MATLAB实现迭代法最佳松弛因子的选取

1、.迭代法最佳松弛因子的选取一、问题提出 :430针对矩阵 A 341 ，b=24;30;-24, 用 SOR 迭代求解。并选出最佳松弛014因子。理论分析221.24 。做出 ( L ) 关于函数11(J)110.625的图像。二、理论基础选取分裂矩阵 M 为带参数的下三角矩阵 M1 (D wL) ,其中 w>0为可选择的松弛因子 .w于是, 由x( 0)(初始向量 ) ,)可构造一个迭代法 , 其迭代矩阵x( k1)Bx (k)(k=0,1,f为LwIw DwL)1 A(=( DwL ) 1 (1w)DwU ).从而得到解 Ax=b 的主次逐次超松弛迭代法.解 Ax=b 的 SOR方法

2、为x (0 ) (初始向量 )x (k 1)Bx (k )(k=0,1, ,) (1)f其中Lw = (DwL) 1 (1w) DwU ). （2）fw(DwL ) 1 b下面给出解 Ax=b 的 SOR迭代法的分量计算公式 . 记x( k)( x1(k ) ,., x( k ),., xn (k ) ) T ,i由 (1) 式可得( D wL)x (k 1)(1w)DwU ) x( k )wb ,Dx ( k 1)Dx ( k )w(bLx (k 1)Ux ( k)Dx (k ) ). （3）由此 , 得到解 Ax=b 的 SOR方法的计算公式'.x (0)( x1(0 )( 0 )

3、,., xn ) T ,( k 1)( k )i1n( k )xiw (bik 1) / aiixij1aij x jaij x j(4)j i(i1,2,., n; k0,1),w 为松弛因子 .或x( 0)( x1(0) ,., xn (0 ) ) T ,xi (k 1)xi ( k)xi ,i1n.xiw(biaij x j(k 1)aij x j (k ) / aii ) (5)j1j i(i1,2,., n; k0,1,.),w为松弛因子 . 若要求选取出最佳松弛因子，则有两种方法：、给出 w 的最佳范围，当取不同的 w 值时，会求出不同的谱半径 R 的值，然后判断出值最小的谱半径。

4、 那么这个最小的谱半径所对应的 w ，即为所求最佳松弛因子。、给出 w 的最佳范围，当取不同的 w 值时，由（ 2）式进行迭代，看它们在相同精度范围内的迭代次数， 找出迭代次数最低的那一个， 其所应用的 w 即为最佳松弛因子。三、实验内容：松弛因子、谱半径和迭代次数的关系：w11.011.021.031.041.041.061.07R0.62500.61740.60960.60160.59330.58480.57600.5669h3130302928272626w1.081.091.101.111.121.131.141.15R0.55750.54780.53770.52710.51610.5

5、0460.49240.4797h2525242323222121w1.161.171.181.191.201.211.221.23R0.46610.45160.43590.41890.40000.37860.35320.3205h2019191817161515w1.241.251.261.271.281.291.30R0.25600.25000.26000.27000.28000.29000.3000h14151515151515从表格中可以看出，迭代次数随着松弛因子的增长而呈现先减后增的趋势，当谱半径最小时， 其迭代次数最小。 则表示出谱半径最小时， 其松弛因子为最佳松弛因子。'.

6、w 和 R 的关系图如下：0.650.60.550.50.450.40.350.30.250.211.051.11.151.21.251.31.351.4图像中，其横坐标表示松弛因子，纵坐标表示谱半径。从图中可以看出，随着松弛因子的增长，谱半径先是呈递减趋势，当达到最小值 1.24 时，呈上升趋势。四、结果分析：通过这次的实验，我们知道了关于怎样选取最佳松弛因子的方法和理论。了解了最佳松弛因子与系数矩阵谱半径之间的关系， 即谱半径越小那么其所对应的松弛因子越佳， 且迭代次数越小。 所得结果与理论结果相符， 即最佳松弛因子是 1.24，表格及图象显示出，越接近理论值，误差越小！参考文献1. 数值

7、分析，李庆扬，王能超， 易大义， 2001，清华大学出版社 （第四版） 。2. 数值方法，关治，陆金甫， 2006，清华大学出版社。3. 数值分析与实验学习指导，蔡大用， 2001，清华大学出版社。4. 数值分析与实验，薛毅， 2005，北京工业大学出版社。'.附录：程序如下：A=4,3,0;3,4,-1;0,-1,4;%系数矩阵 %b=24;30;-24;D=diag(diag(A);%A 的对角矩阵 %U=-triu(A,1) ;%A 上三角矩阵 %L=-tril(A,-1);%A 的下三角矩阵 %m=;t=;%创建两个空矩阵分别存放相对应的谱半径和记录迭代次数%for w=1:0

8、.01:1.3;%取 w 的值 %q=(D-w*L);p=inv(q);%求 q 的逆 %lw=p*(1-w)*D+w*U);%求得迭代矩阵 %V=eig(lw);%计算迭代矩阵的特征向量%R=max(abs(V);%找出绝对值最大的谱半径%m=m,R;plot(w,R,'o');%画出 w 和 R 的关系图 %hold onf=(D-w*L)b*w;x0=0;0;0;%取迭代初值 %y=lw*x0+f;n=1;while norm(y-x0)>=1.0e-6%迭代条件 %f=(D-w*L)b*w;x0=y;y=lw*x0+f;n=n+1;endt=t,n;endh,k=min(t); %h 记录最小的迭代次数， k 记录第几个数最小 % 求解过程g=1.0+(k-