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文档简介

1、 Wallis公式及其应用本文讲述Wallis公式，以及它的推导过程。然后讲述Wallis公式的两个重要应用，即推导Stirling公式和求解Euler-Poisson积分。 Contens     1. 什么是Wallis公式    2. Wallis公式的推导过程    3. 利用Wallis公式推导Stirling公式    4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分  1. 什么是

2、Wallis公式    Wallis公式是关于圆周率的无穷乘积的公式，公式内容如下        其中，开方后还可以写成      1 / 82. Wallis公式的推导过程    Wallis公式的推导采用对在区间内的积分完成，令        用部分积分法得到如下推导过程   

3、;      进一步得到        所以继续得到        所以最终得到        由的单调性可知        即得到        由两边夹挤准则得到&#

4、160;       这样就推导出了Wallis公式。  3. 利用Wallis公式推导Stirling公式    斯特林公式如下        接下来利用Wallis公式来推导斯特林公式。    借助函数的图像面积，通常有三种求法，分别是积分法，内接梯形分割法，外切梯形分割法。实   际上最准确的是第一种，后面两种都有一定误差。  &#

5、160; 对于积分法求面积有        对于内接梯形分割法有        很容易知道，令，很容易证明为有界递增序列，则        接下来令，则有极限，设        则根据Wallis公式得到        

6、进一步化简得到        所以最终得到        带入原式得到斯特林公式      4. 利用Wallis公式求解Euler-Poisson积分    在上面，我通过Wallis公式完美地推导了斯特林公式，接下来继续看Wallis公式的另一个应用，即求解   Euler-Poisson积分。    E

7、uler-Poisson积分是无限区间上的非正常积分        它在概率论等数学分支以及其它自然科学中都有重要应用，由于它的被积函数的原函数不能用初等函数表示，   因此不能用牛顿-莱布尼兹公式求它的值。现在我就用上面学到的Wallis公式来求解。    借助函数在时取得最大值1，因此对于任何，都有，从   而得到和，所以        对任意自然数都有        由于        那么，我们又知道        即得到不等式为        同时取平方后得到&#

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