均匀试验设计

1、均匀试验设计主要参考文献：1、 方开泰. 均匀设计与均匀设计表. 北京：科学出版社，19942、 林维萱. 试验设计方法. 大连：大连海事大学出版社，19953、 栾军. 现在试验设计优化方法. 上海：上海交通大学出版社，19954、 茆诗松等. 回归分析及其试验设计. 上海：华东师范大学出版社, 1981一、 均匀设计的概念及特点均匀设计是由我国数学家方开泰教授和王元教授于1978年提出的。1978年，七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验总数又不超过50。显然，正交试验设计不能用。对于一个水平数为m的正交试验，至少要做m2次试验，如m=10

2、时，m2=100，即至少要做100次试验，这在实际中是难于实施的。因此，正交试验设计方法只适用于因素水平数不太多的多因素试验。正交表的特点是使试验点“均匀分散、整齐可比”。“均匀分散”即均匀性，使试验点均匀分布在试验范围内，让每个试验点都具有一定的代表性，可以用部分试验反映全面试验的情况，大大减少试验次数。“整齐可比”就是综合可比性，使试验结果的分析十分方便，易于分析各因素及其交互作用对试验指标的影响大小及规律性。但是，为了保证整齐可比性（即“均衡搭配”），对任意两个因素而言，必须是全面试验，每个因素的水平必须有重复。这样，试验点在试验范围内就不能充分均匀分散，试验点就不能太少。综上所述，正交

3、试验为了保证“整齐可比”，使均匀性受到了一定限制，使试验点的代表性还不够强，试验次数不能充分地少，如果不考虑整齐可比（即综合可比）性，而完全保证均匀性，让试验点在试验范围内充分地均匀分散，不仅可大大减少试验点，而且仍能得到反映试验体系主要特征的试验结果。这种从均匀性出发的试验设计，称为均匀试验设计。均匀试验设计的最大优点是可以节省大量的试验工作量，尤其在试验因素水平较多的情况下，其优势更为明显。例如，一个四因素七水平试验，进行一轮全面试验要做74=2401次，用正交试验也至少要做72 = 49次，而用均匀试验则仅需7次。因此，对于水平数很多的多因素试验，对于试验费用昂贵或实际情况要求尽量少做试

4、验的场合，对于筛选因素或收缩试验范围进行逐步寻优的场合，均匀设计都是十分有效的试验设计方法。由于均匀设计没有整齐可比性，所以试验结果的处理不能采用方差分析法，而必须用回归分析。因此，试验数据处理较为复杂，这是均匀设计的一个缺点。对于发明均匀设计法的那个年代（1978年），计算机应用尚未普及，这确实是一个大难题，但对于计算机十分普及的今天，则已不是一个难题。再说，多分析数据比多做试验，一般来讲要更为经济。二、 均匀设计表及其使用表与正交试验设计相似，均匀设计也是通过一套精心设计的表格来安排试验的，这种表称为均匀设计表。均匀设计表是根据数论方法在多重数值积分中的应用原理构造的，它分为等水平和混合水

5、平两种。1、 等水平均匀设计表等水平均匀设计表用Un (mk)表示，其中各符号的意义如下：均匀设计表 因素数Un(mk)试验次数 因素水平数表1为U6(64)均匀设计表，最多可安排4个因素，每个因素6个水平，共做6次试验。等水平均匀设计表具有如下特点：(1) 每个因素的每个水平只做一次试验；(2) 任意两个因素的试验点画在平面格子点上，每行每列恰好有一个试验点。如表U6(64)的第1列和第3列点成图1(a)所示。 表1 U6(64) 均匀表列号试验号1234112362246533624441535531266541表2 U6(64) 使用表因素数列 号D(偏差值)2130.187531230

6、.2656412340.2990（a）第1、3列（4）第1、4列图1 均匀表不同列组合的均匀性上述两个特点反映了试验安排的均衡性，即对各因素，每个因素的每个水平一视同仁。(3) 等水平均匀表任两列之间不一定是平等的。例如，用U6(64) 的第1、3和第1、4列分别画图，得图1（a）和图1（b）。可见图1（a）的点分布比较均匀，而图1（b）的点则分布不均匀。均匀设计表的这一性质与正交表有很大不同，因此，每个均匀设计表必须有一个附加的使用表，以帮助我们在均匀设计时如何选列来安排各个因素。表2为U6(64) 的使用表，它告诉我们在利用U(64) 进行均匀设计时，若只有2个因数时，则应安排在第1、3列

7、；若有3个因数，则应安排在第1、2、3列。表2中最后一列D表示刻划均匀度的偏差（discrepancy）, D值越小，均匀度越好。(4) 等水平均匀表的试验次数与该表的水平数相等。当水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。如水平数m从9增加到10时，试验数n也从9增加到10。但对于等水平正交试验，当水平数从9增加到10时，试验数将从81增加到100，按平方关系增加。可见，均匀设计中增加因素水平时，仅使试验工作量稍有增加，这是均匀设计的最大优点。(5) 水平数为奇数的表与水平数为偶数的表之间，具有确定的关系。将奇数表去掉最后一行，就得到水平数比原奇数表少1的偶数表，相应地，试验次数也少，而使

8、用表不变。例如，将U7(76)去掉最后一行，就得到了U6(66), 使用表不变。因此，许多书上只给出水平数为奇数的均匀设计表。(6) 均匀表中各列的因素水平不能象正交表那样可以任意改变次序，而只能按照原来的顺序进行平滑。就是将原来的最后一个水平与第一个水平衔接起来，组成一个封闭圈，然后从任一处开始定为第一水平，按圈子的方向或相反方向，排出第二水平、第三水平， 。2、 混合水平均匀设计表混合水平均匀设计表用于安排因素的水平不相同的均匀试验，其一般形式为U式中n为试验次数，为列的水平数，分别表示水平数为的列的数目。混合水平均匀设计表是从等水平的均匀设计表，利用拟水平的方法得到的。设某试验需考察A、

9、B、C三个因素，A、B取三个水平，C取二个水平。这个试验可以用正交表L18(2×37)来安排，这等价于全面试验，并且不可能找到比L18(2×37)更小的正交表来安排这个试验。那么，是否可以用均匀设计来安排这个试验呢?？直接运用是有困难的，但可采用拟水平法对等水平均匀设计表进行改造。我们选均匀表U6(66)，按使用表的推荐用1、2、3前三列。现将第1、2列的水平作如下改造：1，2 ¾® 1， 3，4 ¾® 2， 5，6 ¾® 3第3列的水平作如下改造： 1，2，3 ¾® 1， 4，5，6 

10、0;® 2这样，便得到了一个混合水平的均匀设计表U6(32×21)，见表3。把因素A、B、C依次放在U6(32×21)的第1、2、3列上即可。表3有很好的均衡性（即正交表所具有的均衡搭配性质），如第1、3两列和第2、3两列的所有水平均出现且只出现一次，可惜的是并不是每一次作拟水平设计都能这么好。表3 拟水平设计U6(32×21)列号试验号1（A）2（B）3（C）1（1）1（2）1（3）12（2）1（4）2（6）23（3）2（6）3（2）14（4）2（1）1（5）25（5）3（3）2（1）16（6）3（5）3（4）2用拟水平法构造混合水平均匀设计表时，为使

11、生成的混合水平表有较好的均衡性，不能按使用表的指示选择列，应当通过比较确定选用哪些列去生成混合水平表，使得所生成的混合水平表既有好的均衡性，又使偏差（D值）尽可能地小。为了使用方便，书上的附录（试验设计方法附表9，pp.338-339）给出了常用的混合水平表的拟水平构造指导表，按指导表生成的混合水平均匀表的均衡性最好。但是，若在指导表中查不到，那只好按使用表的指示去构造了。当然，这样得到的混合水平表，其均衡性不一定是最好的。也有一些书上直接给出了已构造好的混合水平均匀设计表。三、 均匀试验设计的基本方法均匀试验设计的基本步骤与正交试验设计一样，也包括试验方案设计与试验结果分析两部分。1 试验方

12、案设计（1） 确定试验指标；（2） 选择试验因素；（3） 确定因素水平：对于均匀设计，因素水平范围可以取宽一些，水平数可多取一些；（4） 选择均匀设计表及表头设计。根据试验因素数、试验次数和因素水平数选择均匀设计表。均匀试验结果不能用方差分析法处理，只能用多元回归分析法处理。若各因素（x1，x2，xk）与响应值y之间的关系是线性的，则多元线性回归方程为： (1) 为求出这m个回归系数bi（i=1,2，m），就要列出m个方程（b0可由这m个回归系数求出）。为了对求得的方程进行检验，还要增加二次试验，共需m+2次试验，此时的剩余自由度，为使F检验法具有足够的灵敏度，应做到，故至少还应再增加一次试验

13、，所以应选择试验次数n大于或等于m +3的均匀设计表。回归方程是线性的，方程个数m = 因素个数k。（）。当各因素与响应值的关系为非线形时，或因素间存在交互作用时，可回归为多元高次方程。例如，当各因素与响应值均为二次关系时，回归方程为： (2)式中 式（2）中的xixj反映因素间的交互作用，反映因素二次项的影响，回归系数总计为（不计常数项b0）: 其中k为因素个数，最后一项为交互作用项个数。因此，为了求得二次项和交互作用项，同时为了使，此时与前面一样，必须选用试验次数大于回归方程系数总数的均匀设计表，即应做到。均匀设计表选定后，接下来进行表头设计，若为等水平表，则根据因素个数在使用表上查出安排

14、因素的列号，再把各因素依其重要程度为序，依次排在表上；若为混合水平均匀设计表，则按水平把各因素分别安排在具有相应水平的列中。（5）、制定试验方案表头设计好后，各因素所在列已确定，将各因素列的水平代码换成相应因素的具体水平值，即得试验设计方案。应该指出，均匀设计表中的空列（即未安排因素的列），既不能用于考察交互作用，也不能用于估计试验误差。2试验结果分析(1) 直观分析法从已做的试验点中挑一个指标值最好的试验点，用该点对应的因素水平组合作为较优工艺条件，该法主要用于缺乏计算工具的场合。(2) 回归分析法通过回归分析，可解决如下问题：i)、得到因素与指标之间的回归方程；ii)、根据标准回归系数的绝

15、对值大小，得出各因素对试验指标影响的主次顺序；iii）、由回归方程的极值点，可求得最优工艺条件。四、均匀试验设计应用实例参见试验设计方法(林维宣, 1995)例1 二因素九水平均匀试验 (p 242)选U9(96)均匀设计表，由使用表知二个因素应排在第1、3列。进行二元一次线性回归分析。回归分析时，没有必要象书上那样对二个因素的各水平做线性变换，完全可以用计算机或计算器直接计算。多元线性回归分析方法，参见p. 78书中虽然对回归方程进行了显著性检验，但未对回归系数进行显著性检验！下面进行回归系数的显著性检验（see p. 8487）。正规方程组为： 解得： 故回归方程为： ，已知 ， =60&

16、#215;60-6×6=3564 是中的余子式。 ， ×103×103这说明在上述回归方程中，x1和x2对y有显著影响。例因素水平均匀试验（p. 245）选均匀设计表，根据使用表，应将5个因素排在第1、2、3、5、7列上。考虑到可能存在交互作用和某些因素平方项的影响，采用五元二次回归模型。回归方程为： 将二次项和交互作用项进行变量替换，可将上述非线性回归分析转化为多元线性回归分析。在回归分析过程中，若发现几个变量不显著时，因考虑到回归系数间存在相关关系，故不能将这些变量一起剔除，而只能一次除去F值最小的一个不显著变量，重新建立回归方程后再对变量一一作检验。这一筛选

17、变量过程比较麻烦，工作量也比较大。经过反复多次的多元线性回归分析，才能得到最终结果！例3 四因素混合水平均匀试验 （p.247）选U12(12×63)混合水平均匀设计表考虑一次项和二次项的影响，忽略所有交互作用，所以回归模型为：在回归分析过程中，对二次项作变量替换，使问题转化为八元一次线性回归分析。五、配方均匀设计（混合均匀设计） 见方开泰专著第四章（1994）1、 概述配方设计即混料设计，在食品、化工、橡胶、材料等领域中十分重要，常见的配方设计方法有：单纯形格子点设计（Simplex-lattice design）、单纯形重心设计（Simplex-centriod design）和

18、轴设计（Axial design）等，Cornell（Cornell, J, A, 1981, Experiments, with Mixtures, Designs, Models, and the Analysis of Mixtures data, Wiley, New York）对各种配方试验设计方法作了详尽的介绍和讨论。 s (a) 3, 3单纯形格子点设计 (b) 三因子单纯形重心设计 (c) 三因子轴设计 图2 三种三因子配方设计 (p = 3时) 图2给出了三种三因子配方设计的试验点图。对于p因子d次单纯形格子点设计p,d试验点数为；对于p因子单纯形重心设计，试验点数为；对于轴

19、设计，试验点数 = 因子数p 。单纯形的重心和它各顶点的联线称为轴。每个轴上取一个点，使这些点到重心有相等的距离s，通常0s（p-1）/p。单纯形格子点设计和单纯形重心设计，是Scheffe分别于1958年和1963年提出的，而轴设计则是由Cornell提出的。由图2可见，这三种配方设计存在以下两个问题：（1）、试验点在试验范围Tp内分布不十分均匀；（2）、在试验边界上有太多的试验点。众所周知，在化学试验中，若有p种成分，如果缺少一种或多种，则或者不起化学反应，或者生成另外一种产品。对于上述第（2）个问题，可以用编码的办法进行解决，我们在讲解单纯形格子设计时，已经用一个具体实例对该问题进行过介

20、绍（见回归分析及其试验设计，茆诗松等，1981，华东师范大学出版社，pp. 312314）。为了同时克服上述两个缺点，王元和方开泰于1990年建议用均匀设计的思想来做配方设计，即配方均匀设计。2、 配方均匀设计p种原料的试验范围是单纯形Tp。设我们打算比较n种不同的配方，这些配方对应Tp中的n个点。配方均匀设计的思想就是使这n个点在Tp中散布尽可能均匀，其设计方案可用如下步骤获得：(1) 给定p和n，查均匀设计表和使用表，得U，用表示U中的元素。(2) 对每个i，计算：C， k=1, n (4)(3) 计算(5)则就给出了对应n、p的配方均匀设计，并用记号UM表示之。表4对n=11、p=3时给出了产生UM的过程。这时，计算公式（5）有如下简单形式： （6）表4 UM及其生成过程No.(k)Ck1Ck2xk1xk2xk311/2213/220.7870.