理论力学第二章例题

1、万有引力n求解匀质杆(质量为M,长为l)与其延长线上一质点间的引力（p84)。n解：质量元dM=Mdx/l2)(axllGMmdxdFOXx+dxxalmdMlaxllGMmdxdFF02)()11(10alalGMmaxllGMml球壳的万有引力 )( 0)( 2RrRrrrrGMmFn求地球内部物体受到的万有引力3233 RGMmrrmMGFRrMVMVMM兰色部分：不贡献引力红色部分：贡献引力，恰如位于球心的一个质点M，M是红色部分的总质量球体的万有引力 )( )( 32RrrrRGMmrRrrrrGMmFORFrn练习:(p506,4.5)LTT+dTdrLMdmrdmTdTT ,2

2、/2LrdrMdT /20LrTLrdrMdT)(21222rL M LTn例1（p505,3.5)：在光滑水平面上，直立一个半径为R的中空直圆筒。在筒内放两个相同的匀质球，球半径为r (R/2rm2。当电梯（1）匀速上升，（2）匀加速上升时，求绳中的张力和物体A相对于电梯的加速度。n解：a0m1Fam2a（1）匀速上升，a0=0受力分析：ym1m1gTm2gm2T加速度分析：m1, -a m2, a列方程：T-m1g =-m1a T-m2g =m2aa =(m1 -m2)g/(m1 +m2)T =2m1m2g/(m1 +m2)n例3 设电梯中有一质量可以忽略的滑轮，在滑轮两侧用轻绳悬挂着质量

3、分别为m1和m2的重物A和B，已知m1m2。当电梯（1）匀速上升，（2）匀加速上升时，求绳中的张力和物体A相对于电梯的加速度。n解：a0m1Fam2a（2）匀加速上升，a0受力分析：ym1m1gTm2gm2T加速度分析：m1, a0-a m2, a0a列方程：T-m1g =m1(a0a) T-m2g =m2 (a0+a) a =(m1 -m2)(a0+g)/(m1 +m2)T =2m1m2(a0+g)/(m1 +m2)要领：a.除受力分析外，还要分析加速度b.要注意正负号n练习 一根绳子跨过定滑轮，在滑轮一侧用轻绳悬挂着质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑

4、动，今看到绳子从圆柱孔中加速上升。柱体相对于绳子以匀加速a下滑。求m1、m2相对于地面的加速度，绳中张力以及柱体与绳子间的摩擦力。（绳的质量、滑轮的质量以及滑轮的转动摩擦都不计。）m1m2a相对a1a1yn解：受力分析：m1m1gTm2gm2f(=T)加速度分析：m1: a1 m2: a-a1列方程：m1g -f=m1a1 m2g-f =m2(aa1)f=T 的另一个例子n例4 一升降机内有一光滑斜面。斜面固定在升降机的底版上，其倾角为 。当升降机以匀加速a0上升时，物体m从斜面的顶点沿斜面下滑。求物体m相对于斜面的加速度以及相对于地面的加速度。a0amOxyn解：受力分析：mgNa0aa加速

5、度分析：a= a+a0X方向:ax=acosY方向:ay=a0-asin列方程：Nsin =macosNcos -mg =m(a0asin )解得:a=(g+a0)sin , N= m(g+a0)cos n练习:(p507,4.11)sincos221aaaaayxMma1a2xy分析：M: m:加速度：a1(+x方向） a=a1+a2 MgRNmgN列方程：m:M:sincos)cos(sin221mamgNaamN0cossin1NMgRMaN2221sinsin)(sincossinmMgMmamMmgan例6：有一密度为 的细棒，长度为l,其上端用细线悬着，下端紧帖着密度为 的液体表面

6、。现将悬线剪断，求细棒恰好全部没入液体中时的沉降速度。设液体没有粘性。n解：lxxBGsxgBlsg,GslmdtdvmBG ,vllvdvdxdtdvldxgxgl00)(式子两边乘以dxdtdvslsxglsg2222121lvglglglv)2(请考虑：棒在水中作什么运动？n例7：计算一小球在水中竖直沉降的速度。已知小球的质量为m, 水对小球的浮力为B, 水对小球的阻力为 R=-kv, 式中k是与水的粘性，小球半径有关的常数。 mgBRmg-B-kv=0vf=(mg-B)/k 极限速度（收尾速度）n解:(1)初始时，v=0，mg-B|R|, a0 v , |R| , 平衡时 mg-B+R

7、=0(2) mg-B-kv=mdv/dt vf-v=(m/k)dv/dt(2) mg-B-kv=mdv/dt vf-v=(m/k)dv/dtdtmkvvdvf)exp( ,)ln(tmkCvvCtmkvvff积分常数由初始条件确定，将t=0, v=0代入上式， 得 C=vfv=vf1-exp(-kt/m)tvvfO与LR电路相似模拟，类比方法n一个有用的积分：2211221/11/1/1/ ,)1ln(1xyshchydxdychydydxshy xxshyxshxxxdx所以证明：作业4.8)tan(tancos12tantan)tan1 (cos)tan(tan21)tan1/()tan1

8、 (cos)tan(tan21)cos/(coscos)tan(tan2 1)cos/(cos21)sincos/cos(sincos/cos/021sin21sincoscos2120221222221022122210212221022221222121012212222021110220110gvgvgvgvttgtvttgttvhgttvhxtvtv)tan(tan)cot(2)tan(tan12)tan(tantantan1)tan(tan12tan)tan(tantan1)tan(tan12tan)tan(tancos1)tan(tancos12sin)tan(tancos1)si

9、n21()tan(tancos1221212021202121212022122212022122212202212220221202gvgvgvgvgvtvgthgvtn例2 一根绳子跨于一光滑的定滑轮两边，绳中张力为T，绳与滑轮接触的一段在轮心所张的角是2 。求绳对定滑轮的作用力。T0coscos0sinsinTTTTNNTOABxycos,cosTTsin,sin,TTNsin2TN n解： x方向， y方向，TTFF=2T解：选取地面参考系。水相对于参考系转动，任选一小块水，其受力如下图。mg g为重力，N N为这一小块水周围液体对它的作用力的合力，N N应垂直于液体表面。 angrzgrdrdzrmmaNmgNn2tansin0cos2222例5 定量计算牛顿旋转水桶的水面形状。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。此为抛物线方程，可见液面为旋转抛物面。练习: 图示为一圆锥摆。悬线长为l,摆锤质量为m。摆锤在水平面内作匀速圆周运动，使悬