《概率论》§1数学期望 - 《概率论与数理统计》课件

1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2 2/32/32 8 910154045 8 910351055 8159401045930835910105592015404589109.310010010035105589109.2100100100第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3 3/32/32第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征4 4/32/32 8 910154045 8 910351055 80.1590.40100.459.3,XX 8 9100.150.400.45kXp31()kkkE Xx p第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数

2、字特征5 5/32/321212kkkxxxXpppxP Xr.v X1|,kkkxp r.v X1() kkkE Xx p1kkkxP Xx第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征6 6/32/32X 112233 1500200025003000XXXX付款付款(10),XEXPY15001P YP X0861. 021200010/21101dxeXPYPx0779. 032250010/32101dxeXPYPx7408. 03300010/3101dxeXPYPx1/101100 xedx0.095215002000250030000.0952 0.0861 0.0779

3、0.7408kYp0, 0 ,0,101)(10 xxexfx41 ( )kkkE Yy P Yy1500 0.0952 2000 0.0861 2500 0.0779 3000 0.74082732.172732.17第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征7 7/32/32(), ()XE X ,0,1,2,!kP XkekkX X0()kE XkP Xk0!kkkek11(1)!kkek 0!iieiee1ki 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征8 8/32/32( ,), ()Xb n pE X0()(1)nkknknkppE Xk C ,(0,1),p q0

4、( , )()nkknknnkp qC p qpq11 nkknknkkC pqp1()nn pq1,qp110()nkknnkpqE Xpk C1()np n pqnp?第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征9 9/32/321|kkkxp 1|kkkxp 1()kkkE Xx p()E Xkkx p1|,kkkxp ()E X第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1010/32/321212kkkxxxXpppxP Xr.v X1|,kkkxp r.v X1() kkkE Xx p1kkkxP Xx( ), ()XE X ( , ), ()Xb n pE Xnp第四

5、章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1111/32/32|( )xf x dx r.v X( ),f x()( )E Xx f x dxr.v X( )E X| | ( ),x f x dx第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1212/32/32( , ), ()XU a bE XX1, ( ) 0 ,axbbafx ()( )E Xx fx dx ？)(XEbaxdxba2212baba2ab第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1313/32/322(,), ()XNE X ()( )E Xx fx dx22()212xxedx 22()21()2xxe

6、dx2222()()221()2xxedxxedx22222122ttedttedx0 ？)(XE第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1414/32/32X/1,0( ) 0 , 0 xexfxx()( )E Xx fx dxX()E X01xxedx0()xxxed0ttedt第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1515/32/3210k k(1,2,).k k10k91011416036524941011.436524 10第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1616/32/3212,nXXX12min,nZXXXn. x,X0001,( ) 0

7、, xxexxfxxx12,nXXX( ).f xmin( )1 1( )nFzF z 1min( )( )1( )nfznf zF z000/1,/ 0 , zxnezxnzx00/1( )/zxnxE ZzedznZn/0/xn0 xn0001,( ) 0 , zxezxF zzx 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1717/32/32r.v XCauchy2( ), 111fxxx ().E X()( )E Xx fx dx21 1xdxx02|1( )1 xxf x dxdxx021 2dxxx0221 1 xdx0)21ln(1x()E X第四章第四章 随机变量的数字

8、特征随机变量的数字特征1818/32/32第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1919/32/322WkVV,(0)k ( )Xfx( )yg x()()E YE g X( ),()Xf xYg X( )YYfy()( )YE Yyfy dy( )( )( ( )Yfyhy f h y( )yg x( ),xh y()( )YE Yy fy dy( )( ( )yhy f h ydy ( ( )( )y f h ydh y ( ) ( )g x fx dx令令( )xh y( )E Y()( )E Xxfx dx ( ()( ) ( )EXx f x dxgg第四章第四章 随机变

9、量的数字特征随机变量的数字特征2020/32/32( )yg xX,1,2,kkP Xxpk1|()|,kkkg xp 1()( ) ()kkkg xpE YE g XX( ),fx|( ) |( ),g xfx dx ( ) ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2121/32/32(0,),VUaW2 (0 ).WkVk()E WV1, 0( )0, vaaf v2 ()( )E Wkv f v dv02akv dva213ka213ka第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2222/32/32dfbYE)(si

10、n|)( ), 0(Usin| bY 0 sin|db|2 blYOxy), 0(b, lOlY设设 lyl(0, 2)U(,)22Ub(0,)2U第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2323/32/32(300,500)XU12 1 , 500()1() , 300aaXYh XXaXXaa300500a YYX( )E Y5003001( )200h xdx500130021()200aaxax dxadx21( 3260090000)800aa ()( )( )XE h Xh x fx dx( )1( 62600)0800dE Yada433.3a 第四章第四章 随机变量的

11、数字特征随机变量的数字特征2424/32/32( ,)zg x y,X Y, ,1,2,ijijP Xx Yypi j11|(,) |,ijijijg xyp () (,)E ZE g X Y|( ,) |( ,),g x yfx y dxdy ( ) (, )E ZE g X Y( ,),fx y,X Y( , ) ( , )g x y f x y dxdy11(,)ijijjig xyp 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2525/32/32)(XYE0)(YXE? 0)(22 YXE0?),(YX1:22 yxG()( , )E XYxyf x y dxdy2211xyx

12、ydxdy21200cossindd 123001sin 22dd Jyx 1020 sincos 雅可比式 xyyxg),(第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2626/32/32)(),(),(),(yfYxfXyxfYXYXdxdyyxfyxYXE),()()(dxdyyxfydxdyyxxf),(),(dydxyxfydxdyyxfx),(),(dyyyfdxxxfYX)()()()(YEXE)()()(YEXEYXEYX、bXEa)().( eabXa)()(XcEcXEcyxyxg),()()()(YEXEXYE,X Y)(),(),(),(yfYxfXyxfYXYX

13、 , ( ,)( )( )XYX Yf x yfx fy ()( ,)E XYxyfx y dxdy( )( )XYxyfx fy dxdy( )( )XYx fx dxy fy dy()()E X E YcXE)().( eacX 12,naaa12,nXXX11()()nniiiiiiEa Xa E X12,nXXX1212()()()()nnE X XXE XE XE X第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2727/32/32),(YX, , 0 , 10 ,15),(2其其它它xyxyyxf. )( , )( , )(XYEYEXE( ,)fx y( ),( )XYfxf

14、y()( )()( )XYE Xxfx dxE Yyfy dy()( , )E Xxf x y dxdy xyxg),( dxdyyxfxXE),()(10215xydxdyxyx10dx65315105dxxxdyyx02215 dxdyyxfyYE),()(10215xydxdyxyy10dxxdyxy031585415105dxx dxdyyxfxyXYE),()(281520115yxxyxy dxdy 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2828/32/32引引)(101XE)(1 1020109)( 784. 8次 0iX ().E XX 1, 1,2,10 0, i

15、iXii202020991010 0() , 11() ,1,2,10iiP XP Xi 1210XXXX 1210()()()()E XE XE XE X 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2929/32/32N111, 01,1,2,iiP XP XiNNN 21()()()()NE XE XE XE X1()N E X)( 11人人NN令令 1, 1,2, 0, iiXiNi12NXXXX 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3030/32/32kXPpknkkkpXE0)(n kkMNMnNC CC,0,1,2,kn0n kknMNMnNkC CkCNMn

16、X().E X的分布律为的分布律为XX令令 1, 1,2, 0, iiXininkkXX11, 0,1,2,kkNMMP XP XknNNnkkXEXE1)()(1(10)nkNMMNN nMN0n kknMNMnkNC CnMkNC第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征3131/32/321111XPXPp22XPp4125()16 kkE Xkp6437431336474333323133CCCXPp64141434XPp321312233342CCCC. )(XEXX)41162541003123()(min,) E XEXXX 1/4 , 1,2,3,4 (1,2,3)iP Xkki1234123112233,1min ,k