全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

1、课 题全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容1、 课前检测1如图1，ABC中，AB=AC，AD平分BAC，那么_2斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是_，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是_3ABCDEF，DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm那么AB=_，BC=_，AC=_ 图1 图2 图34 如图2，AC=BD，要使ABCDCB还需知道的一个条件是_5 如图3，假设1=2，C=D，那么ADB_，理由_6

2、不能确定两个三角形全等的条件是 A三边对应相等B两边及其夹角相等C两角和任一边对应相等D三个角对应相等7ABC和DEF中，AB=DE，A=D，假设ABCDEF还需要 AB=EBC=F CAC=DFD前三种情况都可以8 在ABC和ABC中AB=AB BC=BCAC=ACA=AB=BC=C，那么以下哪组条件不能保证ABCABC A具备B具备C具备D具备参考答案：1ADBADC2ASA或AASSSS39 cm12 cm11 cm4ACB=DBC或AB=CD5 ACBAAS 6D 7D 8A2、 知识梳理知识要点：要点1：全等三角形的概念及其性质1全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角

3、形 。2全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等要点2：全等三角形的判定1两边及夹角对应相等SAS； 2两角及夹边对应相等ASA；3两角及其中一角的对边对应相等AAS； 4三边对就应相等SSS。要点3：找全等三角形的对应边，对应角的方法 1假设给出对应顶点即可找出对应边和对应角。2假设给出一些对应边或对应角，那么按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。3按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。4一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点4：寻找两

4、个三角形全等的途径1三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点 有两组对应角相等时；找 有两组对应边相等时；找 有一边，一邻角相等时；找 有一边，一对角相等时；找任一组角相等AAS2利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图一中的AD，图二中的BC都是相应三角形的公共元素。图三中如有BF=CE，利用公有的线段FC就可推出BC=EF。图四中假设有DAB=EAC，就能推出DAC=BAE。三、例题讲解： 例1. 如图，四点共线，。求证：。. 思路分析：从结论入手，全等条件只有；由两边同时减去得到，又得到一个全等条件。还缺少一个全等条件，可以是，也可以是。由条件，可得，

5、再加上，可以证明，从而得到。解答过程：，在与中(HL)，即在与中(SAS)解题后的思考：此题的分析方法实际上是“两头凑的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再比照“所需条件和“得出结论之间是否吻合或具有明显的联系，从而得出解题思路。小结：此题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例2. 如图，在中，是ABC的平分线，垂足为。求证：。思路分析：直接证明比拟困难，我们可以间接证明，即找到，证明且。也可以看成将“转移到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将延长交于，那么构造了FBD，可以通过证明

6、三角形全等来证明2=DFB，可以由三角形外角定理得DFB=1+C。解答过程：延长交于在与中(ASA 又 。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例3. 如图，在中，。为延长线上一点，点在上，连接和。求证：。思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段为边的绕点顺时针旋转到的位置，而线段正好是的边，故只要证明它们全等即可。解答过程：，为延长线上一点在与中(SAS)。解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明

7、的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例4. 如图，是的边上的点，且，是的中线。求证：。思路分析：要证明“，不妨构造出一条等于的线段，然后证其等于。因此，延长至，使。解答过程：延长至点，使，连接在与中(SAS)，又，在与中(SAS)又。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。4、 课堂练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( )A. 两直角边对应相等B. 一锐角对应相等C. 两锐角对应相等D. 斜边相等2. 根据以下条件，能画出唯一的是( )A. ，B.

8、 ，C. ，D. ，3. 如图，增加以下条件：；。其中能使的条件有( )A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个 第3题 第4题 第5题 第6题4. 如图，那么等于( )A. B. C. D. 无法确定二、填空题：5. 如图，在中，的平分线交于点，且，那么点到的距离等于_；6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，为折痕，那么的大小为_；三、解答题：7. 如图，为等边三角形，点分别在上，且，与交于点。求的度数。8. 如图，为上一点，交延长线于点。求证：。9. 如图，AEAD，AFAB，AF=AB，AE=AD=BC，AD/BC.求证：1AC=EF，2ACEF10. ：如图，在RtABC中，AB=A

9、C，BAC=90，1=2，CEBD的延长线于E.求证：BD=2CE.参考答案一、选择题：1. A2. C3. B4. C二、填空题：5. 46. 三、解答题：7. 解：为等边三角形，在与中(SAS)。8. 证明：，在与中(AAS)。9. 证明：1AD/BC，BDAB=180又DAB4EAF3=360，3=4=90DABEAF=180B=EAF在ABC和FAE中 ABCFAESAS AC=EF2ABCFAE1=F 又13=2F2=3 又3=90 2=90 AGEF，即ACEF10. 证明：延长BA、CE交于点F. 3=90，5F=90又BECE，4=90，7=90 1F=90，6=18090=9

10、01=5在ABD和ACF中 ABDACFASABD=FC在BEF和BEC中 BEFBECASAEF=EC FC=2EC BD=2EC5、 课堂小结(1) 全等三角形的概念及其性质(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的对应边，对应角的方法(4) 寻找两个三角形全等的途径六、课后作业 一、填空题1如图1，C=E，1=2，AC=AE，那么ABD按边分是_ 三角形2如图2，AB=AC，BDAC于D，CEAB于E，交BD于P，那么PD_PE填“或“=3如图3，ABC中，AB=AC，现想利用证三角形全等证明B=C，假设证三角形全等所用的公理是SSS公理，那么图中所添加的辅助线应是_图1 图2图3

11、图44 一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，假设这两个三角形全等，那么x+y=_5 如图4，AD=AE，假设AECADB，那么需增加的条件是_至少三个2、 选择题6如图8，图中有两个三角形全等，且A=D，AB与DF是对应边，那么以下书写最标准的是 AABCDEFBABCDFECBACDEFDACBDEF7如图9，AC=AB，AD平分CAB，E在AD上，那么图中能全等的三角形有_对A1B2C3D4图8 图9图10图118如图10，ABC中，D、E是BC边上两点，AD=AE，BE=CD，1=2=110，BAE=60，那么CAD等于 A70 B60 C50D1109如图11

12、，ABCD，且AB=CD，那么ABECDE的根据是 A只能用ASAB只能用SASC只能用AASD用ASA或AAS10如图12，ABCAEF，AB和AE，AC和AF是对应边，那么EAC等于 AACBBBAFCFDCAF11如图13，ABC中，C=90，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E且AB=6 cm，那么DEB的周长为 A40 cmB6 cmC8 cmD10 cm 图12图13图1412如图14，1=2，C=D，AC，BD相交于点E，下面结论不正确的选项是 ADAE=CBEBDEA与CEB不全等CCE=CDDAEB是等腰三角形三、解答题13EF是AB上的两点，AE=BF，ACB

13、D，且AC=DB，求证：CF=DE 图1514一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图16所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由图1615如图17，在ABC中，AM是中线，AD是高线图171假设AB比AC长5 cm，那么ABM的周长比ACM的周长多_ cm2假设AMC的面积为10 cm2，那么ABC的面积为_cm 2A10 B20 C30D403假设AD又是AMC的角平分线，AMB=130，求ACB的度数16如图18，B是CE的中点，AD=BC，AB=DCDE交AB于F点求证：1ADBC 2AF=BF图18参考答案一、1等腰2=3AD为ABC的中线4115AEC=ADB或C=B或AC=AB或BE=CD多写一个加一分二、6B7C8B9D 10B11B12B三、13证明：ACFBDESAS