一元二次方程根与系数的关系

1、一元二次方程的根与系数一元二次方程的根与系数的关系的关系1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法 复习提问复习提问2.2.求根公式求根公式 方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2 x2 2-3-3x+2=0+2=0 X X2 2-2x-3=0-2x-3=0X X2 2-5x -5x +4=0+4=0问题：你发现这些一元二次方程的两根问题：你发现这些一元二次方程的两根x1+ x2，与，与x1 x2系数有什么规律？系数有什么规律？ 猜想：当二次项系数为猜想：当二次项系数为1 1时，方程时，方程 x x2 2+ +pxpx+ +q q=0=0的两根为的两根为x x1, x2qxxpxx2121

2、2 2 1 13 32 2-1-1 3 3 2 2-3-31 1 4 4 5 54 4 方 程 x1x2xx21xx21.01692 xx01432 xx02732 xx31313291372343131-2-23732x1+ x2，x1x2与系数有什么规律与系数有什么规律?372猜想：猜想： 如果一元二次方程如果一元二次方程 axax2 2+bx+c=0+bx+c=0（a a、b b、c c是常数且是常数且a a0 0）的两根为的两根为x x1 1、x x2 2，则：则： x x1 1+ +x x2 2和和x x1 1.x.x2 2与系数与系数a a，b b，c c 的关系的关系. .abx

3、x21acxx21042 acb x1+x2=-b+ b2-4ac2a+-b- b2-4ac2ax1x2=-b+ b2-4ac2a2-4ac2axx21x1=-b+b2-4ac2ax2=-b-b2-4ac2a=-2b2a=(-b+ b2-4ac)(-b- b2-4ac)4a2=4ac4a2=b2-(b2-4ac)4a2xx21.abac任何一个一元二次方程的根与系数的关系任何一个一元二次方程的根与系数的关系：如果方程如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是的两个根是X1 , X2 ,那么那么X1 + X2= , X1 X2= ab-ac（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的注：

4、能用根与系数的关系的前提条件为前提条件为b2-4ac0一、直接运用根与系数的关系例1、不解方程，求下列方程两根的和与积.222415)3(0973)2(0156) 1 (xxxxxx知识源于知识源于悟悟在使用根与系数的关系时，应注意：在使用根与系数的关系时，应注意： 不是一般式的要先化成一般式；不是一般式的要先化成一般式； 在使用在使用X X1 1+X+X2 2= = 时，时， 注意注意“ ” ”不要漏写不要漏写. .ab二、求关于两根的对称式或代数式的值2221) 1 (xx 2111)2(xx例例2、设、设 是方程是方程 的两个的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值根，利用根与系数的

5、关系，求下列各式的值. 21,xx03422 xx) 1)(1)(3 (21xx221221) 4 (xxxx2112)5(xxxx221)(6(xx 关于两根几种常见的求值关于两根几种常见的求值2111. 4xx2121xxxx ) 1)(1.(321xx1)(2121xxxx1221. 5xxxx212221xxxx 21212212)(xxxxxx21. 6xx221)(xx 212214)(xxxx212 xx2221. 1xx221)(xx221).(2xx221)(xx 214 xx例3 3、求一个一元二次方程，使 它的两个根是2 2和3 3，且二 次项系数为1.1.变式：且二次项

6、系数为5 5例例4 4、点、点p(m,n)p(m,n)既在反比例函数既在反比例函数 的图象上的图象上, , 又在一次函数又在一次函数 的图象上的图象上, ,求以求以m,nm,n为根的一元二次方程为根的一元二次方程. . )0(2xxy2xy例5 5、已知关于x x的方程x x2 2-5x-2=0-5x-2=0（1 1）, ,且关于y y的方程的两根分别是关于方程（1 1）的两根的平方的平方. .求关于求关于y y的方程的方程. .例6 6、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9-9和-1-1；小敏看错了常数项所求出的根是8 8和2 2。你知道原来的方程是什么吗？

7、 三、构造新方程三、构造新方程练习、甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为1 1，4 4；乙看错了一次项系数所求出的根是-2-2，-3-3。则这个一元二次方程为_ 三、构造新方程三、构造新方程x x2 2-5x+6=0-5x+6=0四、求方程中的待定系数例7 7、如果1是方程的一个根，则另一个根是_=_。230 xmx（还有其他解法吗？（还有其他解法吗？) )022mxx-3练习：已知练习：已知3 3是方程是方程 的一根，求的一根，求m m及另一根及另一根例例8 8、方程、方程 的两根同为正数，求的两根同为正数，求p p、q q的取值范围的取值范围. .02qpxx四、求

8、方程中的待定系数四、求方程中的待定系数变式变式: :方程方程有一个正根，一个负根，求有一个正根，一个负根，求m m的取值范围的取值范围. .解解:由已知由已知,0) 1(442mmm=0121mmxx即即m0m-100m1) 0( 0122mmmxmx四、求方程中的待定系数四、求方程中的待定系数一正根，一负根一正根，一负根0X1X20两个正根两个正根0X1X20X1+X20两个负根两个负根0X1X20X1+X20例例9 9、 已知方程的两已知方程的两 个实数根是且个实数根是且 求求k k的值。的值。 022kkxx2, 1xx42221 xx四、求方程中的待定系数注：能用根与系数的关系的前提条

9、件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0小结一元二次方程根与系数的关系？acabaCbxaxxxxxxx2121212.;,)0(0则有的两根分别是如果注：能用根与系数的关系的前提条件为注：能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac0已知两个数的和是已知两个数的和是1，积是，积是-2，则两个数，则两个数是是 解法解法(一一):设两数分别为设两数分别为x,y则则:1 yx2 yx解得解得:x=2y=1或或 1y=2解法解法(二二):设两数分别为一个一元二次方程设两数分别为一个一元二次方程的两根则的两根则:022aa求得求得1, 221aa两数为两数为2,*已知两个数的和与积，求两数已

10、知两个数的和与积，求两数*求未知系数的取值范围*例题:已知关于x的方程9x2+(m+7)x+m-3=0. (1)求证:无论k取何值时,方程总有两不相等的实数根. (2)当k取何值时,方程的一根大于1,另一根小于1?分析分析:(1)(1)列出的代数式列出的代数式, ,证其恒大于零证其恒大于零(2)(x(2)(x1 1-1)(x-1)(x2 2-1)0-1)0+360 方程总有两个不相等的实数根方程总有两个不相等的实数根(2)由题意得由题意得:解得解得:1212127939(1)(1)0mxxmx xxx 132m 当当 时方程的一根大于时方程的一根大于1,另一根小于另一根小于1132m *1.当

11、当a取什么值时取什么值时,关于未知数关于未知数x的方程的方程ax2+4x-1=0,只有正实数根只有正实数根?*2.已知已知:x1,x2是关于是关于x的一元二次方程的一元二次方程4x2+4(m-1)x+m2=0的两个非零实根的两个非零实根,问问x1,x2能否同号能否同号?若能同号若能同号,请求出相应请求出相应m的取值的取值范围范围;若不能同号若不能同号,请说明理由请说明理由. *题9 在ABC中a,b,c分别为A, B,C 的对边,且c= ,若关于x的方程 有两个相等的实数根,又方程 的两实数根的平方和为6,求ABC的面积.caAsin规定：350)35(2)35(2baxxb0sin5)sin10(22AxAx五综合五综合1、当、当k为何值时，方程为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3