2019暑正讲义初二数学通用版

1、初中数学初二·暑期领英班通 用 版初二数学讲义·通用版·领英班 2019年暑期种一棵树最好的时间是十年前，其次是现在。一起学网校与一起教育科技一起学网校是一起教育科技旗下中小学在线学科辅导平台。采用真人在线直播互动教学模式，让全国任何地区的中小学生，都可以在家享受一线优秀教师的直播辅导服务。一起学网校，基于一起教育科技多年沉淀的6000万中小学生海量学习数据，以“个性化学 习”为本，同步课内基础知识，外延核心素养，帮助孩子更科学地获取学科知识，提升学习兴趣，养成自主学习能力。一起学网校主张知识能力一起学不仅用有趣的授课传输知识，更重视孩子学习习惯的培养，让父母少操

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3、 平方根的概念：如果 x2 = a(a 0) ，那么 x 叫做 a 的平方根，也称为二次根式2. 平方根的表示：正数 a 的正的平方根记作“ a ”，负的平方根记作“ - a ” 正数 a 的平方根记作“ ± a ”，读作“正、负根号 a ”3. 算术平方根的概念：正数 a 有两个平方根 ± a ，我们把正数 a 的正的平方根a ，叫做 a 的算术平方根， 0 的平方根也叫做 0 的算术平方根，即 0 = 0 4. 双重非负性：在式子 a 中， a 0 且 a 0 5. 平方根的计算：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方运算和平方运算互为逆运算总结 1 ：一个正数有两个

4、平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0 总结 2 ：一个正数有一个算术平方根； 0 的算术平方根是 0 总结 3 ：负数没有平方根一起学网校01模块 1学习札记注：（1）熟记 1000 以内的平方数（ 12 : 312 ）及立方数（ 13 : 103 ）（2）常用实数近似数： 2 » 1.414 ，3 » 1.732 ， 5 » 2.236 ，7 » 2.646 例题精讲例 1求下列各数的平方根（1） 4（2） 196（3） 0.36（4） 3（5） 1 27（6） 4 1216925实数 1 - 2a 有平方根，则 a 可以取的值为（例 2）A

5、0B 1C 2D 302一起学网校第第第实数举例平方根算术平方根2± 224±22116± 14146.25±2.52.510000±100100-5无无例 3下列说法正确的是（）学习札记 - 2 是 2 的一个平方根 -4 的算术平方根是 2 16 的平方根是±2 0 没有平方根ABCD一个正数 m 的平方根是 n + 2 与 n - 6 ，则下列正确的是（例 4）A m = 2 ， n = 1C m = 16 ， n = 2B m = 1 ， n = 2D m = 8 ， n = 2a - 2 + (b + 3)2 = 0 ，则(

6、a + b)2019 的值为（例 5已知A 0）B -2019C -1D 1当式子 2a +1 的值取最小值时， a 的取值为（例 6）B - 1C -1A 0D 12立方根的定义和性质知识梳理1. 立方根的概念：一般地，如果 x3 = a ，那么 x 叫做 a 的立方根2. 立方根的表示：数 a 的立方根记作“ 3 a ”，读作“三次根号 a ” 总结 1 ：任何一个数都有立方根，且只有一个立方根总结 2 ：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数； 0 的立方根是 0初二数学·暑期03实数第第第模块 2立方根的计算：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方运算与立方运算互为逆运算学

7、习札记例题精讲例 7求下列各数的立方根（1） - 1（2） 48（4） 3 -27（3） 64（5） (-9)3（6） -(-33 ) 例 8已知正方体的体积为 64 ，则这个正方体的棱长为（）D 2 2A 4B 8C 4 204一起学网校第第第实数举例立方根23 2-2- 3 218126423 -125- 3 5例 9下列说法中，正确的是（A 9 = ±3C 6 的平方根是 6）学习札记B 64 的立方根是±4D 25 的算术平方根是 5如果 a = 3 ，则 3 a -17 =例 10若实数 x ， y 满足(2x - 3)2 + 9 + 4 y= 0 ，则 xy 的

8、立方根为例 11实数的定义知识梳理1实数的分类0 2. 实数的计算（1） 正数和 0 可以进行开平方运算（2） 任何一个实数都可以进行开立方运算（3） 运算法则与有理数的运算法则一致（4） 实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序一致初二数学·暑期05实数第第第模块 3学习札记例题精讲例 12 把下列各数填入相应的集合：-1 、 3 、 、 -3.14 、 9 、 - 6 - 2 、 -2 、 0 、 0.131331333 、 - 3 82（1） 有理数集合 ；（2） 无理数集合 ；（3） 整数集合 ；（4） 负实数集合 4±=9； 3 -8 的绝对值是例 13；5 -1

9、 的相反数是； - 3.14 的相反数是；16 的平方根是x 6 ， y 是 4 的平方根，且| y - x |= x - y ， x + y 的值为例 14已知916（2） (-2.4) + 6 - 5 ´ (-4)2 + 3 -125（1） - 36 - 3 (-1)3 + 1 +例 1558（3） -22 - | -7 | +3 + 2 ´ (- 1 )206一起学网校第第第实数牛刀小试学习札记（温馨提示：请对准虚线区域清晰拍照上传）初二数学·暑期07实数第第第1下列结论正确的是（）A - -(-6)2 = -6B (- 3 )2 = 92C (-16)2

10、= ±16D -æ - 16 ö = 16ç÷è25 ø252已知下列结论：在数轴上的点只能表示无理数；任何一个无理数都 能用数轴上的点表示；实数与数轴上的点一一对应；有理数有无限 个，无理数有限个，其中正确的结论是（ ）A B C D3a 是 9 的算术平方根，而 b 的算术平方根是 9 ，则 a + b =学习札记08一起学网校第第第实数4（1）已知 x - y + 3 与 x + y -1 互为相反数，求( x - y )2 的平方根；（2）已知 a = 6 ， b2 = 4 ，求 a + 2b 5计算下列各题（1）

11、0.16 + 0.49 - 0.81 ；（2） - 0.25 - 3 1- 65 ；（3） - 5 4 - 3 2 10 +1 + 1 ；927916（4） 3 1- 0.973 ´ (-10)2 - 2 ( 3 13 - )0 学习札记初二数学·暑期09实数第第第数学是上帝描述自然的符号。黑格尔第讲二次根式第二讲二次根式二次根式的定义与性质知识梳理1. 二次根式的定义：一般地，式子 a (a 0) 叫做二次根式， a 叫做被开方数2. 二次根式有意义的条件：被开方数大于等于零，即： a 03. 二次根式的性质：（1）二次根式的双重非负性：对于 a ， a 0 ； a 0（

12、2） ( a )2 = a(a 0)(a > 0)ìa= ï0 (a = 0)（3）=a2aíï-a(a < 0)î例题精讲例 1 在式子 3 2 ， -4 ， 是二次根式的有（A 1 个C 3 个- 4 ， x -1 ， x2 + y2 ，）B 2 个D 4 个， a2 -1 ，a +1 中，m2一起学网校11模块 1例 2下列 x 取何值时，下列式子有意义学习札记3x - 7x - 3 + 3 - x（1）（2）(x - 5)2-(x - 6)2（3）（4）x2 +1- y2（5）（6）m - 6（7）m - 7例 3下列判断正

13、确的是（）A. 带根号的式子一定是二次根式B. 5a 一定是二次根式C. m2 +1 一定是二次根式D. 二次根式的值必定是无理数已知 x = 5 ，化简( x - 2)2 +x - 4 的结果是例 4212一起学网校第第第二次根式例 5计算学习札记æ2 ö2ç-´(- 5 )2（1）÷è5 ø(x + 4)2 - (x - 2)2 (-4 < x < 2)（2）4x2 + 4x +1(x - 1 )2（3）二次根式的乘除知识梳理1二次根式的乘法： a × b =ab (a 0, b 0) aab2二次

14、根式的除法：=b(a 0, b > 0) 3. 最简二次根式：一般地，化简二次根式就是使二次根式：（1） 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（2） 被开方数中不含分母；（3） 分母中不含有根号这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式初二数学·暑期13第第第二次根式模块 2学习札记例题精讲例 6计算下列二次根式，并化简为最简二次根式：25 ×16（1）81（2）16x2（3）4xy（4）128a3（5）（6）533 59（7）（8）25a3b2(a 0, b 0, c > 0)（9）9c414一起学网校第第第二次根式例 7计算：14 y学习札记6x5x2

15、15;7 ¸ 3 3 ´ 2 3 ¸ 3 7（1）（2）y3x12 y（3）8 ¸æ 2 1 ö´(-22 )13(a > 1)（4）ç 2 ÷a2 - 2a +14èø若 ab < 0 ，则 a2b 化简后为（例 8）C aB -a-bD -a-bA a bb最简二次根式 a-b 2a +1 与a + 3 可以合并，则 a + b =例 9 二次根式的加减知识梳理1. 同类二次根式：经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式2. 二次根式的加减运算：二次根式相加

16、减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式【注意】进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用初二数学·暑期15第第第二次根式模块 3学习札记例题精讲例 10下列是同类二次根式的是（A 12 和 18C 24 和 32）BD20 和18 和5072（1） 3 3 + 2 - 22 - 2 3例 11（2） (23 -1)(3 +1)æö112 - 2+ 48 ¸ 23÷（3） ç 33èø212+ 18 - 4（4）2 -116一起学网校第第第二次根式已知 a =5 + 3 ， b =5 -3

17、求 a2b - ab2 的值例 12学习札记例 13计算：（1） 75 + 27 - 48 94(-3)2-4 ´（2）（3） (1+ 2 3)(2 3 -1)（4） (2 +3 -12)(2)11已知 a =， b =例 14，3 -3 +22（1）求 ab ， a + b 的值；（2）求 b + a 的值ab初二数学·暑期17第第第二次根式学习札记牛刀小试（温馨提示：请对准虚线区域清晰拍照上传）18一起学网校第第第二次根式1(a +1)2 = a +1 ，则 a 的取值范围是（）A a = -1B a -1C a = 0D a -12下列各式中，已化为最简形式的是（）A

18、 18B x2 + y2C 1D a2b 23已知 3a -1 与 11 是同类二次根式，则 a 的值可以是（写两个即可）4已知： a 、 b 在数轴上的位置如图所示，是化简 a2 + (a - b)2 - b - a 的结果是a0b学习札记51（1） 3 6 + 24 - 954xy × 5 y ¸15x（2） 10x2xy（3） (3 -10 )( 2 + 5 ) （4） (2 +10 )2 (14 - 4 10 ) 初二数学·暑期19第第第二次根式几何学是在不准确的图形上进行正确推理的艺术。波利亚第讲勾股定理第三讲勾股定理勾股定理知识梳理1. 勾股定理： 直

19、角三角形的两条直角边 a , b 的平方和等于斜边 c 的平方， 即a2 + b2 = c2 常见公式： c2 = a2 + b2 ，a2 = c2 - b2 ，b2 = c2 - a2注：勾较短的直角边，股较长的直角边，弦斜边2. 勾股定理的证明：（1）方法一：内弦图以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 1 ab 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、 E 、 B 三点在2一条直线上， B 、 F 、 C 三点在一条直线上， C 、 G 、 D 三点在一条直线上aDbGCa HbbFaaBAbE RtHAE RtEBF ， 

20、08;AHE = ÐBEF 一起学网校21cccc模块 1 ÐAEH + ÐAHE = 90° ， ÐAEH + ÐBEF = 90° ÐHEF = 180°- 90° = 90° 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形它的面积等于 c2 RtGDH RtHAE ， ÐHGD = ÐEHA ÐHGD + ÐGHD = 90° ， ÐEHA + ÐGHD = 90° 又 ÐGHE = 90&#

21、176; ， ÐDHA = 90°+ 90° = 180° ÐDHA = 90°+ 90° = 180° ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于(a + b)2 学习札记 (a + b)2 = 4 ´ 1 ab + c2 2 a2 + b2 = c2 （2）方法二：外图赵爽弦图以 a 、 b 为直角边(b > a) ，以 c 为斜边作四个全等直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 1 ab 把这四个直角三角形拼成如图所示形状2Dcba G HFECAB RtDAH RtABE ，

22、 ÐHDA = ÐEAB ÐHAD + ÐHAD = 90° ， ÐEAB + ÐHAD = 90° ， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2 EF = FG = GH = HE = b - a ，ÐHEF = 90° 22一起学网校第第第勾股定理 EFGH 是一个边长为 b - a 的正方形，它的面积等于(b - a)2 学习札记 4 ´ 1 ab + (b - a)2 = c2 2 a2 + b2 = c2 （3）方法三：1876 年美国总统 Garfield

23、证明以 a 、 b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于 1 ab 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A 、2E 、 B 三点在一条直线上CDa AccbaBEb RtEAD RtCBE ， ÐADE = ÐBEC ÐAED + ÐADE = 90° ， ÐAED + ÐBEC = 90° ÐDEC = 180°- 90° = 90° DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于 1 c2 2又 ÐDAE = 90 ， &#

24、208;EBC = 90° ， ADBC ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于 1 (a + b)2 2 1 (a + b)2 = 2 ´ 1 ab + 1 c2 2 a2 + b2 = c2 22（4）方法四：拼接法做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a 、 b ，斜边长为 c ，再做三个边长分别为 a 、 b 、 c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形初二数学·暑期23第第第勾股定理baab学习札记aaabbbbaaabb从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b ，所以面积相等即：a2 + b2 + 4 ´ 1

25、ab = c2 + 4 ´ 1 ab 2整理得 a2 + b2 = c2 2做三个边长分别为 a 、 b 、 c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H 、 C 、 B 三点在一条直线上，连结 BF 、 CD 过 C 作 CL DE ， 交 AB 于点 M ，交 DE 于点 L AF = AC ， AB = AD ，ÐFAB = ÐGAD ， FAB GAD ， FAB 的面积等于 1 a2 ，GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半，2矩形 ADLM 的面积= a2 同理可证，矩形 MLEB 的面积= b2 正方形 ADEB 的面积= 矩形 ADLM 的面

26、积+ 矩形 MLEB 的面积 c2 = a2 + b2 ，即 a2 + b2 = c2 GHaCKFbaBAccEDL24一起学网校第第第勾股定理Mbccccaaccb学习札记例题精讲在RtABC 中， ÐB = 90° ， BC = 1 ， AC = 2 ，则 AB 的长是（例 1）A 1B 3C 2D 5例 2如图，两个较大正方形的面积分别为 225 、 289 ，则字母 A 所代表的正方形的面积为（）289225AA 4B 8C 16D 64例 3如图图中，不能用来证明勾股定理的是（）ababcbaaabABDCcFcbbaaAEBCD初二数学·暑期25第第

27、第勾股定理cabbc cc c如图，在 ABC 中， ÐACB = 90° ， AC = 8 ， AB = 10 ， CD AB 于D ，则 CD 的长是（）C例 4学习札记ADBB 32C 24D 18A 6555例 5一架 5m 的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角 3m ，若梯子的顶端下滑 1m ，则梯足将滑动（）A 0mB 1mC 2mD 3m如图，在四边形 ABCD 中， ÐB = ÐD = 90° ， AB = BC = 2 ， CD = 1 ， 求 AD 的长A例 6DBC26一起学网校第第第勾股定理勾股定理的逆定理学习札记

28、知识梳理1. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为 a 、 b 、 c ，且 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形，2. 勾股定理逆定理的证明：采用构造全等三角形的证明方法3. 勾股定理逆定理的应用（1） 判断一个三角形是否为直角三角形；结论：在ABC 中，设 AB = c ， BC = a ， AC = b若 c2 = a2 + b2 ，则ÐC 是直角；若 c2 < a2 + b2 ，则ÐC 是锐角；若 c2 > a2 + b2 ，则ÐC 是钝角（2） 证明线段的垂直关系3勾股数：满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数，

29、称为勾股数勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数必须是三个正整数， 0.3 ， 0.4 ， 0.5 ，满足 0.32 + 0.42 = 0.52 ，但它们不是正整数，不是一组勾股数如果三个数 a ， b ， c 满足勾股定理，那么 ak ， bk ， ck 也一定满足勾股定理（但它们不一定是一组勾股数，勾股数必须是三个正整数）用含字母的代数式表示 n 组勾股数：n2 -1 ， 2n ， n2 +1 （ n 2 ， n 为正整数）2n +1 ， 2n2 + 2n ， 2n2 + 2n +1 （ n 为正整数）记住常用勾股数，提高做题速度常用勾股数： 3 ， 4 ， 5 ； 6 ， 8 ， 10 ； 5

30、 ， 12 ， 13 ； 7 ， 24 ， 25 ；9 ， 40 ， 41 ； 8 ， 15 ， 17初二数学·暑期27第第第勾股定理模块 2学习札记例题精讲例 7下列以 a ， b ， c 为边的三角形，不是直角三角形的是（）A a = 1 ， b = 1 ， c =2C a = 3 ， b = 4 ， c = 5B a = 1 ， b =3 ， c = 2D a = 2 ， b = 2 ， c = 3例 8下列各组数中是勾股数的是（A 4 ， 5 ， 6C 1 ， 2 ， 3）B 0.3 ， 0.4 ， 0.5D 5 ， 12 ， 13例 9下列说法中，正确的有（）如果Ð

31、;A + ÐB = ÐC ，那么ABC 是直角三角形；如果ÐA : ÐB : ÐC = 3: 4 : 5 ，则ABC 是直角三角形；如果三角形三边之比为 2 : 5: 7 ，则ABC 为直角三角形；如果三角形三边长分别是 n2 -1 、 2n 、 n2 +1(n > 1) ，则ABC 是直角三角形A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个如图，已知 AD = 4 ， CD = 3 ， BC = 12 ， AB = 13 ， ÐADC = 90° ，求四边形 ABCD 的面积例 10CBDA28一起学网校第第第勾股定理例

32、11 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为 1 ， ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上（1） 计算边 AB 、 BC 、 AC 的长（2） 判断ABC 的形状，并说明理由学习札记AB例 12 如图，矩形 ABCD 中， AB = 8 ， BC = 4 ，将矩形沿 AC 折叠，点 D 落在点 D¢ 处，则重叠部分ABC 的面积为DCAFBD初二数学·暑期29第第第勾股定理C学习札记牛刀小试（温馨提示：请对准虚线区域清晰拍照上传）30一起学网校第第第勾股定理1如果直角三角形的两直角边长是 9 ， 12 ，那么斜边长为（）A 15B 13C 17D 192满足下列

33、条件的ABC ，不是直角三角形的是（）A b2 - c2 = a2B a : b : c = 3: 4 : 5C ÐC = ÐA - ÐBD ÐA : ÐB : ÐC = 9 :12 :153如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形， 是我国古代数学的骄傲，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理已知小 正方形的面积是 1 ，直角三角形的两直角边分别为 a 、 b 且 ab = 6 ，则图中大正方形的边长为（ ）A 5B 13C 4D 3学习札记初二数学·暑期31第第第勾股定理4如图是一株美丽的勾股树，其中所有的

34、四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形 A ， B ， C ， D 的边长分别是 4 ， 9 ， 1 ， 4 ，则最大正方形 E 的面积是（ ）CDEA 18B 114C 194D 3245如图，在四边形 ABCD 中， ADBC ， ÐC = 90° ， BCD 与BC¢D 关于直线 BD 轴对称， BC = 6 ， CD = 3 ，点 C 与点 C¢ 对应， BC¢ 交 AD 于点 E ，则线段 DE 的长为（ ）CA EDB CA 3B 15C 5D 1542BA几何无王者之道。欧几里德第讲全等三角形的辅助线添加（一）第四

35、讲全等三角形的辅助线添加（一）复习全等三角形及其判定知识梳理1. 全等三角形：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形2. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等 .3. 全等三角形的判定：（1） 边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 .（2） 角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 .（3） 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 .（4） 边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等 .（5） 斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 .例题精讲例 1 如图， AB AC ， CD BD

36、 ， AC 、 BD 相交于点 O 已知 AB = CD ，利用可以判定ABO DCO ；已知AB = CD ， ÐBAD = ÐCDA ，利用可以判定ABD DCA ；一起学网校33模块 1已知 AC = BD ，利用可以判定ABC DBC ；已知 AO = DO ，利用可以判定ABO DCO ；已知AB = CD ， BD = AC ，利用可以判定ABD DCA ；学习札记ADOBC常见模型“手拉手”模型知识梳理手拉手模型：在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形ABD 和BCE ，连接AE 与 CD 特点：共顶点，特殊图形（等边三角形、等腰直角三角形、正多边形）DEDD OAFHEOHE F