圆锥曲线常见七大题型

1、圆锥曲线常见七大题型 （1） 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为（X1,Y1),(X2,Y2) ，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的情况讨论），消去四个参数。 （2） 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P，与两个焦点构成的三角形问题，常用 正、余弦定理搭桥。 （3） 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定义

2、去解。 （4）圆锥曲线的相关最值（范围）问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决。<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。 对于<1>可以设法得到关于a的不等式，通过解不等式求出a的范围，即：“求范围，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于<2>首先要把NAB的面积表示为一个变量的函数，然后再求它的最大值,即：“最值问题，函数思想”。 最值问题的

3、处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求x、y的范围； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想； 3、 利用判别式，对于二次函数求最值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值； 4、借助均值不等式求最值。 （5）求曲线的方程问题 1曲线的形状已知-这类问题一般可用待定系数法解决。 2曲线的形状未知-求轨迹方程 （6）存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内。（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决） （7）两线段垂直问题 圆锥曲线两焦半

4、径互相垂直问题，常用来处理或用向 量的坐标运算来处理。圆锥曲线相关定义定义圆锥曲线包括圆，椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当e>1时为双曲线，当e=1时为抛物线，当e<1时为椭圆。椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。且当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。离心率这里的参数e就是圆锥曲线的离心率，它不仅可以描述圆锥曲线的类型，也可以描述圆锥曲线的具体形状，简言之，离心率相同的圆锥曲线都是相似图形。

5、一个圆锥曲线，只要确定了离心率，形状就确定了。特别的，因为抛物线的离心率都等于1，所以所有的抛物线都是相似图形。 准线在圆锥曲线的统一定义中：到定点与定直线的距离的比为常数e(e>0)的点的轨迹，叫圆锥曲线。而这条定直线就叫做准线。0<e<1时， 轨迹为椭圆； e=1时， 轨迹为抛物线； e>1时，轨迹为双曲线。圆锥曲线性质椭圆椭圆上的点到两个焦点的距离和等于长轴长（2a）。 抛物线抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离。 双曲线双曲线上的点到两个焦点的距离之差的绝对值等于实轴长（2a）。

6、60;离心率对于椭圆和双曲线，可以采用两种焦点-准线组合，每个都给出同样完整的椭圆或双曲线。从中心到准线的距离是a/e，这里的a是椭圆的半长轴，或双曲线的半实轴。从中心到焦点的距离是ae。在圆的情况下，e = 0且准线被假想为离中心无限远。这时声称圆由距离是到L的距离的e倍的所有点组成是没有意义的。圆锥曲线的离心率因此是对它偏离于圆的程度的度量。对于一个给定的a, e越接近于1，半短轴就越小。圆锥曲线知识点汇总1椭圆  （1）椭圆概念  平面内与两个定点的距离的和等于常数2a（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意

7、一点，则有椭圆的标准方程为：（焦点在x轴上）或（焦点在y轴上）。  注：以上方程中a,b的大小 a>b>0 ，其中b²=a²-c²； 在+两个方程中都有 a>b>0 的条件，要分清焦点的位置，只要看x²和y²的分母的大小。例如椭圆 当 m>n 时表示焦点在x轴上的椭圆；当 m<n 时表示焦点在y轴上的椭圆。  （2）椭圆的性质 范围：由标准方程说明椭圆位于直线x=±a，y=±b=所围成的矩形里；  对称性：在曲线方程里，若以 -y

8、 代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,-y)-也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以 -x 代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以-x-代替x，-y-代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。  所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；  顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令 x=0=，得y=±b=，则是椭圆与y轴的两个交点。同理令 y=0=得 x=±a=，即是椭圆与x轴的两个交点。  所以，椭圆

9、与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。  同时，线段分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。  由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在 离心率：椭圆的焦距与长轴的比e=c/a 叫椭圆的离心率。a>c>0>，0<e<1<，且e越接近1，c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x²+y²=a²+=

10、。  2双曲线  （1）双曲线的概念  平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线 注意：式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；当 时，表示两条射线；当 不表示任何图形；两定点叫做双曲线的焦点， 叫做焦距。椭圆和双曲线比较：（2）双曲线的性质  范围：从标准方程看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x=±a的外侧。即x²a²,|x|a即双曲线在两条直线x=±a的外侧。  对称性：双曲线x²/a

11、78;-y²/b²=1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线x²/a²-y²/b²=1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。 顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线x²/a²-y²/b²=1的方程里，对称轴是x,y轴，所以令y=0得x=±a，因此双曲线和x轴有两个交点他们是双曲线x²/a²-y²/b²=1的顶点。  令x=0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

12、60;1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。 2）实轴：线段 叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段 叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。  渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从图上看，双曲线x²/a²-y²/b²=1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。  等轴双曲线：  1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义

13、式:a=b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y=±x ；（2）渐近线互相垂直。  注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。  3）注意到等轴双曲线的特征a=b，则等轴双曲线可以设为：    时交点在x轴，当时焦点在y轴上。  注意的区别：三个量a,b,c中,a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。  3抛物线  （1）抛物线的概念  平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。  方程y²=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程。  注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（p/2 ,0），它的准线方程是x=-