基本计数原理和排列组合概念复习及专题训练

1、第一章 计数原理 基本计数原理和排列组合（概念篇）一、 概念回顾：（一）两个原理.1. 加法原理每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏) 2. 乘法原理任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同3. 可以有重复元素的排列.从个不同元素中，每次取出个元素，元素可以重复出现，按照一定的顺序排成一排，那么第一、第二第位上选取元素的方法都是个，所以从个不同元素中，每次取出个元素可重复排列数

2、例如：件物品放入个抽屉中，不限放法，共有多少种不同放法？ （解：种）（二）排列组合1、排列（1）排列数的计算：从个不同元素中取出个元素排成一列，称为从个不同元素中取出个元素的一个排列. 从个不同元素中取出个元素的一个排列数，用符号表示.（2）排列数公式： 注意： 规定 注：含有可重元素的排列问题对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集有个不同元素其中限重复数为，且 , 则的排列个数等于. 例如：已知数字3、2、2，求其排列个数又例如：数字5、5、5、求其排列个数？其排列个数. 2、组合（1）组合数的计算：从个不同的元素中任取个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 从个不同元素

3、中取出个元素的一个排列数，用符号表示。（2）排列数公式： 规定（3）两个公式： 二、基础训练：1用1，2，3，4，5这五个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ） （A）24个 （B）30个 （C）40个 （D）60个2甲、乙、丙、丁四种不同的种子，在三块不同土地上试种，其中种子甲必须试种，那么不同的试种方法共有（ ） （A）12种 （B）18种 （C）24种 （D）96种3某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（ ） （A）6种 （B）9种 （C）18种 （D）24种4由0，l，2，3，4，5这六个数字组成的无重复数字的三位

4、数中，奇数个数与偶数个数之比为 （ ）（A） l：l （B）2：3 （C） 12：13 （D） 21：235由0，l，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数中，从小到大排列第86个数是 （ ） （A）42031 （B）42103 （C）42130 （D）430216若直线方程的系数可以从0，1，2，3，6，7六个数中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是 （ ） （A）一2 （B） （C）+2 （D）27从这五个元素中任取四个排成一列，不排在第二的不同排法有（ ） （A） （B） （C） （D）8.三个女生和五个男生排成一排 （1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？ （2）如

5、果女生必须全分开，有多少种不同的排法？ （3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？ （4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？ （5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？9. 6个人站一排，甲不在排头，共有 种不同排法10. 6个人站一排，甲不在排头，乙不在排尾，共有 种不同排法11.五男二女排成一排，若男生甲必须排在排头或排尾，二女必须排在一起，不同的排法共有 种三、解题方法及训练：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定

6、义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：1、特殊优先法：对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个（30个）2、插空法：解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决。例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_ (答案:3600)3、捆绑法：相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列

7、。例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种（答案：240）4、排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法 排列组合应用题往往和数学其他章节某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答时，要注意使用相关知识对答案进行取舍。例如：从集合中任取3个元素分别作为直线方程中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条（答案：30）5、剪截法（隔板法）：个 相同小球放入个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段（插入块隔板），有种方法练一练：例1 求不同的排法种数：（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成

8、一排，2女不能相邻；（3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻真题训练：2009年(部分)一、选择题1.（北京卷文）用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）A8B24C48D1202（北京卷理）用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 （ ） A324 B328 C360 D6483.（全国卷文）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有（ ）A6种 B.12种 C.24种 D.30种4.（全国卷理）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2

9、名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A.150种 B.180种 C.300种 D.345种 5.(湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为（ ） 6.（四川卷文）2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A. 60 B. 48 C. 42 D. 367. （全国卷理）甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有( ) A. 6种 B. 12种 C. 30种 D. 36种8.（辽宁卷

10、理）从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有( )A.70种 B. 80种 C. 100种 D.140种 9.(湖南卷理)从10名大学生毕业生中选3个人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位 ( ) A . 85 B .56 C. 49 D .28 10.（四川卷理）3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( ) A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 二、填空题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1.（宁夏海南卷理）7名

11、志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排3人，则不同的安排方案共有_种（用数字作答）。2.（浙江卷理）甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是 （用数字作答）2010年（部分）一、选择题1、（2010全国卷2理数）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有（ ）（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种2、（2010重庆理数）某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在

12、相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有（ ）（A）504种 （B）960种 （C）1008种 （D）1108种 3、（2010北京理数）（4）8名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）（A） （B） （C） （D） 4、（2010四川理数）由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（ ）（A）72 （B）96 （C） 108 （D）144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m5、（2010全国卷1理数）某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种6、（2010浙江理数）有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“