导数的文章李芳

1、导数问题的常见类型及解法李芳（肥城市职业教育中心校 山东 泰安 271600）摘要：导数的引入,为研究函数的性质,图像等开辟了新的途径.只有深刻理解导数作为特殊函数的几何意义之所在,熟练掌握利用导数求极值,单调区间,函数在闭区间上的最值等基本方法,才能应用的得心应手.关键词：导数的几何意义 切线问题 函数性质近几年导数进入中学教学教材，给传统的中学数学内容注入了生机与活力.并且高考对导数的考察愈加关注. 不仅题型在变化，而且问题的难度、深度与广度也在不断加大。以下我将结合某些高考题，谈谈高考中导数问题的常见类型及解法。 类型1-利用导数的几何意义解决切线问题 函数y=f(x)在点x0处的几何意

2、义,就是曲线在点p(x0,f(x0)处的切线斜率例1 若曲线的一条切线与直线垂直,求直线的方程. 解:由与直线垂直,则 设切点 由 则 故 切点为(1,1) 由此直线方程为 即例2已知函数在R上满足，求曲线在点处的切线方程. 解：由得，即，切线方程为，即类型2-利用导数知识研究函数性质运用导数的有关知识研究函数的性质.如单调性,极值和最值问题.例3设函数（）讨论的单调性；（）求在区间的最大值和最小值解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为例4设函数.（）若曲线在点处与直线相切，求的值；（）求函数的单调区

3、间与极值点.解:（）,曲线在点处与直线相切，（）,当时，函数在上单调递增，此时函数没有极值点.当时，由，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，此时是的极大值点，是的极小值点.类型3利用导数处理含参数的恒成立的不等式问题恒成立问题是不等式与函数结合的常见题型,关键是利用导数的作用求解函数的最值形式,从而解决参数的范围问题.例5设函数=其中求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.解:函数在上是单调函数,即或在上恒成立. 由,得在上的最小值是0,所以此与题设矛盾. 由,得在上连续递增,且所有值都小于1,所以综合可知,当时,函数在区间上是单调函数. 例6设函数（）求的最小值；（）

4、若对恒成立，求实数的取值范围解：（），当时，取最小值，即（）令，由得，（不合题意，舍去）当变化时，的变化情况如下表：递增极大值递减在内有最大值在内恒成立等价于在内恒成立，即等价于，所以的取值范围为类型4-利用导数处理实际生活中的优化问题 在解决实际生活中的最值时,以往是在建立目标函数后,通过拼凑变形转化为符合二元均值不等式的形式求最值.而如何拼凑是一个难点,不易把握.而运用导数的知识求目标函数的最值则非常的简单.例7 用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？解：设长方体的宽为x（m），则长为2

5、x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V（x）0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）9×12-6×13（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。例8某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。 （）试写出关于的函数关系式； （）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？解 （）设需要新建个桥墩，所以 （） 由（）知， 令，得，所以=64 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当0<<64时<0， 在区间（0，64）内为减函数； 当时，>0. 在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，答:需新建9个桥墩才能使最小。导数的引入,为研究函数的性质,图像等开辟了新的途径.只有深刻理解导数作为特殊函数的几何意义之所在,熟练