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文档简介

1、欲索取更多考研资料，请上北京天问教育网站官网！大连理工大学2001年硕士生入学考试数学分析试题一. 从以下的1到8题中选答6题1. 证明:在区间内一致连续(为任意正数),但是在不一致连续2. 证明:若在内连续,那么在内Riemann可积.3. 证明:若,那么广义积分收敛4. 证明:若,为区间上的连续函数,对任意的有: ,那么, 于5. 证明:若收敛,那么在一致收敛6. 已知：，求7. 已知：.其中, 和分别是可以求导一次和求导两次的已知函数,计算8. 计算,半径为的球的表面积二. 从9到14题中选取6题9.已知: ,求证: 10.证明: 收敛,且,那么11.计算曲面积分: ,其中S为旋转椭球面

2、的外侧12.设,. 求证: 对于任意小于1的正数,在区间一致收敛,但是不在一致收敛13.设,. 求证: 14.证明:若，且发散,那么不在一致收敛大连理工大学2001年硕士生入学考试数学分析试题解答一.1. 证 利用定义证明(1) 对于,那么(2) 任取,推出矛盾,从而命题得证2. 证 利用一致连续的定义和Riemann可积的定义来做因为函数在闭区间内连续,所以一致连续. 根据一致连续的定义对,考虑可积的定义,对于一个分割,下面证明:振幅函数 =0当时,.根据夹逼定理,不难得到.从而,命题得证3. 证 利用莱布尼兹交错级数:假设;,考虑:如此,不难看出是一个莱布尼兹交错级数,从而命题得证4. 证

3、 不妨设: ,那么于因为都是上的连续函数,所以5. 证 利用A-D判别法做，也可以通过Abel求和公式出发推导中,现在,根据原题:收敛,一致有界所以,根据Abel判别法,知该函数项级数在定义域一致收敛. 6. 解 题目有问题,在零点不连续7. 解 不断利用链式求导法则同理:8. 解 方法很多,此处介绍一种比较简单的假设:为半径为的球的体积假设: 为半径为的球的表面积二9. 证 LHosptial法则因为，10. 证 反证法如果命题不成立,即,那么,根据极限的定义,当的时候, 那么, 和收敛矛盾,从而命题得证11. 解 利用Gauss定理加换元换元12. 证 首先由于在闭区间内连续,所以函数在闭区间内一致连续(1),根据确界存在定理,存在上确界,且上确界不等于1,否则和题意矛盾不妨设: 根据定义,对于,当,从而知一致收敛于0(2)首先,根据前半题,显然于收敛于0由于,且函数一致收敛，存在一组数列：,如此,考虑,从而不是一致收敛的. 13. 证 利用前一小题的结论因为内闭一致收敛,对于,当n足够大的时候:又所以, 从而命题得证.

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