第七章极小值原理与典型最优控制系统改

1、第第 7 章章极小值原理和典型最优控制极小值原理和典型最优控制 Modern Control Theory主要内容n极小值原理 n典型最优控制Modern Control Theoryn前面讨论的最优控制问题都基于这样一个基本假定前面讨论的最优控制问题都基于这样一个基本假定: :q控制量u(t)的取值范围U不受任何限制,即控制域U充满整个r维控制空间,或者U是一个开集。n即控制量u(t)受等式条件约束q但是,大多数情况下控制量总是受限制的。q例如,控制量可能受如下大小限制| |ui(t)| | a i=1,21,2, ,r式中,a为常数。Modern Control Theoryn上述约束条件

2、即相当于容许控制空间上述约束条件即相当于容许控制空间U是一个超方体。是一个超方体。q甚至,有些实际控制问题的控制量为某一孤立点集。q例如,继电器控制系统的控制输入限制为ui(t)=a i=1,2,rn一般情况下一般情况下,总可以将控制量所受的约束用如下不等总可以将控制量所受的约束用如下不等式来表示式来表示Mi(u(t),t) 0, i=1,2,q当控制变量u(t)受不等式约束条件限制时,古典变分法就无能为力了。q以后,还会看到,最优控制往往需要在闭集的边界上取值。q这就要求人们去探索新的理论和方法。Modern Control Theoryn应用古典变分法的另一个限制条件是要求函数应用古典变分

3、法的另一个限制条件是要求函数L(x,u,t), f(x,u,t), S(x(tf),tf)对其自变量的连续可对其自变量的连续可微性微性,特别是要求特别是要求 H/ u存在。存在。q因此,类似这样的有较大实际意义的性能指标泛函就无能为力了。n所以,类似消耗燃料最小这类常见最优控制就无法用古典变分法来解决。fttttuJ0d| )(|Modern Control Theory7.1 极小值原理n极小值原理q研究最优控制问题的现代理论研究最优控制问题的现代理论q对古典变分学的发展对古典变分学的发展q一些文献中也被称为极大值原理一些文献中也被称为极大值原理q以以 Bolza Bolza 问题为对象描述

4、极小值原理问题为对象描述极小值原理 Modern Control Theoryn考虑等式约束的一种特定的情况q - - n n 维向量维向量, f - , f - n n 维向量函数维向量函数qu u m m 维控制向量函数维控制向量函数q容许控制容许控制q - - 是一给定的有界集合是一给定的有界集合q假定终端时间假定终端时间 满足满足),(),()(ttutxftxxmRuft0),(ffttxNModern Control Theoryn假设 对于 具有连续的偏导数q这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数这种光滑性假定，对于任何分段连续的函数q保证了存在唯一的属于式（保证了存在唯一的属于

5、式（1 1）的容许轨线）的容许轨线q可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函可定义容许控制函数集合是这类分段连续的函数数q并假定对于一个容许的并假定对于一个容许的 和给定的初始条和给定的初始条件件 ，在所考虑的控制区域内，式（，在所考虑的控制区域内，式（1 1）确）确定了一个唯一的容许解定了一个唯一的容许解 ux ,fu)(0txxuModern Control Theoryn确定一个容许控制函数q使下述的性能指标为极小使下述的性能指标为极小 q 对对 具有连续的偏导数具有连续的偏导数ffttttttdtttutxttxJ00),(),(),(,ux ,Modern Control Theor

6、yn采用 Lagrange 乘子法 ffttttttdtttutxttxJ00),(),(),(dttxttutxftT)(),(),()(Modern Control Theoryn定义标量函数qHamilton Hamilton 函数为函数为),(),(),(),(),(ttutxtttutxH)(),(),()(txttutxftTModern Control Theoryn特性指标为 fttttttxJ0),(dttxttttutxHTttf)()(),(),(),(0Modern Control Theoryn积分可得 fttttTtxtttxJ0)()(),(fttTdttxttt

7、tutxH0)()(),(),(),(Modern Control Theoryn如果 是最优控制律q对应于边界条件有对应于边界条件有 uvtttvtxHtttutxH,),(),(),(),(),(),(),(tuxfHxxHModern Control Theory也可以写成,),(),(),(),(),(),(mintttvtxHtttutxHv),(tuxfHxxHModern Control Theoryn满足边界条件 00)(xtx0),(ffttxNffTffttvtNttH,)()(fTfttvxNxt,)()(Modern Control Theoryn极小值原理与变分学q区

8、别在于极值条件不同区别在于极值条件不同q极小值原理的极值条件是极小值原理的极值条件是 Hamilton Hamilton 函数函数q变分学的极值条件是变分学的极值条件是 HHu min0uHModern Control Theory极大（小）值原理的意义n容许控制条件放宽n取得全局最小值n没有H对u的可微性要求n状态方程、协态方程和横截条件依旧n只给出最优控制的必要条件，而非充分条件（更没有涉及存在性问题）Modern Control Theoryn例 给定被控系统给定被控系统控制变量控制变量u(t)受不等式约束受不等式约束-1 u(t) 1约束约束, ,试求最优控制函数试求最优控制函数u*

9、*(t)和最优轨线和最优轨线x*(t), ,使性能指使性能指标泛函标泛函J= =x2(1)(1)最小。最小。 11211,(0)0 xxuxx xModern Control Theoryn解 该问题的哈密顿函数为该问题的哈密顿函数为则协态方程是则协态方程是其末端条件其末端条件( (横截条件横截条件) )为为解之得解之得 1(t)=1-et-1 2(t)=11121()Hxux1122120HHxx 1) 1 (0) 1 (2211xSxSModern Control Theoryq运用极大值原理解得q由于1(t)=1-et-10,t0,1,于是,可得 u*(t)=-1 t 0,1*( )*1

10、1211( ) 1*1 12111( ) 1*1 12111( ) 1( ), ( ),( )min( ), ( ), ( )min()minmintUu tu tu tHtttHtttxuxxxuxxu uxuxu111( )0*( )1( )0tutt1(t)=1-et-1 2(t)=1Modern Control Theoryq因此,由得q同样,可求得q因此,该问题的最优控制函数u*(t)和最优轨线x*(t)分别为*11111(0)1xxuxx *1( )21tx te1(t)=1-et-1 2(t)=122)(*2tetxt*1*2*( )1( )21( )22ttutx tex te

11、t Modern Control Theoryn例 研究线性时不变系统的时间最优控制问题1)(,)()()()()(. .00tuUtuxtxtButAxtxtstMinJf即式中：Modern Control Theoryn解：解：Hamiliton 函数为函数为n为使为使H相对于所选择的相对于所选择的u(t)尽可能小，必须有：尽可能小，必须有：n即即u(t)取单位向量，取单位向量，)()()(),(),(),(tButAxttttutxHT)()()(tBtBtuTTModern Control Theory1)(),(),(0)(,)()()()()()(00ffffTtuttxHtxx

12、txtAxHttButAxHtxModern Control Theoryn如如1)()()()()(. .221tututxtxtxtstMinJf式中：Modern Control Theory)()()()(1)(),(),(221tuttxtttutxH0)()()()(,)()()(0)(12212211121ftxtccsignsignutcctcttttModern Control Theory2)0()0(2)0()0(2)0(1)(221221122122xxxxtxtxtxxtxtu，得上述方程消去时，当Modern Control Theory2)0()0(2)0()0(

13、2)0(1)(221221122122xxxxtxtxtxxtxtu，得上述方程消去时，当)()(21)()(221txtxtxsigntuModern Control TheoryModern Control Theory6.2 典型最优控制 n主要内容qLQRLQR问题问题q线性伺服机构线性伺服机构qBang-Bang Bang-Bang 控制控制q奇异控制奇异控制q离散系统最优控制离散系统最优控制 Modern Control Theory7.2.1 LQR（Linear Quadratic Regulator）问题n对于线性系统qLQRLQR问题为问题为 qS,Q,R - S,Q,R

14、- 正定对称矩阵正定对称矩阵 utBxtAx)()(00)(xtxdttutxtxJMintRtttQSftuf)()(21)(212)(2)(2)(0Modern Control TheoryLQR问题的普遍性nLQR问题的提法具有普遍意义，不限于哪种物理系统，而且人们证明这样的提法易于获得解析解，最为可贵的是能获得线性反馈解。n线性系统最优控制所的结果也适用于小信号下运行的非线性系统，可以作为一次近似n提供了一种统一的框架。Modern Control Theoryn应用极小值原理q实现最优控制要求满足实现最优控制要求满足 )()()()(01ttBtRtuuHT)()()()(ttAtx

15、tQxHT)()(fftSxtutBxtAx)()(00)(xtxModern Control Theoryn确定闭环控制q假设假设q则得则得)()()(txtPt StPtQtBtRtBtPtPtAtAtPtPfTT)()()()()()()()()()()(1Modern Control Theoryn在数学中，在数学中， 称为称为nRiccati方程，所以（方程，所以（7）式也称为）式也称为Riccati方程方程 )()()(2xyxyxdxdyModern Control Theoryn最优控制律为 )()()(txtKtu)()()()(1tPtBtRtKT令令则求得闭环解则求得闭环

16、解（9）Modern Control Theory计算二阶变分dttutRtutxtQtxtxStxJTTttffTf)()()()()()(21)()(2102故极小值条件为故极小值条件为(存在最优控制的充分条件存在最优控制的充分条件)0)(, 0),(tRStQ（10）Modern Control Theoryn在某些情况下，在某些情况下，S矩阵的某些元素大到足以引矩阵的某些元素大到足以引起计算上的困难，在此情况下，用逆起计算上的困难，在此情况下，用逆Riccati方程求解。方程求解。n令令ItPtP)()(10)()()()(11tPtPtPtP（11）（12）Modern Contro

17、l Theory则逆则逆Riccati方程为方程为11111111)()()()()()()()()()()()(StPtPtQtPtBtRtBtAtPtPtAtPfTTModern Control Theory最优反馈控制结构最优反馈控制结构)()(1tBtR)()()()()(tutBtxtAtxP(t)Modern Control TheoryP(t)的计算的计算n由由n将将Riccati方程写成差分格式方程写成差分格式n取步长为负值，反向积分，即取步长为负值，反向积分，即ttPttPtP)()()(lim0)()()()()()()()()()()()(1tQtPtBtRtBtPtPt

18、AtAtPttPttPTT)()(0tPtPfModern Control TheorynP(t)的对称性，即的对称性，即n所以所以P待求的元素个数为待求的元素个数为n(n+1)/2)()(tPtPTModern Control TheoryP(t)的半正定性的半正定性n可以证明可以证明n但但n故故)()()(21000mintxtPtxJT为任意且0min, 0tJ0)(tPModern Control Theory无限时间调节器问题无限时间调节器问题00)()()()()()()(. .)()()()()()(210 xtxtutBtxtAtxtsdttutRtutxtQtxJtTTtuM

19、in)()()()()(*1txtPtBtRtuT上述问题有解的条件：系统完全可控上述问题有解的条件：系统完全可控Modern Control Theory), 0 ,(), 0 ,()(limTtPtPtPT0)()()()()()()()()()()(1TPtQtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT)()()(21000mintxtPtxJTModern Control Theory线性定常调节器线性定常调节器00)()()()()(. .)()()()(210 xtxtButAxtxtsdttRututQxtxJtTTtuMin)()(*1txPBRtuTModern Control

20、Theoryn 为下列代数为下列代数Riccati方程的解方程的解n或是或是Riccati微分方程的稳态解微分方程的稳态解01QPBBRPPAAPTTP0)()()()()()()()()()()(1TPtQtBtRtBtPtPtAtAtPtPTT), 0 ,(limTtPPTModern Control TheoryPI调节器调节器00)()()()()(. .)()()()()()(210 xtxtButAxtxtsdttuStutRututQxtxJtTTTtuMin221221110021,)()(*)(*)()(*PSKPSKtututuKtxKtuModern Control Th

21、eory0)(1121121111111TPQPSPPAAPPTT0)(2121122112121TPPSPPBAPPTT0)(2222122212122TPRPSPPBBPPTTModern Control Theoryn例：考虑如下标量系统的最优控制问题例：考虑如下标量系统的最优控制问题dttutxtsxJxtxtutxtxfttf)()(221)(21)()()(21)(2220001, 2, 1,21RQBAModern Control Theoryn解如下解如下Riccati方程方程n可得可得stptptptpf)(2)()()(2)5 . 1coth(5 . 15 . 0)()5

22、. 1tanh(5 . 15 . 0)(21tptp或Modern Control Theory其中：调整 ，使如：(a)21,stpf)()845. 15 . 1tanh(5 . 15 . 0)(845. 1, 1, 011tPBRtKradtsTf则则Modern Control Theoryn(b)n(c)n(d)当当radtsf1425.15,10,102则)346. 05 . 15 . 1tanh(75. 025. 0)(,1ftttKs1)(,tKtf则Modern Control TheoryModern Control TheoryModern Control Theory7.

23、2.2 线性伺服机构 n线性伺服机构问题的描述为2)()()(21SftutztJMindttutzttRtttQf)()()(212)(2)(0Modern Control Theoryn使得q - - “噪声噪声”向量向量 )()()()()(twtutBtxtAx00)(xtx)()()(txtCtz)(twModern Control Theoryn对应矩阵的要求q按照处理调节器问题一样的方式进行按照处理调节器问题一样的方式进行 2)(2)()(21)()()(21,tRtQtutxtCttuxH)()()()(01ttBtRtuuHT)()()()()()(twtutBtxtAtTM

24、odern Control Theoryn )()()()()()()(ttAttxtCtQtCXHTT)()()()()(ffffTfttxtCStCtModern Control Theoryn为了确定闭环控制q假设假设q则得则得 )()()()(ttxtPt)()()()()()()()()()()()()()()()(1ffTfTTTtSCtCtPtCtQtCtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPModern Control Theoryn )()()()()(ttQtCtwtPT)()()(tStCtfTfTTtPtBtRtBtAt)()()()()()(1Modern Contr

25、ol Theoryn线性伺服机由两部分组成q（1 1）线性调节器部分）线性调节器部分q（2 2）由系统输出的期望值）由系统输出的期望值 确定最优驱动函数的前确定最优驱动函数的前置滤波器置滤波器n最优控制规律 )(t)()()()()()(1ttxtPtBtRtuTModern Control Theoryn存在问题q在计算上该最优控制实际上常常不能实现在计算上该最优控制实际上常常不能实现q因为它包含有因为它包含有 ，必须由，必须由 到到 反向反向求解求解q需要知道在所有需要知道在所有 时间内的时间内的 和和q当当n则问题为则问题为“输出调节器输出调节器”问题问题 )(tft0t,0fttt )

26、(tw)(t0)()(ttwModern Control Theory输出调节器问题输出调节器问题dttutztzJtRtttQSftufMin)()(21)(212)(2)(2)(0)()()()(tutBtxtAx00)(xtx)()()(txtCtzModern Control Theoryn最优控制律最优控制律n其中其中P(t)是如下是如下Riccati方程的解方程的解)()()()()(1txtPtBtRtuT)()()()()()()()()()()()()()()()(1ffTfTTTtSCtCtPtCtQtCtPtBtRtBtPtPtAtAtPtPModern Control

27、Theoryn存在输出调节器的必要条件是系统客观（不是存在输出调节器的必要条件是系统客观（不是系统可控）系统可控）n但当但当S变成无穷大时，或终端时刻变成无穷大时，或终端时刻 为无穷为无穷大时，则要求系统可控，即为无限时间调节器大时，则要求系统可控，即为无限时间调节器问题。问题。n输出调节器反馈的仍然是系统状态。输出调节器反馈的仍然是系统状态。 ftModern Control Theory7.2.3 Bang-Bang 控制 n对于非线性系统00)()(),(),(xtxtuttxGttxfx ibuaiiiModern Control Theoryn最小化nHamilton 函数fttTf

28、fdttuttxhttxttxJ0)(),(),(),()(),(),(),(),(),(tuttxhttxtttutxHT)(),(),()(tuttxGttxftTModern Control TheorynHamilton 函数对控制向量 是线性的q 对于对于 的极小化要求的极小化要求)(tuH)(tu0),(),(0),(),(iTiTiiTiTiittxGGhttxhbttxGGhttxhau若若Modern Control Theoryn由此可见q控制控制 线性地出现在系统和性能指标中线性地出现在系统和性能指标中q另外，如果控制向量的每一个分量是有界的另外，如果控制向量的每一个分量

29、是有界的n则该最优控制就是砰磅控制（则该最优控制就是砰磅控制（BangBangBang Bang 控制）控制） )(tuModern Control Theoryn只是在 情况下例外q 不是不是 的函数的函数q它相对于它相对于 不可能有极小不可能有极小q当式（当式（6 6）在时间上只是对于孤立点成立）在时间上只是对于孤立点成立n即该最优控制问题具有一个奇异解即该最优控制问题具有一个奇异解q如（如（6 6）的第）的第 个分量是零个分量是零n相当于特定的控制分量相当于特定的控制分量 可能是一个奇异解可能是一个奇异解 0),()(),(ttxGtttxhTTiiuH)(tu)(tuModern Co

30、ntrol Theoryn对 Bang Bang 控制问题q - - 由式（由式（5 5）确定）确定 )(),(),(tuttxGttxfHx)(),(),(tuxttxhxttxxHT)()()(),()(),(ttxtuttxGtxttxfTTuModern Control Theoryn两点边值问题q很难解决的问题很难解决的问题q考虑一种特殊情况考虑一种特殊情况n最短时间问题最短时间问题Modern Control Theoryn希望转移一个 维向量定常系统n以最短的时间到达原点q使使 n00)()()(XtXtButAXX0)(ftXfttftuttdtJMin00)(Modern C

31、ontrol Theoryn具有限制n 要求n所以 1)(1tuimRu)()()()()(1)(),(),(tButtxtAtttutXHTTminH0101)()(iTiTTiBBBtsigntubttAXtHTT)()()(1minModern Control Theoryn由于末端时刻自由，又 与 无明显的关系q根据（根据（2121）和（）和（3939）式）式q沿最优轨线有沿最优轨线有Ht0)(),(),(ttutXH,0fttt Modern Control Theoryn正则方程为)()()()(btsignbtAXtbutAXHXT0fH)(tAXHTModern Control

32、 Theoryn为了避免一个奇异解q必须保证必须保证n在一段非零的时间间隔内，在一段非零的时间间隔内， 不能为零不能为零 btT)(Modern Control Theoryn结论 1（唯一性）q（9 9）、（）、（1010）式所表示的最优控制问题）式所表示的最优控制问题q若存在最小时间控制若存在最小时间控制n则控制则控制 ， 是唯一的是唯一的)(tuimi, 2 , 1Modern Control Theoryn结论 2（开关次数）q（9 9）、（）、（1010）式所表示的最优控制问题）式所表示的最优控制问题(A(A的特征值为实的特征值为实根根) )q若存在最小时间控制若存在最小时间控制n则

33、控制则控制 ， 正常切换正常切换 次次 )(tuimi, 2 , 11nModern Control Theoryn例 1 )(10)()(00102121tutxtxxx1010010exptteAt101)0(xx202)0(xxModern Control Theoryn解q令令q则则 ftt)()()(ftxtx)()(betsignbAddAfTModern Control Theoryn因n所以0)()0(ftx0)(_)()(dppbetsignbeAfTpAdptptsignpffT)()(1101)(210Modern Control Theoryn对于一个固定的q只有在只有

34、在 处发生一次切换处发生一次切换)(ft)()(12ffsttModern Control Theoryn计算连接曲线 dpptsignpxsfssss)(1101)()(10dqtsignqfss)(110110ssftsign2)(21Modern Control Theoryn由此可见q若若q则切换点则切换点 q若若q则切换点则切换点0)(1ftssxx22120)(1ftssxx2212Modern Control Theoryn切换界线方程 021221xxx)()(21)()(221txtxtxsigntuModern Control Theoryn例 4q研究具有标量控制输入的线

35、性系统最短时间控制研究具有标量控制输入的线性系统最短时间控制q具有两个为具有两个为 的正实数特征值不稳定系统的正实数特征值不稳定系统 1uxxxxx212212101)0(xx202)0(xxModern Control Theoryn该系统的转移矩阵n它给出切换曲线 tAtetttte11)()1 (11)(10fpptpsigneppeedptpf)( 12Modern Control Theoryn可以看出q至多有一次切换至多有一次切换q发生在发生在 处处 )()()(212fffstttp1) 1()(1ex ex)(2Modern Control Theory7.2.4 奇异控制 n

36、考虑如下问题 q使得使得 20221dtxJMin1)(1)0(),()(tuxtutx uxH221Modern Control Theoryn对于非零的q必须使必须使 q上式表明上式表明n最优控制运行在边界上最优控制运行在边界上n但但 在在 之间取值是可能的之间取值是可能的 )(t0)(, 10)(, 1)()(tttsigntu)(tu1)(0tuHModern Control Theoryn由此可见q 是一种可能的解是一种可能的解q此时此时 与与 完全无关完全无关q不可能根据不可能根据 的选择使的选择使 为极小为极小q此问题即为奇异问题此问题即为奇异问题q求解求解 0)(tH)(tu)

37、()(txtux)(tuHModern Control Theoryn设初始 为正q则则q所以所以)(t1)(tuttx1)(2)0()(2tttModern Control Theoryn当 时n若取q则在则在 内内q存在一个奇异解存在一个奇异解q且且 1t0)(tx21)0(2 , 1 t0)2(Modern Control Theory+1-112tx(t)u(t)(tModern Control Theoryn奇异控制问题的提法 q对于一般的对于一般的BolzaBolza问题问题q 给定，给定， 可以固定，可以自由可以固定，可以自由 ,)(0),(,),()(),(0000fifftt

38、fftttMtuttxMdttuxttxJxtxtuxfxf0tftModern Control Theoryn其 Hamilton 函数为,tuxftuxtuxHTModern Control Theoryn当控制变量在约束的边界范围内取值时q极值条件应为极值条件应为q（1111）式称为）式称为 Legendre - ClebschLegendre - Clebsch（勒让德（勒让德克莱勃希）条件克莱勃希）条件q若条件（若条件（1111）只取严格的不等号，则称）只取严格的不等号，则称强化的强化的勒让德勒让德克莱勃希条件克莱勃希条件 0uH0uuHModern Control Theoryn如

39、果q在某一时间间隔在某一时间间隔 上上q矩阵矩阵 是奇异的是奇异的q即即q或或 非负定，即不满足强化的勒让德非负定，即不满足强化的勒让德克莱勃希条件，克莱勃希条件，则称则称 Bolza Bolza 问题为奇异的问题为奇异的,021fttttuuH0detuuHuuHModern Control Theoryn此时的最优控制q奇异最优控制奇异最优控制q与此对应的最优轨线部分称为奇异弧，与此对应的最优轨线部分称为奇异弧， 则称为则称为奇异区间奇异区间n实际上q若若 是控制向量的一个或多个元的线性函数是控制向量的一个或多个元的线性函数则问题是奇异的则问题是奇异的 H,21ttModern Contr

40、ol Theoryn工程中q奇异最优控制问题广泛存在，而且很重要奇异最优控制问题广泛存在，而且很重要q求解奇异最优控制比求解正常的最优控制要困难得多求解奇异最优控制比求解正常的最优控制要困难得多n奇异解q通常由正常弧（通常由正常弧（Bang - Bang arcBang - Bang arc）和奇异弧组成）和奇异弧组成Modern Control Theoryn总的说q对于奇异最优控制问题对于奇异最优控制问题q已有的理论和方法尚嫌不足已有的理论和方法尚嫌不足q需要探索新的理论和方法需要探索新的理论和方法 Modern Control Theoryn定理定理 若若Hamilton函数函数H满足满

41、足n则泛函极值存在的必要条件为则泛函极值存在的必要条件为0, 0uuuHH010(012121212ukkkukkHdtdukHdtdu）（除外）Modern Control Theoryn线性系统q二次型性能指标最优化问题的奇异解二次型性能指标最优化问题的奇异解q使得使得 ftTffTQXdtXtFXtXJMin021)()(2100)()()(XtXtButAXXrjtuj, 2 , 1, 1)(Modern Control Theoryn 0,QFBuAXQXXHTTT21TBsignu)()()(ffTtFXtAQXtModern Control Theoryn若问题存在奇异解q则在奇

42、异弧段上有下式成立则在奇异弧段上有下式成立0TBuH022uHModern Control Theoryn根据定理q即即 0, 0, 0urruuHdtdHH0)()(TTTAQXBBuHdtd)()(22TTAXQBuHdtd0(TTTTAAQXAQBuQAXBModern Control Theoryn所以n此处q假设假设 存在存在q若若 不可逆，则奇异控制不存在不可逆，则奇异控制不存在)()(1TTTTAAXQAQAQBBu1)(QBBTQBBTModern Control Theoryn由（14）、（18）、（23）q可求可求q若若 不显含不显含q且且 未定未定q则则 ,uXHtft0

43、HModern Control Theoryn例 1q研究以下例子研究以下例子q使得使得 ftdtxJMin02121uxx21101)0(xxux2202)0(xxKtu)(0)()(21fftxtxModern Control Theoryn解：q奇异弧使得奇异弧使得 )(211221txuuxH)()(021ttuHModern Control Theoryn对于一个有限的时间区间q具有正则方程和协态方程具有正则方程和协态方程 uxx21101)0(xxux2202)0(xx)(111txxH0)(1ftx)(122txH0)(2ftxModern Control Theoryn在奇异弧

44、上q闭环控制是闭环控制是 )()()(0121122txtutxxuHdtdconsttxxxH)(212121)()()(21txtxtuModern Control Theoryn在一奇异弧上)()(1)(11txetxtt)()(2)(12)(11)()(2111txetxeetxttttttModern Control Theoryn一根典型的轨线包含三部分 q最初用控制的一个极值最初用控制的一个极值使系统转移到奇异弧使系统转移到奇异弧q然后用奇异控制然后用奇异控制 直到应用控制的另一极值的数值直到应用控制的另一极值的数值q极值控制极值控制n使此系统的状态转移到原点使此系统的状态转移到

45、原点 K)()()(21txtxtuModern Control Theoryn研究两种情况 q（1 1）Kuxudxdx2121lim12dxdxu1lim12dxdxuModern Control TheoryModern Control Theoryn（2） ,使n令n可得q奇异弧是两条直线奇异弧是两条直线 ft0H0H0)(1tx0)(2)(21txtxModern Control Theoryn对于直线q则则q所以所以0)(1tx)()(2txtu0)(1tx)()(12)(21txetxttModern Control Theoryn对于直线q闭环控制闭环控制q所以所以0)(2)(

46、21txtx)()(2txtu)(1 )()(12)(1111txetxtxtt)()(12)(21txetxttModern Control Theoryn若q在在 这段奇异弧上这段奇异弧上q q运动是不稳定的运动是不稳定的q它的方向是离开原点它的方向是离开原点 Ku 0)(1tx)()(2txtuModern Control TheoryModern Control Theory7.3 离散系统最优控制 n主要内容q离散的极大值原理离散的极大值原理 q离散线性调节器问题离散线性调节器问题 Modern Control Theory7.3.1 离散的极大值原理n离散系统最优控制问题的描述 q

47、对于系统对于系统q以及约束以及约束 n - - 中一个给定的集合中一个给定的集合n - - 固定的常数固定的常数,1kuxfxkkk1,0fkkkUukUrRfkk ,0Modern Control Theoryn寻找一个容许的控制序列 ,q使使q为极小为极小 ku1,0fkkk10),(),(0ffkkkkkkkkuxkxJModern Control Theoryn对于离散系统，极大值原理为 q令令 是一个最优序列，是一个最优序列，q又令又令 是是 的状态响应，被式（的状态响应，被式（1 1）唯一地确定，）唯一地确定，q在适当的假设之下，存在一个非平凡函数在适当的假设之下，存在一个非平凡函

48、数n满足满足ku 1,0fkkkkx ku fkkk,0kkkkkxkuxH),(1Modern Control Theoryn式中0000kkkx0kfkfkfx),(),(),(11kuxfkuxkuxHkkkTkkkkkModern Control Theoryn对于所有的q使得使得n对于无约束情况，q则（则（8 8）成立）成立 1,0fkkk), ,(min),(11kvxHkuxHkkUvkkkrRu 0),(1kkkkukuxH1,0fkkkModern Control Theory离散线性调节器问题 n对于离散线性系统q调节器问题调节器问题q使得使得102222121ffkkRk

49、QkskuxxJMinfkkkkkkkxxuBxAx, 1 , 0,)0(01Modern Control Theoryn - 加权矩阵，可以是 的函数n伴随方程RQ,k21211kkkkTkkTkkTkkuBxARuuQxxH)()(1ffkTkkkSxkAQxModern Control Theoryn耦合方程n两点边值问题q求解可得开环控制求解可得开环控制10kTkkBRuuH)()(,)(,100111ffkTkkkkkTkkkkkSxkAQxxkxBRBxAxModern Control Theoryn若欲得闭环控制q令令n则求解下列 Riccati 方程kkkxPSPABBRPAQ

50、PfkTkTk1111Modern Control Theoryn - 称为 Kalman 增益kkTTkXQPABRu1kTkTAXBBRPBR11111)()(kXkKABBRPBRkKTkT11111)(Modern Control TheorynRiccati 差分方程有另一种形式QAPAPkTk111kTkBRukkTxQPABR)(11111kkTxPBRkkTkTkTAPBBPBRBPA1111Modern Control TheoryModern Control Theoryn例 已知一阶被控系统的状态方程和性能指标分别为已知一阶被控系统的状态方程和性能指标分别为式中式中,q

51、0,r0。q试求其最优控制和最优状态轨线。n解 根据定理根据定理7-16,7-16,可以求出该问题的最优控制为可以求出该问题的最优控制为式中式中,p是如下黎卡提代数方程的解是如下黎卡提代数方程的解02200d)()(21)()()()(ttrutqxJxtxtutaxtx )(1)(tpxrtu0122qprapModern Control Theoryq解之得q因此,最优状态反馈律为相应的最优状态调节器的闭环系统状态方程为于是得22parqra r2( )( )qx ta x tr 2( )exp(0)qx taxr)()(2txarqatuModern Control Theoryn例 已知一阶被控系统的状态方程和性能指标分别为已知一阶被控系统的状态方程和性能指标分别为式中式中,f 0,q 0,r0。q试求其最优控制和最优状态轨线。n解 根据定理根据定理, ,可以求