垂径定理说课定稿

1、课题：垂直于弦的直径各位老师、各位评委，大家好！今天我说课的题目是垂直于弦的直径，本节是义务教育课程标准实验教科书人教版数学九年级上册第24章第1节圆的第2课时。我以新课标的理念为指导，将教什么、怎样教、为什么这样教，分以下五个方面进行说明：一、教材和学情分析（一）教材的地位及作用教材是教师教学的基本依据，它作为课程的一种资源，为学生的学习活动提供指导，因此，教师必须把握教材，了解教材的内容体系与脉络。本节课的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，学习它可以丰富和加深学生对已学图形与几何的认识。同时，圆还是生活中常见的几何图形，无论是从生活的角度，还是从进一步学习的角度来说，垂径定

2、理及其推论都是义务教育阶段学生必须掌握的知识与技能。（二）学情分析九年级学生已了解圆的有关概念；但根据皮亚杰的认知发展理论：这个阶段的学生思维正处于具体思维向抽象思维发展、逻辑思维向形式思维发展、内部心理上逐步朝着自我反省的思维发展。虽然他们具有一定的数学活动经验、生活经验和操作技能，会进行简单的说理，但他们的逻辑思维能力和抽象思维能力还比较薄弱。对如何从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型的能力较差。（三）教学目标依据义务教育数学课程的总体目标和第三学段的教学目标，结合以上分析，我制定了本节课的教学目标如下：知识技能（1）经历圆的轴对称性和垂径定理及其推论的探索过程，理解圆的轴对称性，掌握

3、垂径定理及其推论；（2）会运用垂径定理及其推论解决一些证明、计算和作图问题。数学思考在参与观察、实验、猜想、证明等数学活动过程中，渗透数学模型、化归、符号思想，发展合情推理和演绎推理能力，培养主动探究的习惯。问题解决在垂径定理及其推论的证明与应用中，学会发现问题、提出问题，尝试从不同角度解决问题，并在评价与反思中获得解决问题的方法，初步形成评价与反思的意识。情感态度（1）体会数学知识与现实生活的密切联系；（2）通过图片欣赏增强审美意识，感受数学文化，激发学习热情；（3）养成独立思考、合作交流、反思质疑、主动探究的习惯，形成严谨的科学态度。（四）教学重点、难点：探索圆的轴对称性，以及探索并证明垂

4、径定理及其推论，是全日制义务教育数学课程标准对79年级学生的目标要求。同时探索垂径定理及推论是一个培养学生探究能力的机会，它是证明线段、角相等、垂直关系的重要依据，也为进行一些圆的计算和作图问题提供了方法和依据，所以我把它确定为本节课的重点。重点：结合探究圆的轴对称性，得到垂径定理及其推论；掌握垂径定理及其推论。垂径定理的条件和结论比较复杂，学生容易混淆，我把它确定为本节课的难点。难点：对垂径定理题设与结论的区分及定理的证明为了突出重点、突破难点，我在教学中设计了4个活动，让学生通过实际问题去发现数学问题，再利用已学知识加以证明，最后用这些数学知识回归到解决实际问题中去。二、教法与学法：1、教

5、法选择：根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择问题教学法、探究教学法、实验教学法和引导发现法与情境教学法相结合。2、教学组织形式：师生互动、生生互动。3、学法指导：巴甫洛夫曾指出：“方法是最主要和最基本的东西”，因此学之有法，才能学之有效，学之有趣。根据本节课的特点，我在学法上指导学生：如何探究问题遇到新的问题时如何转化为熟悉的问题做好评价与反思。4、教学手段根据数学课的特点，我采用的教具是：多媒体和黑板相结合。利用多媒体进行动态和直观演示，辅助课堂教学，为学生提供感性材料，帮助学生探索垂径定理及其推论；对证明和解题过程用黑板演示，力争与学生的思维同步。学具：圆形纸片、直尺、剪

6、刀、圆规。三、教学过程为了实现本节课的教学目标，在教学中注重突出重点、突破难点，我将从四个环节进行教学，分别是：创设情境、导入课题；动手实践、探究定理；应用性质、解决问题思；小结升华、布置作业。具体过程如下：（一） 创设情境、导入课题上课伊始，我首先用多媒体课件展示生活中与垂径定理有关的赵州桥图片，从而引出本节课的内容。让大家欣赏，我讲解并提出问题。【赵州桥又名安济桥 ，建于隋大业(公元605-618)年间，由著名匠师李春建造,是当今世界跨径最大、建造最早的单孔敞肩型石拱桥。它是我国造桥史上的杰作，是著名的华北四宝之一。在大拱两肩,砌了四个并列小孔, 这种敞肩的设计既减少水流阻力，又减轻桥身自

7、重，桥型空灵美观，构思巧妙，堪称千古独步。 桥两边的栏板是隋代雕刻之精品，元代刘百熙有诗赞：“水从碧玉环中过，人在苍龙背上行”。】 若知道赵州桥主桥拱的跨度和拱高，能否求出赵州桥的主桥拱的半径呢？设计意图：通过创设富有历史意义的问题情境，对赵州桥的历史作介绍，使学生为我国古代劳动人民的勤劳智慧感到骄傲自豪，让学生认识数学来源于生活，唤起他们探究和解决问题的欲望，使学生针对问题开展积极主动的思维活动，并在发现和解决问题过程中，品尝探究知识的快乐和获得成功的喜悦。二、动手实践、探究定理在第2个环节，我设置了4个活动来完成。活动1：荷兰数学教育家弗赖登塔尔认为：“学习数学唯一正确的方法是实现再创造，

8、也就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来，教师的任务则是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生”。我首先设计一个引起学生困惑的问题。问题：赵州桥的主桥拱是圆弧形，你能找到赵州桥主桥拱圆弧所在圆的圆心吗?请学生画出赵州桥主桥拱圆弧所在的圆，思考找圆心的方法，让学生在经历数学活动的过程中发现问题、提出问题、解决问题，这样设计渗透了建模思想，培养学生从实际问题中抽象出数学问题的能力。实验：学生先自主探究，然后合作交流，我适当引导。讨论结束后由小组代表汇报找圆心的方法，并说理由。学生至少会想到以下两种方法：折纸 通过平分平角如图2 如图1 然后我顺势利导，引出活动2

9、：探究圆的轴对称性。活动2：探究圆的对称性1、问题：让学生把活动1所画的圆剪下来并沿着圆的任意一条直径所在的直线对折，重复做几次，问学生：你发现了什么？由此你能得到什么结论？2、实验:教师引导学生操作、观察并运用多媒体展示折叠过程。3、归纳学生分组讨论后由小组代表汇报操作的结果，由于折叠很直观，学生不难答出：“圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴”，对学生讨论的结果我通过多媒体演示，并加以强调：圆是轴对称图形；任何一条直径所在的直线都是它的对称轴接着我引导学生进行活动3活动3：探究垂径定理问题：我首先请学生在自己作的圆中任意作一条弦 AB；再作直径CD，使,垂足为。然后提出问题

10、：（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？如图3 2、实验(自主探究合作交流我适当引导)我引导学生操作，并运用多媒体展示折叠过程。结合圆和等腰三角形的轴对称性，引导学生思考、小组讨论去发现垂径定理。3、猜想然后由小组代表回答我提出的问题。学生通过实验不难概括出图中相等的线段和弧：【垂直于弦AB的直径CD所在直线是的对称轴，所以，把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，分别与重合。 （）多媒体打出来就是直径CD平分弦AB，并且平分。】接下来进一步猜想：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。4、

11、证明猜想为分清条件和结论，加强学生数学符号语言的表达能力，突破本节课的难点，我请小组代表把条件和结论用数学符号语言板书在黑板上。如图： CD是直径, CDAB,接下来，学生思考如何验证猜想。学生会很容易想到折纸，通过重合得到相等关系；我借助几何画板演示。然后让学生根据条件对AE=BE进行说明，学生口述，我同步在黑板上板书，有不完善的地方及时给予引导；最后将定理内容写在黑板上。由此，我告诉学生这个结论就是垂径定理，这是我们的重大发现，让学生感受获得数学知识的成功喜悦。通过抽象实际问题为数学问题的过程，渗透建模的思想；利用比较、猜想把实际问题转化为数学问题，渗透化归思想；把文字语言用数学符号语言表

12、示出来，培养学生的符号感，渗透符号思想。我强调这三种数学思想方法在学习中的重要性，要求学生要经常用这些思想方法去思考问题、解决问题。得到垂径定理后，我设计了一个辨析，让学生巩固对垂径定理的认识和理解，明确定理存在的条件。辨析：若不是直径的两条弦互相垂直具备有以上结果吗？若直径过弦上一点具备以上结果吗？ 活动4：探究垂径定理的推论以垂径定理为基础，变换定理的条件：若CD是直径，CD平分弦AB，那么有CDAB吗？让学生大胆猜想，通过交流讨论得出结论。接着再问学生：如果弦AB是直径，是否也具备这一结论呢？让学生通过总结和图形辨析，真正理解垂径定理的推论，突破本课的又一个难点。垂径定理的推论：平分弦（

13、不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。同样，我请小组代表把推论的条件和结论转化为数学符号语言演示在黑板上，渗透符号感。如图4设计意图：通过本环节，让学生自主探究、合作交流抽象出结论，培养学生的动手操作能力，同时渗透建模、化归和符号思想。由于垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，由小组讨论表述条件与结论，并尝试将文字语言转化为数学符号语言，作为教师及时更正给出正确的几何语言，使学生建立符号感，这样也分化了难点。由此也呼应了活动1，让学生发现新的找圆心的方法。在4个活动结束后，我设计了两个快速抢答：找一找和判一判，通过简单的小练习及时反馈所学知识，加深学生对垂径定理及其推论的

14、认识和理解。练习1：找一找在下列哪个图中有AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD？ 练习2：判一判 平分弦的直线必垂直弦 .平分弦的直径垂直于这条弦 .垂直于弦的直线平分这条弦. 垂直于弦的直径平分这条弦. 弦的垂直平分线是圆的直径 .三、应用性质、解决问题例1：解决求赵州桥主桥拱半径问题如图4，用表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R。经过圆心O作弦AB的垂线线OC，D为垂足，OC与相交于点C，根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高。在（如图4）中，由学生小组讨论解法，我挑选一个小组的学生代表板书做题过程，我给予评价。这里我重点强调：在圆中，解决有关弦的问题时，常常需要

15、作“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需要从圆心作一条与弦垂直的线段就可以了。然后把垂径定理和勾股定理结合起来，很容易得到圆的半径R、圆心到弦的距离d、弦长a之间的关系式为 这种通过添加辅助线构造垂径定理的基本结构图的方法很重要，要求学生掌握，从而让学生在探究过程中领会把实际问题转化为数学问题，让学生在“做数学”中学数学，不但学会知识而且会学知识。同时这道例题也与引入前后呼应。例题2一条排水管的截面（如图）所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。排水管中水最深多少？ 如图3 变式一：已知排水管的半径OB=10，圆心O到水面的距离OC=6，求排水管的

16、水面宽AB是多少？变式二：已知排水管的水面宽AB=16，圆心O到水面的距离OC=6，求排水管的半径？变式三：已知排水管的水面宽AB=16，水深CD=4，求排水管的半径？设计意图：通过例题和变式让学生巩固对垂径定理的认识，学会灵活应用，培养学生发散思维的能力。（四）小结升华、布置作业 至此学生已基本掌握本节课的主要内容，达到预期目标。为了提高学生的归纳概括能力和语言表达能力，小结由学生自己完成，谈谈自己的收获和困惑。在学生小结时我会引导学生用下面这几句话谈一谈。(1)我学习到了(2)我学会了的方法(3)在小组讨论时我的表现(4)我的困惑是这样可以帮助学生自主构建知识体系，收获学习方法，学会合作交流。为了尊重学生的个体差异，满足学生多样化的学习需要，我将分层布置作业。必做题是基础题型，是对本节内容的巩固，要求每个学生都要掌握；选做题有一定的难度，感兴趣的同学可以做一下，提高自己的能力。布置作业如下必做题: 教科书94页习题241第1题和第7题。选做题: 习题241第12题.四、板书设计板书是课堂教学必不可少的组成部分，为了再现本节课的知识体系，渗透结构思想