导数及其应用极值与最值教学设计师

1、专题020：导数的应用(极值与最值)（教学设计）（师）考点要求：1利用导数求函数的极值2利用导数求函数闭区间上的最值3利用导数解决某些实际问题4复习时，应注重导数在研究函数极值与最值中的工具性作用，会将一些实际问题抽象为数学模型，从而用导数去解决复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用.知识结构：1函数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法列表法一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极大值；如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，那么f(x0)是极小值(2)求可导函数极值的步骤列表法求f(x)；求方程f(x)0的根

2、；检查f(x)在方程f(x)0的根左右值的符号如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点2函数的最值(1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值(3)设函数f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤如下：求f(x)在(a，b)内的极值；将f(x)的各极值与f(a)

3、，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值3利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x)；(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0；（一般情况下为单峰函数）(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答4两个注意(1)注意实际问题中函数定义域的确定（定义域优先原则）(2)在实际问题中（一般情况下为单峰函数），如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较5三个防范

4、(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论；另外注意函数最值是个“整体”概念，而极值是个“局部”概念(2)f(x0)0是yf(x)在xx0取极值的既不充分也不必要条件如y|x|在x0处取得极小值，但在x0处不可导；f(x)x3，f(0)0，但x0不是f(x)x3的极值点(3)若yf(x)可导，则f(x0)0是f(x)在xx0处取极值的必要条件基础自测：1(2011·福建)若a0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()A2 B3 C6 D9解析f(x)12x22ax2b，由函数f(x)在x1处有极值，可知函数f

5、(x)在x1处的导数值为零，122a2b0，所以ab6，由题意知a，b都是正实数，所以ab229，当且仅当ab3时取到等号答案D2已知函数f(x)x4x32x2，则f(x)()A有极大值，无极小值 B有极大值，有极小值 C有极小值，无极大值 D无极小值，无极大值解析f(x)x34x24xx(x2)2f(x)，f(x)随x变化情况如下x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)0因此有极小值无极大值答案C3(2010·山东)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为yx381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为()A13万件 B11

6、万件 C9万件 D7万件解析yx281，令y0解得x9(9舍去)当0x9时，y0；当x9时，y0，则当x9时，y取得最大值，故选C.答案C4(2011·广东)函数f(x)x33x21在x_处取得极小值解析f(x)3x26x3x(x2)当x0时，f(x)0，当0x2时，f(x)0，当x2时，f(x)0，故当x2时取得极小值答案25若函数f(x)在x1处取极值，则a_.解析f(x)在x1处取极值，f(1)0，又f(x)，f(1)0，即2×1×(11)(1a)0，故a3. 答案3例题选讲：例1：(2011·重庆)设f(x)2x3ax2bx1的导数为f(x)，若

7、函数yf(x)的图象关于直线x对称，且f(1)0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值分析：由条件x为yf(x)图象的对称轴及f(1)0求得a，b的值，再由f(x)的符号求其极值，列表法解(1)因f(x)2x3ax2bx1，故f(x)6x22axb.从而f(x)62b，即yf(x)的图象关于直线x对称，从而由题设条件知，解得a3.又由于f(1)0，即62ab0，解得b12.(2)由(1)知f(x)2x33x212x1，f(x)6x26x126(x1)(x2)令f(x)0，即6(x1)(x2)0，解得x12，x21.当x(，2)时，f(x)0，故f(x)在(，2)上为增函数；当x(

8、2,1)时，f(x)0，故f(x)在(2,1)上为减函数；当x(1，)时，f(x)0，故f(x)在(1，)上为增函数从而函数f(x)在x12处取得极大值f(2)21，在x21处取得极小值f(1)6.小结： 运用导数求可导函数yf(x)的极值的步骤列表法：(1)先求函数的定义域，再求函数yf(x)的导数f(x)；(2)求方程f(x)0的根；(3)检查f(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值例2：已知a为实数，且函数f(x)(x24)(xa)(1)求导函数f(x)；(2)若f(1)0，求函数f(x)在2,2上的

9、最大值、最小值分析：先化简再求导，求极值、端点值，进行比较得最值解(1)f(x)x3ax24x4a，得f(x)3x22ax4.(2)因为f(1)0，所以a，有f(x)x3x24x2，所以f(x)3x2x4.令f(x)0，所以x或x1.又f，f(1)，f(2)0，f(2)0，所以f(x)在2,2上的最大值、最小值分别为、.小结：一般地，在闭区间a，b上的连续函数f(x)必有最大值与最小值，在开区间(a，b)内的连续函数不一定有最大值与最小值，若函数yf(x)在闭区间a，b上单调递增，则f(a)是最小值，f(b)是最大值；反之，则f(a)是最大值，f(b)是最小值例3：(2011·江苏)

10、请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值分析： 由实际问题抽象出函数模型，利用导数求函数最优解，注意变量的实际意义解设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)由已知得ax，h(30x)，0x3

11、0.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800，所以当x15时，S取得最大值(2)Va2h2(x330x2)，V6x(20x)由V0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时，V0；当x(20,30)时，V0.所以当x20时，V取得极大值，也是最大值此时.即包装盒的高与底面边长的比值为.小结：在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量、建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合，用导数求解实际问题中的最大(小)值，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点巩固作业：A组：一、 选择题：1如果函数在上的最小

12、值是，那么（）12 2下列函数中，是极值点的函数是(B） （A） （B） （C） （D）3下列说法正确的是（D） （A）函数的极大值就是函数的最大值（B）函数的极小值就是函数的最小值（C）函数的最值一定是极值（D）在闭区间上的连续函数一定存在最值二、填空题：4函数在处有极值，则点为 答案：（-4,11）5函数的图象与轴切于点，则的极大值为，极小值为06函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是7函数在0，3上的最大值、最小值分别是 5，15 。8函数的最大值是，最小值是。9函数的极大值是，极小值是。三、解答题：10. (2011·安徽)设f(x)，其中a为正实数(1)当a时，求f(x

13、)的极值点；(2)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围解对f(x)求导得f(x)ex.(1)当a时，若f(x)0，则4x28x30，解得x1，x2.综合，可知xf(x)00f(x)极大值极小值所以，x1是极小值点，x2是极大值点(2)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a0，知ax22ax10在R上恒成立因此4a24a4a(a1)0，由此并结合a0，知0a1.11.函数f(x)x3ax2b的图象在点P(1,0)处的切线与直线3xy0平行(1)求a，b；(2)求函数f(x)在0，t(t>0)内的最大值和最小值解(1)f(x)3x22ax由已知条件即解得(2)

14、由(1)知f(x)x33x22，f(x)3x26x3x(x2)，f(x)与f(x)随x变化情况如下：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)22由f(x)f(0)解得x0，或x3因此根据f(x)的图象当0<t2时，f(x)的最大值为f(0)2最小值为f(t)t33t22；当2<t3时，f(x)的最大值为f(0)2，最小值为f(2)2；当t>3时，f(x)的最大值为f(t)t33t22，最小值为f(2)2.12. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：yx3x8(0<x120)已知甲、乙两地相距100千米(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？解(1)设汽车以x千米/小时的速度行驶时，其耗油量为f(x) (0<x120)f(40)17.5(升)因此从甲地到乙地要耗油17.5升(2)f(x) 又0<x120，令f(x)0解得x80，当0<x<80时，f(x)<0；当80<x120时，f