导数与分类讨论

1、导数与分类讨论1.已知函数 ，当 时，讨论函数 的单调性.2.已知函数，（I）求的单调区间；（II）求在区间上的最小值.3.已知函数.（）讨论函数的单调性；（）设，证明：对任意，.【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域.第二问构造函数证明函数的单调性【解析】() f(x)的定义域为(0,+)，.当a0时，0，故f(x)在(0,+)单调增加；当a1时，0, 故f(x)在(0,+)单调减少；当1a0时，令0,解得x=.当x(0, )时, 0；x(，+)时，0, 故f(x)在（0, ）单调增加，在（，+）单调减少.()不妨假设x1x2.由于a2,故f(x)在（0，+）单调减少.所

2、以等价于,即 令,则+4.于是0.从而在（0，+）单调减少，故，故对任意x1,x2(0,+) ，.4.设函数，其中常数a1()讨论f(x)的单调性; ()若当x0时，f(x)0恒成立，求a的取值范围. 【解题思路】本题考查导数与函数的综合运用能力，涉及利用导数讨论函数的单调性，第一问关键是通过分析导函数，从而确定函数的单调性，第二问是利用导数及函数的最值，由恒成立条件得出不等式恒成立条件从而求出的范围.【解析】（I） 由知，当时，故在区间是增函数；当时，故在区间是减函数； 当时，故在区间是增函数. 综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数. （II）由（I）知，当时，在或处取得最小值. 由

3、假设知 即解得 1a6故的取值范围是（1，6）5. 已知函数，（）讨论函数的单调区间；（）设函数在区间内是减函数，求的取值范围分析：对于第(1)小题，求导后利用f (x)0或0，解不等式即得单调区间；而(2)转化为0在上恒成立即可解：（1）求导：当时，在上递增当，求得两根为，即在递增，递减，递增（2）若函数在区间内是减函数，则两根在区间外，即，解得a2，故取值范围是2，)6.() 当时，求函数的极值；（）当时，讨论函数的单调性.（）若对任意及任意，恒有 成立，求实数的取值范围. 解：()函数的定义域为. 当时，令得. 当时，当时， 无极大值.4分（） 5分 当，即时， 在上是减函数； 当，即时

4、，令得或 令得 当，即时，令得或 令得 7分 综上，当时，在定义域上是减函数； 当时，在和单调递减，在上单调递增； 当时，在和单调递减，在上单调递8分（）由（）知，当时，在上单调递减， 当时，有最大值，当时，有最小值. 10分而经整理得 由得，所以 12分7.设函数（1）当时，求函数的极值；（2）求函数在区间上的最小值8.已知（1）当时，讨论函数的单调增区间。（2）是否存在负实数，使，函数有最小值3？9.已知函数，其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）求的单调区间；（）若在上存在最大值和最小值，求的取值范围解：（）当时， 2分由 ， 得曲线在原点处的切线方程是3分 （） 4分 当时，所以

5、在单调递增，在单调递减 5分当， 当时，令，得，与的情况如下：故的单调减区间是，；单调增区间是 7分 当时，与的情况如下： 所以的单调增区间是，；单调减区间是9分（）由（）得， 时不合题意 10分 当时，由（）得，在单调递增，在单调递减，所以在上存在最大值 设为的零点，易知，且从而时，；时，若在上存在最小值，必有，解得 所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是 12分 当时，由（）得，在单调递减，在单调递增，所以在上存在最小值若在上存在最大值，必有，解得，或所以时，若在上存在最大值和最小值，的取值范围是 综上，的取值范围是 14分10.已知函数（）若，求曲线在点处的切线方程；（）求函数的

6、单调区间；（）设函数若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围【答案】解：函数的定义域为， 1分（）当时，函数，所以曲线在点处的切线方程为，即3分（）函数的定义域为 （1）当时，在上恒成立，则在上恒成立，此时在上单调递减 4分（2）当时，（）若，由，即，得或； 5分由，即，得6分所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为 7分（）若，在上恒成立，则在上恒成立，此时 在上单调递增 8分（）因为存在一个使得，则，等价于.9分令，等价于“当 时，”. 对求导，得. 10分因为当时，所以在上单调递增. 12分所以，因此. 13分另解：设，定义域为，.依题意，至少存在一个，使得成立，等价于当 时，. 9分（1）当时，在恒成立，所以在单调递减，只要，则不满足题意. 10分（2）当时，令得.（）当，即时，在上，所以在上单调递增，