离散时间信号及其Z变换

1、第第3131节节 离散时间信号离散时间信号一、序列一、序列离散时间信号的定义离散时间信号的定义 信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数信号是指仅在不连续的离散时刻有确定函数值的信号，简称离散信号，也称离散序列。值的信号，简称离散信号，也称离散序列。 时间上离散的数据在时域内表示为信号，其时间上离散的数据在时域内表示为信号，其只在离散时刻才有定义。工程上是从连续时间信号经抽样只在离散时刻才有定义。工程上是从连续时间信号经抽样得到的离散时间信号。得到的离散时间信号。)(tfRsT每隔时间间隔 闭合一次St)(tf012344.504.51234n-1-2-34.343.13.83.52.50.7)

2、(nf)(nf 7 . 0,5 . 2,5 . 3,4,5 . 4,3 . 4,8 . 3,1 . 3)(0nnf第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 1、单位抽样（脉冲）序列、单位抽样（脉冲）序列)(n 0 00 1)(nnn knknkn 0 1)( 第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 2、单位阶跃序列、单位阶跃序列)(nu 0)()(,0 00 1)(mmnnunnnu 也也可可表表示示为为： knknknu 0 1)(第第3 3章章

3、第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 3、矩形序列、矩形序列)(nRN)()()( 010 1)(NnununRnNnnRNN 或或）其其他他R4(n)01231n第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 4、单边指数序列、单边指数序列0123n)(nuan-1110 a0123n)(nuan-111a0123n)(nuan-111a)()(nuanxn 0123n)(nuan-1101a0123n)(nuan-111a-10123n)(nuan-111a-1-1

4、4第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 5、斜变序列、斜变序列)()(nunnR 第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 6、正弦、余弦序列、正弦、余弦序列数数字字角角频频率率。余余弦弦：正正弦弦：000cos)(sin)( nnxnnx 第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 6、正弦、余弦序列、正弦、余弦序列 周期序列：如果对所有周期序列：如果对所有n n存在一个最小的

5、正整数存在一个最小的正整数N N，使下面等，使下面等式成立：式成立： x(n)=x(n+N), -nx(n)=x(n+N), -n 则称序列则称序列x(n)x(n)为周期性序列，周期为为周期性序列，周期为N N，注意，注意N N要取整数。要取整数。正弦序列的周期性：正弦序列的周期性：必须为整数或有理数！必须为整数或有理数！条件：条件：正弦序列是周期序列的正弦序列是周期序列的或或即：即：要满足：要满足：0000002222)sin(sin mNmNmNNnn 第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 6、正弦、余弦序列、正弦

6、、余弦序列。是周期序列（是周期序列（为有理数为有理数即：即：例如：例如：)2,11,2112114sin)(0 mNnnx 第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 6、正弦、余弦序列、正弦、余弦序列不是周期序列。不是周期序列。为无理数为无理数即：即：再例如：再例如：,10251sin)(0 nnx0123nn51sin-1-21456789 10 11 120.20.390.560.840.720.930.9910.970.910.81-0.2-0.390.680.520.330.14-0.06-0.2613 14 15

7、16 17第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 7、复指数序列、复指数序列 202sincos)(000)2(00000 或或的有效取值区间为：的有效取值区间为：即即为周期的周期函数！为周期的周期函数！在频域是以在频域是以由此可得：复指数序列由此可得：复指数序列为正整数）为正整数）（取整数，则有：取整数，则有：由于由于keennjnenxknjnjnj第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号二、基本序列（离散时间信号）二、基本序列（离散时间信号） 8、用单位脉冲序列、用单位脉冲序列 表示任意的序列表示任

8、意的序列)(n)(nx kknkxknkxnxnxnxnxnxnx)()()()()2()2()1()1( )()0()1()1()2()2()( 0n)(nf123-2-112-1-2-3)2()2()1(3)0(1)1(0)2()1()3(2)( nf例例如如：第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 1、相加、相加 两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相加。两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相加。)()()(nynxnz序列的累加（求和）：序列的累加（求和）：nmmxny)()(。与与过过去去所所有有时时刻刻值值的的和和的的值值当当前前时

9、时刻刻的的值值是是当当前前时时刻刻表表示示nnxnny)()(0n)(nf12-11-1230n)(ny12-11233224求和第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 2、相乘、相乘 两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相乘。两个序列同序号（同一时刻）的序列值对应相乘。)()()(nynxnz序列的数乘：序列的数乘：)()(nxany第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 3、移位（延时）、移位（延时）)()(mnxnz为为负负时时是是左左移移。右右移移，为为正正时时是是，则则的的移移位位序序列列，

10、若若是是表表示示mmnnxnz0)()(第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 4、反褶（转置）、反褶（转置）)()(nxnz第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 5、尺度变换、尺度变换压缩和扩展压缩和扩展 序列的压缩也称为序列的抽取，即将序列中的某些值序列的压缩也称为序列的抽取，即将序列中的某些值去除后剩下的序列值按次序重新排列，其结果使序列缩短。去除后剩下的序列值按次序重新排列，其结果使序列缩短。)()()(为正整数为正整数AAnxnz第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序

11、列的运算三、序列的运算 5、尺度变换、尺度变换压缩和扩展压缩和扩展 序列的扩展也称为序列的延伸（补零、内插零值），是序列的扩展也称为序列的延伸（补零、内插零值），是在原序列的相邻序号之间插入零值，重新排列使原序列延长。在原序列的相邻序号之间插入零值，重新排列使原序列延长。 )(0), 2, 1, 0;()()(AknkAknAnxnz第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 6、差分运算、差分运算 差分是指同一个序列中相邻序列号的两个序列值之差，差分是指同一个序列中相邻序列号的两个序列值之差，根据所取序列相邻次序的不同分为前向差分和后向差分。根据所取

12、序列相邻次序的不同分为前向差分和后向差分。)()1()()()1()(nxnxnxnxnxnx 后向差分：后向差分：前向差分：前向差分：)()()()(11nxnxnxnxmmmm 高阶差分运算是对序列作连续多次的差分运算：高阶差分运算是对序列作连续多次的差分运算：)2()1(2)()1()()()(2 nxnxnxnxnxnxnx例如：例如：第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 7、卷积运算、卷积运算图解示例图解示例 nkknxkxnxnx02121)()()()(01n)(1nf12220n)(2nf132321101k12220k)(2kf

13、1323211)(1kf0k)(2kf23-2-111、置换、置换 2、反褶反褶第第3 3章章 第第1 1节节 离散时间信号离散时间信号三、序列的运算三、序列的运算 7、卷积运算、卷积运算图解示例图解示例01k122133)(1kf)3(2kf21201k1222133)(1kf)4(2kf212401k1222133)(1kf)5(2kf224501k1222133)(1kf)(2knf22n2n1n3、移位、移位 4、相乘、相乘 5、求和求和02n)(ny10721113455101n)(1nf12220n)(2nf1323211y(0)=2 y(1)=7 y(2)=11y(3)=10 y

14、(4)=5 y(5)=1*第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换一、一、Z Z变换的定义变换的定义 1、由冲激抽样信号的拉普拉斯变换来定义、由冲激抽样信号的拉普拉斯变换来定义 nssnsTssnTtnTfnTttfttftfTtf)()()()()()()()( 信信号号为为：的的冲冲激激抽抽样样，可可得得抽抽样样进进行行间间隔隔为为对对连连续续信信号号 -n-nLLssnTsssssenTfnTtnTftfsF)()()()()( ，可得：，可得：对其进行拉普拉斯变换对其进行拉普拉斯变换。因因果果序序列列：变变换换单单边边工工程程上上，变变换换双双边边的的函函数数为为：则

15、则可可得得一一个个令令0, 0)(Z)()(Z)()(),()(,0 nnxznxzXznxzXznTxnxeznnsSTsn-n第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换一、一、Z Z变换的定义变换的定义 2、直接定义、直接定义连连续续的的复复变变量量变变换换单单边边变变换换双双边边变变换换定定义义为为：的的序序列列zznxzXznxzXznxnn 0Z)()(Z)()()(n-n第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 1、收敛条件和收敛域的定义、收敛条件和收敛域的定义 序列的序列的Z Z变换是一个幂级数，只有收敛时才

16、有意义。根据变换是一个幂级数，只有收敛时才有意义。根据级数收敛的条件可得，级数收敛的条件可得，X X( (z z) )收敛的条件是级数绝对可和。收敛的条件是级数绝对可和。 |)(| nnznx 收敛域的收敛域的定义：使序列定义：使序列x x( (n n) )的的Z Z变换变换X X( (z z) )收敛的复平面上所有收敛的复平面上所有Z Z的集合，可用图形来表示，称为该的集合，可用图形来表示，称为该Z Z 变换的收敛域。记为变换的收敛域。记为ROCROCRegion of ConvergenceRegion of Convergence0RezImzjImzjRezRezImzja0aaabb

17、0aa第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 2、收敛性的判定方法、收敛性的判定方法 nnnnznxa)(若有正项级数：若有正项级数：（1 1）比值判别法）比值判别法（2 2） 根值判别法根值判别法Raannn 1lim不不定定发发散散收收敛敛111RRRRannn lim第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 2、收敛性的判定方法、收敛性的判定方法)()(nuanxn 例如：已知序列例如：已知序列 010)()(ZnnnnnazzazX变换为：变换为：则其则其或或由由Razaa

18、nnn 11limazazzzazXzXaz ,111)()(1收收敛敛，且且时时，可可得得：Razaznnn 11lim第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响 （1）有限长序列（有始有终序列）有限长序列（有始有终序列） 在有限区间内，有非零的有限值的序列在有限区间内，有非零的有限值的序列 ，则，则2121)()(nnnznxzXnnnn )(nxRezImzj0有限长序列收敛域：有限长序列收敛域：n10， n20时，时， 0zn10时，时， 00时，时， 0z 第第3 3章章 第第2

19、 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响 （2）右边序列（有始无终序列）右边序列（有始无终序列） 右边序列是指序列右边序列是指序列。时时当当0)(,),(1 nxnnnx nnznxzXnnn11)()(11)(lim1)(limxxnnnnnRzzRnxznx 收敛半径收敛半径Imzj1xRRez圆外为收敛域圆外为收敛域02xRImzjRez第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响 （3）左边序列（无

20、始有终序列）左边序列（无始有终序列） 左边序列是指序列左边序列是指序列。时时当当0)(,),(2 nxnnnx22)()(nnznxzXnnn 2)()(nnnznxzX或或：2)(lim1)(lim1)(lim1xnnnnnnnRnxzznxznx 收敛半径收敛半径圆内为收敛域，圆内为收敛域，若若 则不包括则不包括z=0z=0点点02n0ImzjRez 有环状收敛域有环状收敛域第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响 （4）双边序列（无始无终序列）双边序列（无始无终序列） 双边序列双边

21、序列变变换换为为：其其Z,),( nnx 10)()()()(nnnnnnznxznxznxzX圆内收敛圆内收敛圆外收敛圆外收敛2xR1xR12xxRR 没有收敛域没有收敛域12xxRR0第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响例：例：)8()(31)()3( nununxn有限长序列有限长序列)()(11)(31)(31783181318131801 zzzzzzzXnn3131283180)(82 zzezezKjkj 8 8个零点个零点7 7阶极点阶极点1 1阶极点阶极点收敛域为除

22、了收敛域为除了 0 0 和和 的整个的整个 平面平面zRezImzj0第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响例：例：)(31)()1(nunxn 右边序列31311131)(101 zzzzzXnn311 xR31 z311xR31ImzjRez0第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响) 1(31)()2( nunxn例：例：左边序列左边序列313111)3(13131)(10

23、1111 zzzzzzzXmmmmnmnn001311)3(lim22 znRzzxnnn收敛半径收敛半径圆内为收敛域，圆内为收敛域，若若 则不包括则不包括z=0z=0点点02n2xR31ImzjRez0第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换二、二、Z Z变换的收敛域变换的收敛域 3、序列特性对收敛域的影响、序列特性对收敛域的影响例：例：nnx 31)()4(双边序列双边序列)(3(31133131)(3138101 zzzzzzzzzXnnnnn331 zImzjRez0331第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换三、典型序列的三、典型序列的Z Z变换

24、变换 1、单位抽样（冲激）序列、单位抽样（冲激）序列1)()( nnznzX 。收收敛敛域域：即即： zn01)( 第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换三、典型序列的三、典型序列的Z Z变换变换 2、单位阶跃序列、单位阶跃序列11)(210 zzzzzzXnn。收收敛敛域域：即即：11)( zzznu第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换三、典型序列的三、典型序列的Z Z变换变换 3、矩形序列、矩形序列1)1(210111)( zzzzzzzXNNnn。收收敛敛域域：即即： zzznRNN011)(1第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变

25、换变换三、典型序列的三、典型序列的Z Z变换变换 4、斜变序列、斜变序列20)1()()( zznznunZTzXnn。收收敛敛域域：即即：1)1()(2 zzznun第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换三、典型序列的三、典型序列的Z Z变换变换 5、单边指数序列、单边指数序列 00)()(nnnnnnazzzazanuazXZT。收收敛敛域域：即即：azazznuan )(第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换三、典型序列的三、典型序列的Z Z变换变换 6、正、余弦序列、正、余弦序列)1(1cos2sin2/ )(2/ )(sin0200000000

26、00 zzzzjezzezzjeeZTnZTezzeZTezzeZTjjnjnjjnjjnj 所以：所以：，因为：因为：)1(1cos2)cos(2/ )(2/ )(cos02000000 zzzzzezzezzeeZTnZTjjnjnj 第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 1、线性、线性 yyxxRzRzYnyZTRzRzXnxZT, )()(, )()(若若：* *即满足均匀性与叠加性；即满足均匀性与叠加性；* *收敛域为两者重叠部分。收敛域为两者重叠部分。),min(),max()()()()( yxyxRRzRRzbYzaXnb

27、ynaxZT收敛域：收敛域：则：则：第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质平平面面。到到整整个个扩扩大大，收收敛敛域域由由处处的的零零、极极点点相相互互抵抵消消由由线线性性性性质质可可得得则则解解：设设变变换换。的的例例：求求序序列列zazazazaazzzYzXnynxZTnuanuaZTazazazYazazzzXnuanynuanxanuanuannnnnn 1)()()()()1()()()()()()1()(, )()(Z0),1()(第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 2

28、、移位性（时移性）、移位性（时移性） 10)()()(;)()(mkkmmxxmzkxzXzmnxZTRzRzXzmnxZT则：则： xxRzRzXnxZT, )()(若若：例：求序列例：求序列x(n)=u(n)-u(n-3)x(n)=u(n)-u(n-3)的的z z变换。变换。1,111)(1,11)3(1,1)(22223 zzzzzzzznxZTzzzzzznuZTzzznuZT解解：第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 3、z域微分特性（线性加权特性）域微分特性（线性加权特性） xxRzRzXnxZT, )()(若若： xxRzR

29、zXdzdznnxZT, )()(则：则：)()()()()()()()()()()()(,)()(11zXdzdznxnZTdzzdXznnxZTznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXkkknnnnnnnnnn ，即即，对对其其两两端端求求导导得得证证明明：第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 3、z域微分特性（线性加权特性）域微分特性（线性加权特性）2)()()()(z)()(z)()(azzaazzdzdzzXdzdznunaZTnunaazzzXnuanxnnn 解解：由由微微分分特特性性可可得得变变换换。

30、的的试试求求序序列列，变变换换的的例例：已已知知序序列列第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 4、z域尺度变换特性（序列指数加权特性）域尺度变换特性（序列指数加权特性） xxnRazRaazXnxaZT;)()(则：则： xxRzRzXnxZT, )()(若若： xxxxnnnnnnRazRaRazRazXaznxznxanxaZ即即证明：证明：;)()()()(第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 4、z域尺度变换特性（序列指数加权特性）域尺度变换特性（序列指数加权特性）00000

31、0)1/()/()()()(1)(z)()()(,)(z)()( jjjjnjnjezzezezezEnyZTzYzzzEnunuanyeazYnueny 则则变变换换为为：的的又又已已知知。则则解解：设设。变变换换的的例例：试试求求序序列列第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 5、时域卷积特性、时域卷积特性,min,max)()()()()()(, )()(, )()()()()()()( hxhxhhxxmRRzRRzHzXnhnxZTnyZTzYRzRzHnhZTRzRzXnxZTmnhmxnhnxny收敛域：收敛域：则：则：，若：

32、若：卷积：卷积：第第3 3章章 第第2 2节节 序列的序列的Z Z变换变换四、四、Z Z变换的性质变换的性质 5、时域卷积特性、时域卷积特性)()()()()()(11)()()()(1)1()()()1(1)()(1),1()()(),()(1111nuazYZTnhnxnyazazzazzzzzHzXzYazazzzazzazznuanuaZTzHzzznuZTzXanuanuanhnunxnnnnn 由由时时域域卷卷积积特特性性可可得得又又解解：的的卷卷积积。例例：试试求求两两序序列列第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换 已知序列已知序列x(n)的的Z Z变换变

33、换X(z)及其收敛域及其收敛域ROC，求序列，求序列x(n)称为称为Z Z反变换。序列的反变换。序列的Z Z变换及其变换及其Z Z反变换表示如下：反变换表示如下： 求求Z Z反变换的方法：反变换的方法： 1. 1. 围线积分法围线积分法 2. 2. 幂级数展开法幂级数展开法( (长除法长除法) ) 3. 3. 部分分式展开法部分分式展开法),(,)(21)(,)()(1 xxcnxxnnRRcdzzzXjnxRzRznxzX 第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换一、围线积分法（用留数定理）一、围线积分法（用留数定理） 如果如果X X( (z z) )z zn n-1-

34、1在围线在围线c c内的极点用内的极点用z zk k表示，表示， 根据留数根据留数定理：定理： 式中式中 表示表示被积函数被积函数X X( (z z) )z zn n-1-1在极点在极点z=zz=zk k的留的留数，数，Z Z反变换则是围线反变换则是围线c c内所有的内所有的极点留数之和。极点留数之和。 kkncnzzzXsdzzzXjnx,)(Re)(21)(11 1Re ( ),nks X z zz xxRzR收收敛敛域域：第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换一、围线积分法（用留数定理）一、围线积分法（用留数定理） 如果如果z zk k是一阶极点，是一阶极点， 则

35、根据留数定理则根据留数定理如果如果z zk k是是N N阶极点，阶极点， 则根据留数定理则根据留数定理11111Re ( ), ()( )(1)!kNnNnkkz zNds X z zzz zX z zNdz11Re ( ),()( )knnkkz zs X z zzzzX z z第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换一、围线积分法（用留数定理）一、围线积分法（用留数定理） 例例1 1 解：解： ?)(1)5 . 0)(1(12)(23 nxzzzzzzzX求求。，已知已知)(1nxz 必然是因果序列，右边序列。必然是因果序列，右边序列。mmzznnnzznzzzzzz

36、szzXsnx 1231)5 .0)(1(12Re)(Re)(0, 5 . 0, 1, 10, 5 . 0, 1, 05 . 0, 1, 23214,32121 zzznzzznzzn第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换一、围线积分法（用留数定理）一、围线积分法（用留数定理） nznznzzzzzzzznxn)5 . 0(1381125 . 012)(2) 1 (5 . 02321232 11386)5 . 0(138)5 . 0)(1(12)(0)2(00223 zzzzzznxn5 . 3)5 . 0(1382)5 . 0(138)5 . 0)(1(12)(1)3

37、(1023 zzzzzznxn第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换二、幂级数展开法（长除法）二、幂级数展开法（长除法） 按照按照Z Z变换的定义：变换的定义： 可以用长除法将可以用长除法将X(z)写成幂级数形式，级数的系数写成幂级数形式，级数的系数就是序列就是序列x(n)。 注意：在进行长除前，要先根据给定的收敛域是圆注意：在进行长除前，要先根据给定的收敛域是圆外域还是圆内域，确定外域还是圆内域，确定x(n)是右边序列还是左边序列。是右边序列还是左边序列。如果如果x(n)是右边序列，级数应是负幂级数；是右边序列，级数应是负幂级数； 如如x(n)是左是左边序列，级数则是

38、正幂级数。边序列，级数则是正幂级数。 xxnnRzRznxzX,)()(第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换二、幂级数展开法（长除法）二、幂级数展开法（长除法）?)()(11)(1 nxazazzX求求。，已知已知 例例2 2 解：解： 用长除法展开：用长除法展开： )(nxaz 必然是因果序列，右边序列。必然是因果序列，右边序列。1221112222111aza zazazaza za z 11az第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换二、幂级数展开法（长除法）二、幂级数展开法（长除法）?)(11)(1nxazazzX求求。，已知已知 例例2

39、 2 解：解： 用长除法展开：用长除法展开： )(nxaz必然是因果序列，右边序列。必然是因果序列，右边序列。122330( )1( )( )nnnnX zaza za za zx na u n , 1),2(),1(),0()(2aaxxxnx 即即)(nxaz 第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换二、幂级数展开法（长除法）二、幂级数展开法（长除法）az 讨论：讨论：若将收敛域换为若将收敛域换为 ，则：，则： 用长除法展开：用长除法展开： )(nxaz 是左边序列。是左边序列。12233111222211azazazazazazazaz11 az第第3 3章章 第第

40、3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换二、幂级数展开法（长除法）二、幂级数展开法（长除法）,),3(),2(),1()(321 aaaxxxnx即即由长除结果可得：由长除结果可得： 1122( )( )(1)nnnnX za za za zx na un 第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换三、部分分式展开法三、部分分式展开法 部分分式展开法是将部分分式展开法是将X(z)展成简单的部分分式之和，展成简单的部分分式之和，然后获得各部分分式的然后获得各部分分式的z z反变换，最后将它们相加即可得反变换，最后将它们相加即可得序列序列x(n)。kkkkrrrrzazaza

41、azbzbzbbzX 11101110)(000abArkkmmmpzzAAzX10)(00ArkkmmmzpAzX111)( kmmmpzAzzX1)(zzX)(只有一阶极点：只有一阶极点：，Am 是是 在在pm 处的留数。处的留数。第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换三、部分分式展开法三、部分分式展开法mmpzmpzmpzzzXzzXsA )()()(Re)()()(01nAnupAnxnmkmm )(Rz )(Rz )()1()(01nAnupAnxnmkmm 第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换三、部分分式展开法三、部分分式展开法 S

42、jjjMmmmzzBpzzAAzX110)( jzsjjsjsjzzXzdzdjsB )()()!(1式中：式中：除了除了M个一阶极点外，还有一个个一阶极点外，还有一个s阶高阶极点，则：阶高阶极点，则：第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换三、部分分式展开法三、部分分式展开法?)(2)2)(1(485)(223 nxzzzzzzX求求。，已知已知 例例3 3 解：解：6)()2(5)()2()!12(11)()1(Re1)(Re)2(21)(210)2)(1(485)(2222211201221212122321 iizzzzizzXzBzzXzdzdBzzXzsAzz

43、XzsAzBzBzAzAzzXzzzzzzzzzzX对二阶极点：对二阶极点：对一阶极点：对一阶极点：，由此可得展开式：，由此可得展开式：还有一个二阶极点还有一个二阶极点，和和可知其有两个一阶极点可知其有两个一阶极点由由第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换三、部分分式展开法三、部分分式展开法?)(2)2)(1(485)(223 nxzzzzzzX求求。，已知已知 例例3 3 解：解：)(2)35()1()(26)(25)()()(, 2)2(62511)(12nunnununnununnxzzzzzzzzXnnn 列，由此可得：列，由此可得：序列为右边（因果）序序列为右

44、边（因果）序由以上计算结果可得：由以上计算结果可得：第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换用用MATLABMATLAB实现实现Z Z的正、反变换的正、反变换一、一、Z Z变换的命令：变换的命令： 1 1、F=ztrans(f)F=ztrans(f)（常用）（常用） 对连续时间信号对连续时间信号f(t)的抽样值的抽样值f(nT)进行进行Z Z变换。若信号变换。若信号f的变量是的变量是z z，则得到复变量的，则得到复变量的z z变换函数。变换函数。 2 2、F=ztrans(f,w)F=ztrans(f,w) 得到复变量的得到复变量的Z Z变换函数。变换函数。 3 3、F=

45、ztrans(f,k,w)F=ztrans(f,k,w) 对连续时间信号对连续时间信号f(t)的抽样值的抽样值f(kT)进行进行Z Z变换。变换。第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换用用MATLABMATLAB实现实现Z Z的正、反变换的正、反变换一、一、Z Z变换的命令：变换的命令：例：例：解：解： syms a z n Tsyms a z n T f=a(n f=a(n* *T)T) F=factor(ztrans(f) % F=factor(ztrans(f) %做因式分解处理做因式分解处理 运行结果为：运行结果为： f=a(n f=a(n* *T)T) F=z/(z-exp(log(a) F=z/(z-exp(log(a)* *T)T) 即表示：即表示：变换。变换。的的求求z)(tatf 变换的程序为：变换的程序为：，则，则的采样值为的采样值为z)()(nTtanTfatf 。则：则：若若1)(, 1,)(ln zzzFaezzzFaT第第3 3章章 第第3 3节节 序列的序列的Z Z反变换反变换用用MATLABMATLAB实现实现Z Z的正、反变换的正、反变换二、二、Z Z反变换的命令：反变换的命令： 1 1、f=iztran