必修4模块检测

1、模块检测一、选择题1ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、b、c成等比数列，且c2a，则cos B()A. B. C. D.答案B解析由题意，得b2ac，又c2a，由余弦定理，得cos B，故选B.2当x>1时，不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B2，)C3，) D(，3答案D解析x>1，x(x1)12 13.a3.3等差数列an满足aa2a4a79，则其前10项之和为()A9 B15 C15 D±15答案D解析aa2a4a7(a4a7)29，a4a7±3，a1a10±3，S10±15.4在ABC中，BC2，B

2、，当ABC的面积等于时，sin C()A. B. C. D.答案B解析由三角形的面积公式，得SAB·BCsin ，易求得AB1，由余弦定理，得AC2AB2BC22AB·BC·cos ，得AC，再由三角形的面积公式，得SAC·BCsin C，即可得出sin C，选B.5在ABC中，若lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，则ABC是()A等腰三角形 B直角三角形C等边三角形 D等腰直角三角形答案A解析lg sin Alg cos Blg sin Clg 2，lglg 2.sin A2cos Bsin C，ABC180°，sin(

3、BC)2cos Bsin C，sin(BC)0.BC，ABC为等腰三角形6在R上定义运算“”：abab2ab，则满足x(x2)<0的实数x的取值范围为()A(0,2) B(2,1)C(，2)(1，) D(1,2)答案B解析x(x2)x(x2)2xx2<0，x2x2<0.2<x<1.7对任意a1,1，函数f(x)x2(a4)x42a的值恒大于零，则x的取值范围是()A1<x<3 Bx<1或x>3C1<x<2 Dx<1或x>2答案B解析设g(a)(x2)a(x24x4)，g(a)>0，恒成立x<1或x>

4、3.8若变量x，y满足则z3x2y的最大值是()A90 B80 C70 D40答案C解析作出可行域如图所示由于2xy40、x2y50的斜率分别为2、，而3x2y0的斜率为，故线性目标函数的倾斜角大于2xy40的倾斜角而小于x2y50的倾斜角，由图知，3x2yz经过点A(10,20)时，z有最大值，z的最大值为70.9国家为了加强对烟酒生产的宏观管理，实行征收附加税政策现知某种酒每瓶70元，不加附加税时，每年大约产销100万瓶，若政府征收附加税，每销售100元要征税k元(叫做税率k%)，则每年的产销量将减少10k万瓶要使每年在此项经营中所收取附加税金不少于112万元，则k的取值范围为()A2,8

5、 B(2,8)C(4,8) D(1,7)答案A解析设产销量为每年x万瓶，则销售收入每年70x万元，从中征收的税金为70x·k%万元，其中x10010k.由题意，得70(10010k)k%112，整理得k210k160，解得2k8.10(2013·山东)设正实数x，y，z满足x23xy4y2z0，则当取得最小值时，x2yz的最大值为()A0 B. C2 D.答案C解析x23xy4y2z0，zx23xy4y2，又x，y，z为正实数，3231(当且仅当x2y时取“”)，即x2y(y0)，x2yz2y2y(x23xy4y2)4y2y22(y1)222.x2yz的最大值为2.故选C.

6、二、填空题11已知0<x<6，则(6x)·x的最大值是_答案9解析0<x<6，6x>0.(6x)·x29.当且仅当6xx，即x3时，取等号12(2013·陕西)观察下列等式： 1211222312223261222324210照此规律， 第n个等式可为122232(1)n1n2_. 答案n(n1)解析 分n为奇数、偶数两种情况第n个等式为12223242(1)n1n2.当n为偶数时，分组求和：(1222)(3242)(n1)2n2(3711152n1).当n为奇数时，第n个等式n2.综上，第n个等式：122232(1)n1n2n(n1

7、)132010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为_米答案30解析由题可知BAN105°，BNA30°，由正弦定理，得，解得AN20米，在RtAMN中，MN20sin 60°30米故旗杆的高度为30米14(2013·浙江)设zkxy，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k_.答案2 解析可行域如图，由，得A(4,4)，

8、同样地，得B(0,2)，目标函数zkxy变形为y kxz，当k时，由图可看出z在x4，y4时取最大值，即直线zkxy在y轴上的截距z最大，此时，124k4，故k2.当k时，目标函数zkxy在x0，y2时取最大值，即直线zkxy在y轴上的截距z最大，此时，120×k2，故k不存在综上，k2.故答案为2.三、解答题15已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，acos Casin Cbc0.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由acos Casin Cbc0及正弦定理得sin Acos Csin Asin Csin Bsin C0.因为BAC，所以sin

9、 Asin Ccos Asin Csin C0.由于sin C0，所以sin.又0<A<，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28.解得bc2.16已知函数f(x)x22x8，g(x)2x24x16，(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)(m2)xm15成立，求实数m的取值范围解(1)g(x)2x24x16<0，(2x4)(x4)<0，2<x<4，不等式g(x)<0的解集为x|2<x<4(2)f(x)x22x8.当x>2时，f(x)(m2

10、)xm15恒成立，x22x8(m2)xm15，即x24x7m(x1)对一切x>2，均有不等式m成立而(x1)2222(当x3时等号成立)实数m的取值范围是(，217(2013·上海市春季)如图，某校有一块形如直角三角形ABC的空地，其中B为直角，AB长40米，BC长50米，现欲在此空地上建造一间健身房，其占地形状为矩形，且B为矩形的一个顶点，求该健身房的最大占地面积解如图，设矩形为EBFP，FP长为x米，其中0x40, 健身房占地面积为y平方米因为CFPCBA，以，求得BF50x，从而yBF·FP(50x)xx250x(x20)2500500, 当且仅当x20时，等号

11、成立. 答该健身房的最大占地面积为500平方米. 18已知数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn1(nN*)，等差数列bn中，bn0(nN*)，且b1b2b315，又a1b1、a2b2、a3b3成等比数列(1)求数列an、bn的通项公式；(2)求数列an·bn的前n项和Tn.解(1)a11，an12Sn1(nN*)，an2Sn11(nN*，n1)，an1an2(SnSn1)，即an1an2an，an13an(nN*，n1)而a22a113，a23a1.数列an是以1为首项，3为公比的等比数列，an3n1(nN*)a11，a23，a39，在等差数列bn中，b1b2b315，b25.又a1b1、a2b2、a3b3成等比数列，设等差数列bn的公差为d，则有(a1b1)(a3b3)(a2b2)2.(15d)(95d)64，解得d10或d2，bn0(nN*)，舍去d10，取d2，b13，bn2n1(nN*)(2)由(1)知Tn3×15×37×32(2