学年度人教版数学九年级上一元二次方程2123因式分解法导学案有答案

1、21.2.3因式分解法【目标导航】1、会用因式分解法（提公因式法、公式法、十字相乘法）法解某些简单的数字系数的一元二次方程。2、能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。3、进一步让学生体会以“降次”为目的的“转化与化归”的数学思想。【知识链接】约瑟夫问题与因式分解有一个古老的传说，在古代的一场战争中有64名战士被敌人俘虏了，敌人命令它们排成一个圈，编上号码1，2，3，64。敌人把1号杀了，又把3号杀了，他们是隔一个杀一个这样转着圈杀。最后剩下一个人，这个人就是约瑟夫，请问约瑟夫是多少号？在此给大家一个提示，敌人从l号开始，隔一个杀一个，第一圈把奇数号码的战

2、士全杀死了。剩下的32名战士需要重新编号，而敌人在第二圈杀死的是重新编排的奇数号码。按照这个思路，看看你能不能解决这个问题？这就是数学上有名的“约瑟夫问题”。这个问题是用因式分解的方法解决的，因式分解不仅能解决这样的问题而且还能帮助我们解一元二次方程。下面我们就开始学习用因式分解法解一元二次方程。【珍宝探寻】珍宝 一解一元二次方程的因式分解法1.对于一元二次方程，一边是0，另一边化为两个一次因式的积，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2. 用因式分解法解一元二次方程的根据是：如果a·b=0,那么a=0或b=0.据此把一元二次方程化为

3、两个一元一次方程来解，达到降次的目的.3.只有当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法4.因式分解的方法：用因式分解法解一元二次方程的四种类型（1）平方差公式因式分解；（2）提取公因式因式分解；（3）完全平方公式因式分解；（4）十字相乘法因式分解珍宝 二 一元二次方程解法的选择1.解一元二次方程解法基本思路，一般先考虑直接开平方法，再考虑分解因式法，最后考虑配方法与公式法.2.在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。珍宝三 各种方法之间区别与

4、联系（1）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的区别：配方法要先配方，再开方、解两个一元一次方程求根注意：直接开平方法解形如x2=p（p0），那么x=±转化为应用直接开平方法解形如（mx+n）2=p（p0），那么mx+n=±，达到降次转化之目的。公式法直接利用公式求根因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0（2）三种方法（配方法、公式法、因式分解法）的联系： 降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次 公式法是由配方法推导而得到 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程【营养快餐】快餐

5、一 经典基础题例1用因式分解法解下列方程： （1） （2）解：（1） 移项，得把方程左边因式分解得x(4x11)=0得x=0或4x11=0所以=0，=. （2）移项，得=0=0把方程左边因式分解得=0得x2=0或x4=0所以=2，=4点拨：本题用因式分解法解一元二次方程的实质是应用“a·b=0,则a=0或b=0”在进行因式分解时有提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）。例2用因式分解法解方程：解：用十字相乘法先分解：因为-5+1=-4，所以可分解成（x-5）（x+1）=0所以x-5=0，x+1=0。所以x1=5 x2=-1点拨：用十字相乘法解一元二次方程时，要先将方程化成一般

6、式后，找出方程的二次项系数和常数项，然后将它们进行分解，看交叉相乘的乘积是否等于一次项系数，相等则分解成立，反之，可继续分解.例3用恰当的因式分解方法解下列方程：（1） （2）解：（1） 或（2）或点拨：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次因式乘积； （3）令每个因式分别为0；得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.例4.方程(x+2)2=3(2+x)最适合的解法是( )(A)直接开平方法 (B)因式分解法 (C)公式法 (D)配方法【解析】(x+2)2=3(2+x)，(x+2)2-3(x+2)=0

7、,(x+2)(x+2-3)=0.即用提公因式法因式分解.【答案】B.例5.用两种方法解方程：(x-3)2+4x(x-3)=0.【解析】方法一：(x-3)2+4x(x-3)=0，因式分解，得(x-3)(x-3+4x)=0，即(x-3)(5x-3)=0.于是得x-3=0或5x-3=0，x1=3,x2=3/5 .方法二：原方程可变形为x2-6x+9+4x2-12x=0，即5x2-18x+9=0.b2-4ac=(-18)2-4×5×9=144,点拨：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体来变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，否则先去括号，把方程

8、整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积。例6. 已知9a24b2=0，求代数式的值 分析：要求的值，首先要对它进行化简，然后从已知条件入手，求出a与b的关系后代入，但也可以直接代入，因计算量比较大，比较容易发生错误 解：原式= 因为9a24b2=0 所以（3a+2b）（3a2b）=0 3a+2b=0或3a2b=0，a=b或a=b 当a=b时，原式=3 当a=b时，原式=3快餐 二 中考能力题例7. （云南中考）一元二次方程x2x2=0的解是（）Ax1=1，x2=2Bx1=1，x2=2Cx1=1，x2=2Dx1=1，x2=2解析：直接利用十字相乘法分解因式，进而得出方程的根. x2

9、x2=0（x2）（x+1）=0，解得：x1=1，x2=2答案：D点评：此题主要考查了十字相乘法分解因式解方程，正确分解因式是解题关键例8. （舟山中考）方程x23x=0的根为 解析：因式分解得，x（x3）=0，解得，x1=0，x2=3.答案：D点拨：本题考查了解一元二次方程的方法，当方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用。例9.解方程：（x+1）(x-1)+2(x+3)=8【解析】利用整式的乘法及加减把一元二次方程化成一般形式，然后利用因式分解法.【答案】原方程可化为 解得【点评】在解一元二

10、次方程时一定要把方程变为一般形式后，然后根据直接开方法、配方法、因式分解法及求根公式法求解.快餐 三 易错易混题例10.解方程：x(x-2)=x-2,错解：对于x(x-2)=x-2,两边同除以x-2得：x=1;错因分析：在方程两边都除以x-2，x-2可能为0，所以可能丢掉了x-2=0这一个解.解此类方程应移项后用因式分解法来解。正解：由x(x-2)=x-2，得(x-1)(x-2)=0,得x1=1,x2=2例12.解方程： （x-1）(x-2)=2错解：由（x-1）(x-2)=2，得x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-

11、2= -1=2，=4，=3，=0错因分析：由（x-1）(x-2)=2不能得出：x-1=1,x-2=2 或者x-1=2,x-2=1，或者，x-1= -1,x-2= -2，或者x-1= -2,x-2= -1，因为x还可能为其它的数，例如分数、无理数等。还有 和都是矛盾的式子。正解：由（x-1）(x-2)=2，得x2-3x=0,因式分解得x(x-3)=0,所以原方程的解为x1=0,x2=3快餐 四 课堂练习题一、选择题1. 下面一元二次方程的解法中，正确的是（ ）A（x-3）（x-5）=10×2，x-3=10，x-5=2，x1=13，x2=7B（2-5x）+（5x-2）2=0，（5x-2）

12、（5x-3）=0，x1=，x2=C（x+2）2+4x=0，x1=2，x2=-2 Dx2=x 两边同除以x，得x=12.(德州模拟)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是( )(A)2 (B)3 (C)-1,2 (D)-1,33.(临沂模拟)一元二次方程x(x-2)=2-x的根是( )(A)-1 (B)2 (C)1和2 (D)-1和24. 方程的解是（ ）A B C， D，5.已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a0)，则下列代数式的值恒为常数的是 ( )(A)ab (B) (C)a+b (D)a-b二、填空题6. x2-5x因式分解结果为_；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是_

13、.7.已知代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数，则x的值是_.8. 小刚在解一元二次方程时，只得出一个根是，则被他漏掉的一个根是_.9.已知三角形的每条边的长都是方程x2-6x+8=0的根，则这个三角形的周长是_.三、解答题10.用因式分解法解下列方程：（1）； （2）11方程较大根为，方程较小根为，求的值.12. 已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程的解，求这个三角形的周长课堂练习参考答案1【解析】B 用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式只有B是正确的.【答案】B.2.【解析】 (x+1)(x-2)=x+1变形为(x+1)(x-3)=0，于是得x

14、+1=0或x-3=0，解得x1=-1，x2=3.【答案】D.3.【解析】移项，得x(x-2)+(x-2)=0，即(x-2)(x+1)=0，解得x1=2，x2=-1.【答案】D.4.【解析】， x（x-1）=0 ，x1=0，x2=1.【答案】C.5.【解析】把x=-a代入方程x2+bx+a=0得，a2-ab+a=0，即a(a-b+1)=0，又因为a0，所以a-b+1=0，即a-b=-1.【答案】D.6.【解析】x2-5x=x（x-5）；2x（x-3）-5（x-3）=（x-3）（2x-5）【答案】：x（x-5）；（x-3）（2x-5）7.【解析】代数式3-x与-x2+3x的值互为相反数，(3-x)+(-x2+3x)=0，即(3-x)-x(x-3)=0，即(x-3)(x+1)=0，解得x1=3，x2=-1.【答案】：3或-18.【解析】，想（x-4）x=0，x1=0，x2=4【答案】：09.【解析】解方程x2-6x+8=0得：x1=2,x2