图论算法及matlab程序的三个案例

1、图论实验三个案例单源最短路径问题1.1 Dijkstra算法Dijkstra算法是解单源最短路径问题的一个贪心算法。其基本思想是，设置一个顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。设v是图中的一个顶点，记为顶点v到源点v1的最短距离，若，记到的权。Dijkstra算法： ,；,； ，停止，否则转； ，； 存在，使，； ，转；实际上，Dijkstra算法也是最优化原理的应用：如果是从到的最短路径，则也必然是从到的最优路径。在下面的MATLAB实现代码中，我们用到了距离矩阵，矩阵第i行第j行元素表示顶点到的权，若到无边，则，其中realm

2、ax是MATLAB常量，表示最大的实数(1.7977e+308)。function re=Dijkstra(ma)%用Dijkstra算法求单源最短路径%输入参量ma是距离矩阵%输出参量是一个三行n列矩阵，每列表示顶点号及顶点到源的最短距离和前顶点n=size(ma,1);%得到距离矩阵的维数s=ones(1,n);s(1)=0;%标记集合S和S的补r=zeros(3,n);r(1,:)=1:n;r(2,2:end)=realmax;%初始化for i=2:n;%控制循环次数    mm=realmax;    for j=find(

3、s=0);%集合S中的顶点        for k=find(s=1);%集合S补中的顶点            if(r(2,j)+ma(j,k)<r(2,k)                r(2,k)=r(2,j)+ma(j,k);r(3,k)=j;

4、60;           end            if(mm>r(2,k)                mm=r(2,k);t=k;       

5、0;    end        end    end    s(1,t)=0;%找到最小的顶点加入集合Sendre=r;1.2 动态规划求解最短路径动态规划是美国数学家Richard Bellman在1951年提出来的分析一类多阶段决策过程的最优化方法，在工程技术、工业生产、经济管理、军事及现代化控制工程等方面均有着广泛的应用。动态规划应用了最佳原理：假设为了解决某一优化问题，需要依次作出n个决策，如若这个决策是最优的，对于任何一个整

6、数k，1<k<n，不论前面k个决策是怎样的，以后的最优决策只取决于由前面决策所确定的当前状态，即也是最优的。如图1，从A1点要铺设一条管道到A16点，中间必须要经过5个中间站，第一站可以在 A2，A3中任选一个，第二、三、四、五站可供选择的地点分别是： A4，A5，A6，A7， A8，A9，A10， A11，A12，A13， A14，A15。连接两地管道的距离用连线上的数字表示，要求选一条从A1到A16的铺管线路，使总距离最短。 1A2A1A3A4A5A6A7A8A9A10A13A12A11A14A15A1653136876683533842223335526643图1

7、可选择的管道图 解决此问题可以用穷举法，从A1到A16有48条路径，只须比较47次，就可得到最短路径为：A1A2A5A8A12A15A16，最短距离为18。也可以使用Dijkstra算法。这里，我们动态规划解决此问题。注意到最短路径有这样一个特性，即如果最短路径的第k站通过Pk，则这一最短路径在由Pk出发到达终点的那一部分路径，对于始点为Pk到终点的所有可能的路径来说，必定也是距离最短的。根据最短路径这一特性，启发我们计算时从最后一段开始，从后向前逐步递推的方法，求出各点到A16的最短路径。在算法中，我们用数组六元数组ss表示中间车站的个数(A1也作为中间车站)，用距离矩阵path表示该图。为

8、简便起见，把该图看作有向图，各边的方向均为从左到右，则path不是对称矩阵，如path(12,14)=5，而path(14,12)=0(用0表示不通道路)。用3´16矩阵spath表示算法结果，第一行表示结点序号，第二行表示该结点到终点的最短距离，第三行表示该结点到终点的最短路径上的下一结点序号。下面给出MATLAB实现算法。function scheme = ShortestPath(path,ss)%利用动态规划求最短路径%path是距离矩阵,ss是车站个数n=size(path,1);%结点个数scheme=zeros(3,n);%构造结果矩阵scheme(1,:)=1:n;%

9、设置结点序号scheme(2,1:n-1)=realmax;%预设距离值k=n-1;%记录第一阶段结点最大序号for i=size(ss,2):-1:1;%控制循环阶段数    for j=k:-1:(k-ss(i)+1);%当前阶段结点循环        for t=find(path(j,:)>0);%当前结点邻接结点            if path(j,t)+schem

10、e(2,t)<scheme(2,j)                scheme(2,j)=path(j,t)+scheme(2,t);                scheme(3,j)=t;        &

11、#160;   end        end    end    k=k-ss(i);移入下一阶段end先在MATLAB命令窗口中构造距离矩阵path，再输入：>> ShortestPath(path,ss)得到以下结果：1234567891011121314151618131613109127687594302568891012121214151516160将该结果表示为图，即为图1粗线所示。棋盘覆盖问题1.1 问题的提出图1 当k

12、=3时的特殊棋盘在一个个方格组成的棋盘中，若恰有一个方格与其他方格不同，则称该方格为一特殊方格，且称该棋盘为一特殊的棋盘。如图1就是当时的特殊棋盘。棋盘覆盖问题中，我们要用图2所示4种不同形态的L形骨牌覆盖一个特殊棋盘，且任何2个L型不得重叠覆盖。图2 4种不同形态的L型骨牌(a)(b)(c)(d)  1.2 问题的分析易知，用到的L型骨牌个数恰为。利用分治策略，我们可以设计出解棋盘覆盖问题的一个简捷的算法。当k>0时，我们将棋盘分割为4个子棋盘如图3两粗实线所示。图4 关键结点123图3 棋盘分割      

13、0; 特殊方格必位于4个较小子棋盘之一中，其余3个子棋盘中无特殊方格。为了将这3个无特殊方格的子棋盘转化为特殊棋盘，我们可以用一个L型骨牌覆盖这3个较小棋盘的会合处，如图4中央L型骨牌所示，这3个子棋盘上被L型骨牌覆盖的方格就成为该棋盘上的特殊方格，从而将原问题转化为4个较小规模的棋盘覆盖问题。递归地使用这种分割，直至棋盘简化为棋盘。1.3 算法的MATLAB实现首先特殊方格在棋盘中的位置可以用一个的数组sp表示；对于图2所示的4种L型骨牌，可用数字1,2,3,4表示；对于特殊棋盘的骨牌覆盖表示，只须注意到图4所示的关键点，对每个关键点，给定一种L型骨牌，就能覆盖整个棋盘，所以对于的

14、特殊棋盘的骨牌覆盖，可用一个的矩阵表示。按照这种思想，图4的矩阵表示为：k=4，特殊方格位置为：1,4，覆盖矩阵为：下面是在MATLAB中的棋盘覆盖实现程序。function re = chesscover(k,sp)%解决棋盘的覆盖问题%棋盘为2k*2k，sp为特殊方格的棋盘位置global covermatrixcovermatrix=zeros(2k-1,2k-1);even1=floor(sp(1,1)/2)*2=sp(1,1);%判断水平位置是否是偶数even2=floor(sp(1,2)/2)*2=sp(1,2);%判断竖直位置是否是偶数if even1=1&&ev

15、en2=0%找出找出特殊方格相对关键结点的位置    i=4;else    i=even1+even2+1;endtempfun(1,1,k,sp(1,1)-even1,sp(1,2)-even2,i);re=covermatrix; function tempfun(top,left,k,tp)%子函数,tp为转换后特殊方格在棋盘网络的相对位置global covermatrixif k=1    switch tp(1,3)     

16、60;  case 1            covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=3;        case 2            covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=4;       

17、; case 3            covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=1;        case 4            covermatrix(tp(1,1),tp(1,2)=2;    endelse    half

18、=2(k-1);i=top+half-1;j=left+half-1;    if tp(1,1)<i        if tp(1,2)<j%特殊方格在左上            covermatrix(i,j)=3; %添加类型为3的L型骨牌           

19、 tempfun(top,left,k-1,tp);            tempfun(top,left+half,k-1,i-1,j+1,4);            tempfun(top+half,left+half,k-1,i+1,j+1,1);          &

20、#160; tempfun(top+half,left,k-1,i+1,j-1,2);        else %特殊方格在右上            covermatrix(i,j)=4;%添加类型为4的L型骨牌            tempfun(top,left,k-1,i-1,j-1,3);

21、0;           tempfun(top,left+half,k-1,tp);            tempfun(top+half,left+half,k-1,i+1,j+1,1);            tempfun(top+half,left,k-1,i+1,j

22、-1,2);        end    else        if tp(1,2)>j%特殊方格在右下            covermatrix(i,j)=1;%添加类型为3的L型骨牌          &

23、#160; tempfun(top,left,k-1,i-1,j-1,3);            tempfun(top,left+half,k-1,i-1,j+1,4);            tempfun(top+half,left+half,k-1,tp);         &#

24、160;  tempfun(top+half,left,k-1,i+1,j-1,2);        else %特殊方格在左下            covermatrix(i,j)=2;%添加类型为4的L型骨牌            tempfun(top,left,k-1,i-1,j-1,3)

25、;            tempfun(top,left+half,k-1,i-1,j+1,4);            tempfun(top+half,left+half,k-1,i+1,j+1,1);            tempfun(top+half,le

26、ft,k-1,tp);        end    endend在MATLAB命令窗口中输入指令    chesscover(3,1,4)将会得到如上面矩阵一样的结果。   结合VC+，利用MATLAB引擎库函数，可以给出了棋盘覆盖的图形最优树的应用实例1.1 问题的提出已知某通信系统在通信联络中只可能出现8种字符，其概率分别为0.05，0.29，0.07，0.08，0.14，0.23，0.03，0.11，试设计一种编码，使得信息包长度达到最小。

27、1.2 问题的分析ASCII码是用8位(一个字节)表示一个字符，这种表示方法方便，易于理解，是计算机系统中常用的字符表示方法。在信息传输领域，可能有些字符出现的频率非常高，而有些字符出现的频率很低，若依然用此方法表示数据，则显得过于庞大，如果用不定长编码表示字符，频率出现高的字符用较短的编码表示，频率出现低的字符用较长的编码表示，则可以使得数据量大大减少。比如AAAABBBAAABBBBCCCCCCBBB，用ASCII码表示占用184位，若用00表示C，01表示A，1表示B，则该字串占用位数为36，压缩率达到19.6%，这种编码称为哈夫曼编码。当然也可用其它方式压缩数据，例如上面字符串写成4A

28、3B3A4B6C3B，而达到压缩数据的目的。1.3 哈夫曼树的构造要构造哈夫曼编码，需要构造哈夫曼树（即最优树）。哈夫曼最早给出了一个带有一般规律的算法，俗称哈夫曼算法。现叙述如下： 根据给定的n个概率（或频率）构造一个集合，同时这n个值对应树T的n个结点，置。 在集合F中选择两个最小的值求和作为加入集合F中；在树T中构造一结点，使得该结点是两最小值对应结点的父结点。 在集合F中删除两最小值，并置。 重复和，直到或集合F只有一个元素为止。这样形成的一棵树就是哈夫曼树（最优树）。上面所提到的字符串和题目给出的概率所形成的哈夫曼树分别如图1和图2(为方便起见，每个概率值乘上了100)。538111

29、92342781514292958100图20000000111111167131023CAB图10011          1.4 用MATLAB实现哈夫曼算法在MATLAB中实现哈夫曼算法，可用一个的矩阵来表示哈夫曼树，该矩阵的含义如表6-3-3所示。表1 哈夫曼算法数据结构字符序号123452n-1概率       父结点序号      左右子树标志0表示左子树1表示右子

30、树     是否在集合F1在集合F0不在集合F     下面给出哈夫曼树的生成算法：function htree = HuffmanTree(pro)%构造哈夫曼树%pro为一概率向量n=size(pro,2);%得到字符个数tree=ones(6,2*n-1);%构造树数据结构tree(1,:)=1:(2*n-1);%填充结点序号tree(5,(n+1):end)=0;%设置结点是否在集合tree(2,1:n)=pro;%设置概率tree(6,1:end)=0;%记录查找的结点对顺序for i

31、=(n+1):(2*n-1);%循环控制    l,r=findminval(tree);%找到集合中两个最小的值的序号    tree(2,i)=tree(2,l)+tree(2,r);%得到父结点概率值    tree(5,i)=1;%设置新构造结点在集合中    tree(3,l)=i;tree(3,r)=i;%设置父结点序号    tree(4,l)=0;tree(4,r)=1;%设置左右标志    tree(5,l)=0;tree(5,r)=0;%设置不在集合中    tree(6,l)=i-n;tree(6,r)=i-n;%记录该次删除的结点对顺序endhtree=tree; function l,r=findminval(tree)s=find(tree(5,:)=1);if size(s,2)<2    error('Error input!');endfirval=realmax;secval=realmax;for i=s;