定积分及其应用2

1、第六章定积分6.1 定积分的概念一、定积分的定义1.引 例1 设函数在闭区间，上有定义且非负曲线与直线围成一个图形曲边梯形，来其面积求近似值：用一串分点把，分成段，相应地把曲边梯形分成个条形，其中第个条形为BA图1.3-3曲边梯形面积的近似值划分越细，近似效果越好。例2 设物体作变速直线运动，其速度是时间的函数.我们来计算这物体从时刻到时刻经过的路程为此，用一串分点,把这段时间分成小段总路程近似等于当分割的时间间隔越来越短时，上述和式的极限值即为所求的路程2定义设在区间有定义,在内任意插入个分点：，此分法表为.分法将分成个小区间：.第个小区间的长度表为,是这个小区间的长度的最大者：.在中任取一

2、点，作和数，称为在上的积分和.如果当时，和数趋于确定的极限，且与分法无关，也与在中的取法无关，则称在上可积，极限称为在上的定积分，简称为积分，记作. 即：其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，与叫做积分的下限与上限，符号是积分符号.如果当时，积分和不存在极限，则称在上不可积.注意：（1）定积分的值只与被积函数以及积分区间有关，而与积分变量写成什么字母无关，即.（2）与不定积分区别；二、定积分的几何意义及可积函数类1几何意义：（1）若在上，则定积分表示由曲线轴及直线所围成的曲边梯形的面积（图6.1-1a）；（2），表示上述曲边梯形的面积的相反数（如图6.1-1b）；（3）若函数在上有正

3、有负各部分面积的代数和。+- +a +-+图6.1-1a图6.1-1b图6.1-1ca 2可积函数类：（1）若函数在上连续，则在上可积.（2）若函数在上有界，且只有有限个间断点，则在上可积.三、例计算定积分.解因为在上连续，故在上可积，因此可以对采用特殊的分法，（只要）以及选取特殊的点，取极限即得到积分值.将等分，则，取，则有 .为了书写方便，令,利用积化和差公式有：，所以.6.2 定积分的基本性质一、定义推广：二、性质1.证.2（为常数）.3（积分区间的可加性）如果将积分区间分成两部分，则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和，即设，则证因为函数在上可积，所以不论怎样划分，不论怎样

4、选取，当时，积分和的极限是不变的，所以我们可以选取永远是个分点，即.推广：不论的相对位置如何，成立.例如,当时，由于，则.4如果,则.5如果在区间上，则.证，因为，故 ()，又 ()，因此，所以，, 即:.推论1如果在区间上,则 ().推论2，().证因为，则，即.6设分别是函数在上的最大值和最小值，则.证因为，由推论1得，再由性质2及性质4可得.性质7如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立:.证因在上连续，故必存在最大值与最小值，由性质6，或.这说明，数介于与之间，根据闭区间连续函数的介值定理，在区间内存在一点，使,即a b 图6.2-1.此性质称为积分中值定理.积分

5、中值定理有其明显的几何意义:设，由曲线轴及直线所围成的曲边梯形的面积等于以区间为底，某一函数值为高的矩形面积.6.3微积分基本定理一、 引例 做直线运动的物体的位置函数为,速度函数为物体从到这段时间所经过的距离为.（1）说明，等于的原函数在区间的增量问题：是不是普遍规律？二、积分上限函数1定义：设在区间上连续，为上任意一点，则在区间也连续，故定积分存在.于是,有唯一确定的数与之对应，所以在上定义了一个函数，记作:Oa b 图6.3-1（） （2）我们把（2）式定义的函数称为积分上限的函数.2性质：如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上可导，并且它的导数是（）.（3）证设自变量有增量，使，则

6、函数具有增量.利用积分中值定理，则有，介于与之间.于是,有(介于与之间),（4）由于在上连续，且当时，有.三、牛顿莱布尼兹公式定理3如果函数是连续函数在区间上的一个原数，则 . （5）证已知是的一个原函数，积分上限的函数也是的一个原函数，于是这两个原函数之差在上必定是某一常数:=(, （6）在上式中,令,则，又，因此,代入(6)式,有,在上式中令，即得. 或|例1 计算定积分.解=.例2计算.解|=.例3 计算.解要去掉绝对值符号，必须分区间积分，显然点为区间的分界点,.例4计算，其中解于是.例5求极限.解例6 求.解令,为中间变量，则上式变为，.6.4 定积分的换元积分法一、定理若函数在区间

7、上连续,函数在区间上具有连续的导数,当在区间上变化时，的值在上变化，又,则 (1) 证设是在上的一个原函数，则，再设对求导， 得即是的一个原函数，因此有.又，可知，所以.推广：1。,定理同样成立. 2此定理也可反过来使用，.例1计算.解令，则，于是|.例2计算.解令,则，于是.例3设函数在上连续，证明：（1） 若是偶函数，则;（2） 若是奇函数，则.证因为在上式右端第一项中，令，则有，所以;当为偶函数时，,则；当为奇函数时，即，则.例4若在上连续，证明证设， .例5若在上连续，证明:, 并由此计算.证明，对于上式右端第二项的积分，设则.练习：.6.5 定积分的分部积分法一、公式：，或.二、例例

8、1计算.解|.例2计算.解令，则，于是,.例3计算.解设,即移项，解得.例4求,其中为非负整数.解，.当时,.移项，得到积分的递推公式.1) 当为偶数时,设,有,2) 当为奇数时,设,有.练习：6.6 广义积分（普通积分的极限）一、无穷限的广义积分1定义设函数在区间上连续，取，如果极限存在，则称此极限值为函数在无穷区间上的广义积分,记作，即.这时也称广义积分收敛.反之，则称广义积分发散.同样，可以定义在上的广义积分.2同理，设在区间上连续,取0，如果极限存在，则称此极限值为无界函数在上的广义积分或瑕积分，记作，即=.也称广义积分收敛.若上述极限不存在，则称广义积分发散.3当为瑕点或为瑕点时，可类似地定义在上的瑕积分:=.当在内有两个以上瑕点时，也可类似地定义瑕积分。例5计算.解因为，所以点是瑕点.例6计算.解因为，所以点是瑕点，分别考察下列两个广义积分:和.所以广义积分发散.（