成考数学—数列

1、2.2 2.2 等差数列等差数列第二章第二章 数列数列 一定顺序一定顺序 项项 cm11111252526262727282829293022222（1）全国统一鞋号中成年男鞋的各种尺码（表示鞋底长，单位:）分别是：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， (2)某此系统抽样所抽取的样本号分别是: 7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.(3)某长跑运动员7天里每天的训练量（单位：m）是： 7500，8000，8500，9000，10000，10500.（观察以下数列）（观察以下数列）1、等差数列的定义、等差数列的定义 如果一个数列如果一个数列从第从第2项起项起，每一项与其

2、前一项的差每一项与其前一项的差等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做，那么这个数列就叫做等差等差数列，这个常数叫数列，这个常数叫做等差数列的做等差数列的公差公差，公差通常用字母，公差通常用字母d表示。表示。（1）指出定义中的关键词：）指出定义中的关键词：从第从第2项起项起等于同一个常数等于同一个常数由定义得等差数列的递推公式：由定义得等差数列的递推公式：1(nnaad d是常数）每一项与其前一项的差每一项与其前一项的差 练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项不是？如果是，写出首项a a1 1和公差和公差d, d, 如果不

3、是，如果不是，说明理由。说明理由。(1) 1, 1, 1, 1, 1.(2) 4,7,10,13,16.(3)3, 2, 1,1,2,3.(4) 1,2,3,4,5,2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1.nnaada思考：已知等差数列的首项为 ，公差为 ，求根据等差数列的定义得到根据等差数列的定义得到21aad ，21aad所以32aad ，43aad ，3211()2aadaddad4311 (2 )3aadaddad1(1)naand由此得到(2)n 11na当时，上面等式两边均为 ，即等式也成立1(1)naand等差数列的通项公式为例例1 求等差数列求等差数列8，5，2，的第的第

4、20项项.-401是不是等差数列是不是等差数列-5，-9，-13，的项？的项？ 如果是，是第几项？如果是，是第几项？解：解：由由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得，得 a20=8+(20-1) (-3)=-49.由由a1=-5，d =-9-(-5)=-4,得到这个数列的通项公式得到这个数列的通项公式为为an=-5-4(n-1).由题意得由题意得-401=-5-4(n-1),解这个关于解这个关于n的方程，得的方程，得n=100，即，即-401是这个数列的第是这个数列的第100项项.例例2 2 在等差数列在等差数列an中，已知中，已知 a5=10,a12=31, ,求首项求首项a1与公差与公

5、差d . .这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得： a1+ 4d = 10 a1+11d=31 a1= - 2 d=3 这个数列的首项a1是-2，公差d =3.nnmaaa思考：在等差数列中，项 与有何关系？4、等差数列通项公式的推广、等差数列通项公式的推广解析：解析：由等差数列的通项公式得由等差数列的通项公式得1(1)naand1(1)maamd() .nmaanm d-得() .nmaanm d.nmaadnm进一步可以得到思考：已知等差数列思考：已知等差数列aan n 中，中，a a3 3=9,a=9,a9 9=3,=3,求求a a1212,a,a3n3n.

6、 .解法一解法一: : 依题意得：依题意得： 解之得解之得 a1+2d=9 a1 =11 a1+8d=3 d =-1 这个数列的通项公式是：这个数列的通项公式是：an =11-(n-1) =12-n 故故 a12= 0, a3n =123n解法二：1.等差数列an中，a1a510，a47，求数列an的公差d2. 在在数列数列an中中a1=1，an= an+1+4，则，则a10= .3 3. .等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，-3-3a-5-5，-10-10a-1-1， 则则a 等于（等于（ ) )解：由通项公式 得： dnaan) 1(110411daa731

7、 da211da35)4(919441101daadaann，所以14714)53() 110()6()53-aaaaaaa（2、等差数列的通项公式、等差数列的通项公式1(1) .naand1、等差数列的定义、等差数列的定义1(nnaad d是常数）. 复习复习通项公式的证明及推广通项公式的证明及推广m(nm) .naad2.3 2.3 等比数列等比数列第二章第二章 数列数列 (1) 1，3，9，27，81， (3) 5，5，5，5，5，5，(4) 1，-1，1，-1，1，是是,公比公比 q=3是是,公比公比 q= x 是是,公公 比比q= -1(7) 2341 ,(0)xxxxx (2) ,

8、161,81,41,21是是,公比公比 q=21观察并判断下列数列是否是等比数列观察并判断下列数列是否是等比数列: :是是,公比公比 q=1(5) 1，0，1，0，1，(6) 0，0，0，0，0，不是等比数列不是等比数列不是等比数列不是等比数列v 一般地，如果一个数列从第一般地，如果一个数列从第2项起，每一项起，每一项与它的项与它的前前一项的一项的 比比 等于等于同一个常数同一个常数，那么这个数列就叫做等那么这个数列就叫做等比比数列数列 ，这个常数叫，这个常数叫做等比数列的做等比数列的公比公比（q）。等比数列等比数列等比数列概念1(0nnaq qa ）qaann1等比数列通项公式的推导：等比数

9、列通项公式的推导：2nqaa12qqa)(1qaa2321qaqqa)(21qaa3431qa 方法二方法二:归纳法归纳法11nnqaa等比数列等比数列 ,首项为首项为 ,公比为公比为q,则通项公式为则通项公式为: na1a11nnqaa 例例1:一个等比数列的第一个等比数列的第3项与第项与第4项分别是项分别是12与与18,求它的第求它的第1项与第项与第2项项. 解：设这个等比数列的第解：设这个等比数列的第1项是项是 ,公比是公比是q ，那么，那么82331612qaa3161a23q解得，解得， ， 因此因此316 答：这个数列的第答：这个数列的第1项与第项与第2项分别是项分别是 与与 8.

10、1a1831qa1221qa典型例题（2 2）一个等比数列的第）一个等比数列的第2 2项是项是10,10,第第3 3项是项是20,20,求它的第求它的第1 1项与第项与第4 4项项. .(1)(1)一个等比数列的第一个等比数列的第5 5项是项是 , ,公比是公比是 ，求它的第，求它的第1 1项；项；94315 1114()39a 136a 解得，解得，答：它的第一项是答：它的第一项是36 .解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，则由题意得，则由题意得1a解：设它的第一项是解：设它的第一项是 ，公比是，公比是 q ，则由题意得，则由题意得1a答：它的第一项是答：它的第一项是5，第，第4项是项是

11、40.101qa2021qa，51a2q解得解得，40314qaa因此因此等比数列等比数列名称名称等差数列等差数列概念概念常数常数性质性质通项通项通项通项变形变形dnaan) 1(1 dknaakn)( ),(*Nkn回顾小结回顾小结11nnqaaknknqaa ),(*Nkn从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的比比等等同一个常数同一个常数公比公比(q)q可正可负可正可负,但不可为零但不可为零从第从第2项起项起,每一项与它每一项与它前前一项的一项的差差等等同一个常数同一个常数公差公差(d)d可正可负可正可负,且可以为零且可以为零1.公式法公式法常用的公式有：常用的公式有：(1)等差数列等差数列an的前的前n项和项和Sn= = .(2)等比数列等比数列an的前的前n项和项和1()2nn aana1+ d(1)2n n111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq例例1 1：求和：求和：1. 468+2n+2 （）2, 41da已知解：判断上题为等差数列，等差数列的求和公式为：Sn=na1+ d(1)2n nnnnnnnnnSn3422) 1(422例例1