基于模糊集理论的一种图像二值化算法

1、基于模糊集理论的一种图像二值化算法的原理、实现效果及代码这是篇很古老的论文中的算法，发表与1994年，是清华大学黄良凯（Liang-kai Huang) 所写，因此国外一些论文里和代码里称之为Huang's fuzzy thresholding method。虽然古老也很简单，但是其算法的原理还是值得学习的。     该论文的原文可从此处下载： Image thresholding by minimizing the measure of fuzziness。     该论文结合了当时处于研究热潮

2、的模糊集理论，提出了一种具有较好效果的图像二值化算法，本文主要是对其进行简单的翻译和注释，并提供了测试代码。一、模糊集及其隶属度函数     首先，我们假定X代表一副大小为M×N的具有L个色阶的灰度图像，而xmn代表图像X中点（m,n)处的像素灰度值，定义x(xmn)表示该点具有某种属性的隶属度值，也就是说我们定义了一个从图像X映射到0,1区间的模糊子集，用专业的模糊集表达，即有：              

3、0;                               其中0x(xmn)1，m=0,1,.M-1，n=0,1,.N-1。对于二值化来说，每个像素对于其所属的类别（前景或背景）都应该有很相近的关系，因此，我们可以这种关系来表示x(xmn)的值。     

4、60; 定义h(g)表示图像中具有灰度级g的像素的个数，对于一个给定的阈值t,背景和前景各自色阶值的平均值0和1可用下式表示：                                       

5、60;                                       上述0和1，可以看成是指定阈值t所对应的前景和背景的目标值，而图像X中某一点和其所述的区域之间的关系，在直觉上应该和该点的色阶值与所属区域的目标值之间的差异

6、相关。因此，对于点(m,n)，我们提出如下的隶属度定义函数：         其中C是一个常数，该常数使得0.5x(xmn)1。因此，对于一个给定的阈值t，图像中任何一个像素要么属于背景，要么属于前景，因此，每个像素的隶属度不应小于0.5。     C值在实际的编程中，可以用图像的最大灰度值减去最小灰度值来表达，即 C=gmax-gmin;二、模糊度的度量及取阈值的原则     模糊度表示了一个模糊集的模糊程度，有好几种度量方

7、式已经被提及了，本文仅仅使用了香农熵函数来度量模糊度。     基于香农熵函数，一个模糊集A的熵定义为：             其中香农函数：            扩展到2维的图像，图像X的熵可以表达为：     因为灰度图像至多只有L个色阶，因此使用直方图式（7）可进一步写成：   

8、           可以证明式（6）在区间0,0.5之间是单调递增而在0.5,1之间是单调递减的，并且E(X)具有以下属性：     （1）0E(X)1      （2）如果x(xmn)=0或者x(xmn)=1时，E(X)具有最小值0，在本文中x(xmn)只可能为1，此时分类具有最好的明确性。     （3）当x(xmn)=0.5，E(X)获得最大值1，此时的分类具有最大的不明确性。&

9、#160;    那么对于图像X，我们确定最好的阈值t的原则就是：对于所有的可能的阈值t,取香农熵值最小时的那个t为最终的分割阈值。三、编程中的技巧     有了上述原理，其实编程也是件很容易的事情了，你可以按照你的想法去做，不过作者论文中的阐述会让代码写起来更清晰、更有效。     首先，为了表达方便，我们定义如下一些表达式：             根据上述表达式，可以知道

10、S(L-1)及W(L-1)对于一副图像来说是个常量，其中S(L-1)明显就是像素的总个数。我们的算法步骤如下：     （1）、计算S(L-1)、W(L-1)，设置初始阈值t=gmin,令S(t-1)=0、W(t-1)=0;     （2）、计算下面算式:                     稍微有点数学基础的人都

11、应该能看懂上述算式的推导原理。       根据式（2）和式（3），可以知道背景和前景的区域的平均灰度值为：       上式中int表示取整操作。 （3）根据式（4）及式（11）计算图像的模糊度; （4）令t=t+1，然后重新执行步骤2，直到t=gmax-1; （5）找到整个过程中的最小模糊度值对应的阈值t，并作为最佳的分割阈值。 为了稍微加快点速度，上述式4中的计算可以在步骤1中用一查找表实现。   &

12、#160;四、参考代码：public static int GetHuangFuzzyThreshold(int HistGram) int X, Y; int First, Last; int Threshold = -1; double BestEntropy = Double.MaxValue, Entropy; / 找到第一个和最后一个非0的色阶值 for (First = 0; First < HistGram.Length && HistGramFirst = 0; First+) ; for (Last = HistGram.Length - 1; Last

13、 > First && HistGramLast = 0; Last-) ; if (First = Last) return First; / 图像中只有一个颜色 if (First + 1 = Last) return First; / 图像中只有二个颜色 / 计算累计直方图以及对应的带权重的累计直方图 int S = new intLast + 1; int W = new intLast + 1; / 对于特大图，此数组的保存数据可能会超出int的表示范围，可以考虑用long类型来代替 S0 = HistGram0; for (Y = First > 1 ?

14、 First : 1; Y <= Last; Y+) SY = SY - 1 + HistGramY; WY = WY - 1 + Y * HistGramY; / 建立公式（4）及（6）所用的查找表 double Smu = new doubleLast + 1 - First; for (Y = 1; Y < Smu.Length; Y+) double mu = 1 / (1 + (double)Y / (Last - First); / 公式（4） SmuY = -mu * Math.Log(mu) - (1 - mu) * Math.Log(1 - mu); / 公式（6

15、） / 迭代计算最佳阈值 for (Y = First; Y <= Last; Y+) Entropy = 0; int mu = (int)Math.Round(double)WY / SY); / 公式17 for (X = First; X <= Y; X+) Entropy += SmuMath.Abs(X - mu) * HistGramX; mu = (int)Math.Round(double)(WLast - WY) / (SLast - SY); / 公式18 for (X = Y + 1; X <= Last; X+) Entropy += SmuMath.Abs(X - mu) * HistGramX; / 公式8 if (BestEntropy > Entropy) BestEntropy = Entropy; / 取最小熵处为最佳阈值 Thresh