是常数其中：求解常系数线性差分方程的方法：1）经典解法2）递推解法3）变换域方法例1：已知常系数线性差分方程若边界条件求其单位抽样响应。( )(1)( )y nay nx n( 1)0y ( )( )( )( )( 1)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知23( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(2)(1)(2)(3)(2)(3)( )0ny nay nx nyayxyayxayayxay

19、ayxay nan由，得，1(1) ( )( )1( 2) ( 1)( 1)01( 3) ( 2)( 2)0( )01y ny nx nayyxayyxay nn 由，得，( )( )( )nh ny na u n例2：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件求其单位抽样响应。(0)0y( )( )( )( )(0)0 x nny nh ny解：令输入，则输出，又已知( )(1)( )(1)(0)(1)0(2)(1)(2)0( )01y nay nx nyayxyayxy nn由，得，1231(1) ( )( )11( 1) (0)(0)1( 2) ( 1)( 1)1( 3) ( 2)( 2)(

20、 )1ny ny nx nayyxaaayyxaayyxaay nan 由，得，( )( )(1)nh ny na un 例3：已知常系数线性差分方程同上例若边界条件讨论系统的线性性和移不变性。( 1)1y 111( )( )( 1)1( )x nnyy n解：1）令输入，由，求输出111111111211131111( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)(1)(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)0ny nay nx nyayxayayxa ayayxaayayxa ay naan由，得，11111112111111(1)( )( )1( 2)( 1

21、)( 1)1( 3)( 2)( 2)( )1ny ny nx nayyxaayyxaay nan 由，得，11( )(1)( )(1)nny na a u naun 222( )(1)( 1)1( )x nnyy n2）令输入，由，求输出2222222222222222222122( )(1)( )(0)( 1)(0)(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxayayxa ayayxaay naan由，得，2221211(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步骤 ），由得，2112( )(

22、)(1)(1)(1)nny nanaau naun 31233( )( )( )( )(1)( 1)1( )x nx nx nnnyy n3）令输入，由，求输出3333332333233322333123( )(1)( )(0)( 1)(0)1(1)(0)(1)1(2)(1)(2)(1)(3)(2)(3)(1)( )(1)1ny nay nx nyayxayayxaayayxa aayayxaaay naaan由，得，3331311(1)( )( )( )1ny ny nx nay nan 同步骤 ），由得，213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun 4）结

23、论：2112( )( )(1)(1)(1)nny nanaau naun 2( )(1)x nn当输入时，输出1( )( )x nn当输入时，输出11( )(1)( )(1)nny na a u naun 2121( )(1)( )(1)( 1)1x nx ny ny ny由于，而边界条件下的系统不是移不变系统312( )( )( )( )(1)x nx nx nnn当输入时，输出213( )(1) ( )(1)(1)ny nanaaau n1(1)naun ( 1)1y 边界条件下的系统不是线性系统不满足可加性12( )( )y ny n 一个差分方程不能唯一确定一个系统 常系数线性差分方程

24、描述的系统不一定是线性移不变的 不一定是因果的 不一定是稳定的差分方程 系统结构Z-1ax(n)y(n)( )(1)( )y nay nx n四、连续时间信号的抽样( )( )aax tx t ( )( )( )aaTx tx tpt0 ( )( )( )aaTx tx tt当 采样前后信号频谱的变化 什么条件下，可以从采样信号不失真地恢复出原信号冲激函数： ( )( )( )() ()aaTamx tx ttx mTtmT0()aXj求理想抽样的频谱( )()TmttmT理想抽样输出：1()()2aTXjjjd2()( )()TTskjDTFTtkT 1()( )()*()2aaaTXjDT

25、FT x tXjj 12()()2askXjkdT 1() ()askXjkdT 1()askXjjkT()( )( )j taaaXjDTFT x tx t edt ( )21sjktTkksstA efTT 其中: 为级数的基频，为采样频率222211( )()ssTTjktjktkTTTmAt edttmT edtTT系数: 1()( )sjktTTkjDTFTtDTFT eT 其频谱：122()()sskkkkTT 2211( )sTjktTt edtTT1( )sjktTkteT()11ssjktjktj tkkeedtedtTT 抽样信号的频谱是模拟信号频谱以抽样频率为周期进行周期延拓而成 频谱幅度是原信号频谱幅度的1/T倍 若信号的最高频率 22shs ， 为折叠频率则延拓分量产生频谱混叠要想抽样后能够不失真地还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率22shshff 即利用低通滤波器还原满足奈奎斯特抽样定理的抽样信号。2()02ssTH j s/2-s/2T 0H(j)Hj()a