第一章行列式

1、第一章 行列式一、填空题：1、设为阶方阵，| = ，则 |=_， |=_.2、设A为m阶方阵，B为n阶方阵，且|A|=3，|B|=2，C=，则|C|=_. 3、设四阶行列式，是其元的代数余子式，则，.4、线性方程组有非零解的充要条件是满足二、选择题：1、设阶方阵的行列式展开式中应有一项为（ ） (A) (B) (C) (D) 2、设列向量组，则与三阶行列式等值的行列式是（ ）（A） （B） （C） （D）3、阶行列式不为零的充分必要条件是（ ）（A）中至少有 个元素不为零 （B）中所以元素都不为零 （C）的任意两列元素之间不成比例 （D）以为系数行列式的线性方程组有唯一解4、已知的一次多项式，

2、则式中一次项的系数为（ ）（A） （B） （C） （D）三、计算下列行列式： 其中.四、解下列线性方程组.五、设、为互异实数，则的充要条件为.（一）填空题答案：1、；2、；3、；4、；（二）选择题答案：1、C；2、C；3、D；4、B；（三）解：因为，令 则有，因此，从而（四）解：由Cramer法则知：.（五）证明：因其中是元的余子式，特别地，比较上式中的系数知，又、为互异实数，从而第二章 矩阵及其运算一、填空题：1、设，则，.2、设，则，.3、设，则.4、设方阵满足，其中为单位矩阵，则.二、选择题：1、设、+、都是阶可逆阵，则=（ ）。 （A） （B）+（C） （D）2、设、皆为n阶方阵且，则

3、（ ）（A）0 （B） （C） （D）3、设、为n阶可逆矩阵，且AB=BA，则下列结论中不对的是（ ）。（A） （B） （C） （D） 4、下列命题正确的是（ ）。（A）若，则可逆且（B）方阵的行列式阶子式（C）若方阵不可逆，则都不可逆（D）若阶矩阵或不可逆，则必不可逆三、设矩阵, 矩阵X满足，其中E为3阶单位矩阵，试求矩阵X。四、设阶矩阵满足关系式，则实数满足什么条件时，是可逆的，并求出它的逆.五、（1）设阶矩阵可逆，证明：它的伴随矩阵亦可逆且.（2）设为阶矩阵, 证明：.（一）填空题答案：1、；2、 ；3、；4、；（二）选择题答案：1、C或D；2、C；3、D；4、D；（三）解：由，而，故可

4、逆，因此.（四）解：由当时，是可逆的，其逆为.（五）证明：（1）由关系式，以及可逆知，从而.（2）当可逆时，；当时，有，从而；当且不可逆时，有 否则，必可逆，从而由知必有，与矛盾；纵上所述知结论成立。第三章 矩阵的初等变换与线性方程组一、 填空题：1、设，为某常数，为非零矩阵，为大于的整数，且， 则秩，.2、已知方程组无解，则.3、设，则的解为.4、设n阶矩阵的各行元素之和都为零，且的秩为，则线性方程组的通解为.二、 选择题：1、设，都是n阶非零矩阵，若，则与 （ ）（A） （B）（C） （D）2、设为非齐次线性方程组，则下列结论正确的是（ ）（A）若仅有零解，则必有唯一解，（B）若有非零解，

5、则必有无穷多解，（C）若有无穷多解，则仅有零解，（D）若有无穷多解，则有非零解.3、设为非齐次线性方程组，则下列结论不正确的是（ ）（A）若有无穷多解,则也有无穷多解，（B）若无解, 则也无解，（C）若有无穷多解,则也有无穷多解，（D）若有唯一解,则也有唯一解.4、设，则（ ）（A） （B） （C） （D） 三、求解非齐次方程组四、求的值，使齐次线性方程组有非零解，并求其通解.五、 已知，都是阶矩阵，且满足，其中为阶单位矩阵，（1） 证明：矩阵可逆；（2） 若，求矩阵.（一）填空题答案：1、；2、；3、；4、；（二）选择题答案：1、C；2、D；3、A；4、B；（三）解：增广矩阵，.（四）解：，

6、则或. 故当时，方程组有非零解.当时，.当时，.（五）解：（1） 证明：由是可逆的，且.（2） 解：由，故.第四章 向量组的线性相关性一、 填空题：1、设，若线性相关，则若线性无关，则2、已知三维向量组线性无关, 则向量组也线性无关的充要条件为3、设，为某常数，为阶非零矩阵，且， .4、若能由，线性表示，且表示法唯一，则二、 选择题：1、已知式的一个基础解系，则该线性方程组的基础解系还可以选为（ ）（A）（B）（C）的等价向量组（D）的等秩向量组2、设为矩阵，则有仅有零解的充要条件是（ ） （A）的列向量组线性无关， （B）的列向量组线性相关，（C）的行向量组线性无关， （D）的行向量组线性相

7、关，3、向量组线性无关，线性相关，则有（ ）（A）可由线性表示， （B）可由线性表示，（C）可由线性表示， （D）可由线性表示，4、设为非齐次线性方程组,其有唯一解的充要条件是（ ）（A）向量能由的列向量线性表示，（B）矩阵的列向量组是矩阵的列向量组的极大无关组（C）有唯一解（D）三、已知向量组，与向量组，具有相同的秩，且可由线性表示，求的值.四、已知两个向量组，以及，,试判断两向量组是否等价，若等价，写出相互表达式.五、设是的一个基础解系，不是的解，即，证明：向量组线性无关.（一）填空题答案：1、；2、；3、；4、；（二）选择题答案：1、C；2、A；3、A；4、B；（三）解：显然，（线性无关

8、，），从而，,又由于可由线性表示以及知,可由线性表示，即线性相关，因此（四）解：记，故这两个向量组等价，且，（五）证明：设有使得， (1), (2)若，则可由线性表示，是的解,与已知矛盾.故必有，从而，由是的一个基础解系知线性无关，因此向量组线性无关.第五章 相似矩阵及二次型一、 填空题：1、已知阶矩阵的特征值为，则的特征值为，的特征值为.2、二次型的矩阵为，秩为.3、将二次型化为的可逆线性变换为.4、设矩阵与相似，则, .二、 选择题：1、设，为n阶矩阵的特征值，分别是的属于特征值，的特征向量，则（ ）（A）当时，必成比例 （B）当时，必不成比例（C）当时，必成比例 （D）当时，必不成比例2

9、、设二次型， 则下列合同关系成立的是( )（A）与 （B）与 （C）与 （D）与3、下列结论不对的是（ ）（A）n阶实对称矩阵正定的充要条件是对任意的非零列向量，有.（B）n阶实对称矩阵正定的充要条件是的特征值全大于零.（C）n阶实对称矩阵正定的充要条件是的秩为.（D）n阶实对称矩阵正定的充要条件是正定.4、设、为n阶实对称可逆矩阵，则下面命题错误的是（ ）（A）有可逆矩阵、 使得 （B）有可逆矩阵 使得（C）有可逆矩阵 使得 （D）有正交矩阵 使得三、设矩阵与相似，求，并求一个正交矩阵，使得.四、设是n阶矩阵，是数，是维非零向量.（1） 若，求的特征值及其特征向量.（2） 若，问是否必是的特

10、征向量，说明理由.（3） 若可逆，且有，证明：是的特征向量. 五、设是n阶实对称矩阵，证明：（1） 存在实数，使得是正定矩阵.（2） 存在实数，使得是正定矩阵.（一）填空题答案：1、3，5，11；3，7，13； 2、，3；3、；4、192，280；（二）选择题答案：1、D；2、B；3、C；4、D；（三）解：由与相似知，即；又也是的特征值，故，即，计算得，从而.当时，解方程有，从而有解，单位化得；当时，解方程有，从而有两个正交解，单位化得；因此所求得正交矩阵.（四）证明：（1）由题设条件知，故有特征值，对应的特征向量为.（2）不一定是的特征向量，比如，故任意维非零向量都是的特征向量，故也是的特征向量，但不是的特征向量，因为.（3）由可逆，且有，知，且 ，从而，即是的特征向量.（五）证明：因是n阶实对称矩阵，则相似于对角阵，其中是的特征值.（1）的特征值为，（），取，则有，即的特征值全大于零，从而是正定矩阵.（2）的特征值为，（），令，取，则有，即的特征值全大于零，从而是正定矩阵. 第六章 线性空间与线性变换一、次数不超过的全体实多项式构成线性空间，已知与为的两组基.（1）求基到的过渡矩阵.（2）求元素在基下的坐标.（3）已知元素在基下的坐标为，求在基下的坐标.二、设是由中所有对称矩阵构成的线性空间，在中取一组基，定义中合同变换：，求合同变换在基下的矩阵.三、